वृत्त क्षेत्रहरूको उदाहरण प्रश्न र छलफल
वृत्तका क्षेत्रहरू गणितमा एउटा महत्त्वपूर्ण विषय हो जुन परीक्षा र अभ्यास प्रश्नहरूमा बारम्बार देखा पर्दछ। क्षेत्र भनेको दुई त्रिज्या र तिनीहरूलाई जोड्ने चापले घेरिएको वृत्तको भाग हो। यस लेखमा, हामी हाम्रो बुझाइलाई गहिरो बनाउन विस्तृत व्याख्याहरू सहित वृत्तका क्षेत्रहरूमा धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछौं।
सर्कल सेक्टरको परिभाषा
वृत्तको क्षेत्र भनेको दुई त्रिज्या र एउटा चापले घेरिएको वृत्तको क्षेत्रफल हो। क्षेत्रफल वृत्तको कुल क्षेत्रफलको अंशको आधारमा गणना गरिन्छ। क्षेत्र गणना गर्न प्रयोग गरिने मुख्य सूत्र यस प्रकार छ:
– जुरिङको क्षेत्रफल: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– चाप लम्बाइ : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
कहाँ:
– \( \theta \) भनेको सेक्टर कोणको आकार डिग्रीमा हो,
– \( r \) वृत्तको त्रिज्या हो,
– \( \pi \) एक स्थिरांक हो (लगभग ३.१४१५९)।
नमुना प्रश्न र छलफल
प्रश्न १:
१० सेन्टिमिटरको त्रिज्या भएको वृत्त र ९०° केन्द्रीय कोण भएको क्षेत्र दिइएको छ। क्षेत्रफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( r = १० \) सेमी
– \( \थिटा = ६०^\सर्कल \)
हामी क्षेत्रको क्षेत्रफलको लागि सूत्र प्रयोग गर्छौं:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \पटक \pi \पटक १००\पाठ{ सेमी}^२\]
\[L_juring = २५\pi\पाठ{ सेमी}^२\]
यदि \( \pi \) लाई ३.१४ मानिन्छ भने,:
\[L_juring = २५ \गुणा ३.१४\पाठ{ सेमी}^२ = ७८.५\पाठ{ सेमी}^२\]
त्यसैले, क्षेत्रको क्षेत्रफल ७८.५ सेमी² छ।
प्रश्न १:
एउटा वृत्तको भागको त्रिज्या ७ सेमी र चापको लम्बाइ ११ सेमी हुन्छ। भागको केन्द्रीय कोण रेडियनमा निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( r = १० \) सेमी
– चाप लम्बाइ \( P_b = ११ \पाठ{ सेमी} \)
हामी कोण \( \theta \) पत्ता लगाउन चाप लम्बाइ सूत्र प्रयोग गर्छौं:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \गुणा २\pi r\]
हामीलाई रेडियनमा कोण पत्ता लगाउन भनिएको हुनाले, हामी ३६०° लाई \(2\pi\) रेडियनले प्रतिस्थापन गर्छौं:
\[P_b = \थीटा \गुणा r\]
\[११ = \थिटा \गुणा ७\]
\[\थिटा = \frac{11}{7}\]
\[\theta \लगभग १.५७ \पाठ{ rad}\]
त्यसैले, क्षेत्रको केन्द्रीय कोण १.५७ रेडियन छ।
प्रश्न १:
१६ सेन्टिमिटरको त्रिज्या भएको वृत्तमा २०० सेन्टिमिटर² क्षेत्रफल भएको सेक्टर हुन्छ। सेक्टरको केन्द्रीय कोण गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( r = १० \) सेमी
– \( L_juring = २०० \पाठ{ सेमी}^२ \)
हामी \( \theta \) पत्ता लगाउन क्षेत्रफल सूत्र प्रयोग गर्छौं:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[२०० = \frac{\theta}{३६०^\circ} \times \pi \times (१६)^२\]
\[२०० = \frac{\theta}{३६०^\circ} \times \pi \times २५६\]
\[२०० = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[२०० \गुणा ३६०^\सर्कल = \थिटा \गुणा २५६ \गुणा ३.१४\]
\[७२००० = \थिटा \गुणा २५६ \गुणा ३.१४\]
\[११ = \थिटा \गुणा ७\]
\[\थिटा = \frac{72000}{804.64}\]
\[\थिटा \लगभग ८९.४५^\सर्कल\]
त्यसैले, क्षेत्रको केन्द्रीय कोण लगभग ८९.४५° छ।
प्रश्न १:
१२ सेन्टिमिटरको त्रिज्या र १२०° केन्द्रीय कोण भएको क्षेत्रको कुल परिधि गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( r = १० \) सेमी
– \( \थिटा = ६०^\सर्कल \)
पहिले, हामी चापको लम्बाइ फेला पार्छौं:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \गुणा २\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \गुणा २\pi \गुणा १२\]
\[P_b = \frac{1}{3} \गुणा २\pi \गुणा १२\]
\[P_b = ८\pi\पाठ{ सेमी}\]
त्यसपछि, हामी क्षेत्रको परिधि गणना गर्छौं (चाप लम्बाइ + दुई त्रिज्या):
\[K = २r + P_b\]
\[K = २ \गुणा १२\पाठ{ सेमी} + ८\pi\पाठ{ सेमी}\]
\[K = २४\पाठ{ सेमी} + ८\पाठ{ सेमी}\]
यदि \( \pi \) लाई ३.१४ मानिन्छ भने,:
\[K = २४\पाठ{ सेमी} + ८ \गुणा ३.१४\पाठ{ सेमी}\]
\[K = २४\पाठ{ सेमी} + २५.१२\पाठ{ सेमी}\]
\[K = ४९.१२\पाठ{ सेमी}\]
त्यसैले, क्षेत्रको कुल परिधि ४९.१२ सेमी छ।
प्रश्न १:
यदि १८ सेन्टिमिटरको त्रिज्या भएको वृत्तमा ४५° को कोण बनाउने क्षेत्रफल छ भने, चापको लम्बाइ र क्षेत्रफल निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
यो ज्ञात छ:
– \( r = १० \) सेमी
– \( \थिटा = ६०^\सर्कल \)
१. चाप लम्बाइ:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \गुणा २\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \गुणा ३६\pi\text{cm}\]
\[P_b = ८\pi\पाठ{ सेमी}\]
यदि \( \pi \) लाई ३.१४ मानिन्छ भने,:
\[P_b = ४.५ \गुणा ३.१४\पाठ{ सेमी} \लगभग १४.१३\पाठ{ सेमी}\]
त्यसैले, धनुषको लम्बाइ लगभग १८.८५ सेन्टिमिटर हुन्छ।
२. क्षेत्रफल:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \पटक \pi \पटक १००\पाठ{ सेमी}^२\]
\[L_juring = २५\pi\पाठ{ सेमी}^२\]
यदि \( \pi \) लाई ३.१४ मानिन्छ भने,:
\[L_juring = ४०.५ \गुणा ३.१४\पाठ{ सेमी}^२ \लगभग १२७.१७\पाठ{ सेमी}^२\]
त्यसैले, क्षेत्रको क्षेत्रफल लगभग ५१.४३ सेमी² छ।
केसिम्पुलन
यस लेखमा, हामीले वृत्तका क्षेत्रहरू र तिनीहरूका समाधानहरू सम्बन्धी धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गरेका छौं। वृत्तका क्षेत्रहरू बुझ्नुको सार भनेको क्षेत्रको क्षेत्रफल र चापको लम्बाइ गणना गर्ने आधारभूत सूत्रहरूमा महारत हासिल गर्नु हो। बारम्बार अभ्यास र विभिन्न प्रकारका समस्याहरूमा यी सूत्रहरू कसरी लागू गर्ने भनेर बुझ्नाले आशा छ कि समान समस्याहरू समाधान गर्ने तपाईंको क्षमतामा सुधार गर्न मद्दत गर्नेछ।
