कोनिक खण्डहरूमा स्पर्शरेखाको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल
पेन्डाहुलुआन
कोनिक सेक्सन भनेको द्विध्रुवीय शंकुसँगको समतलको प्रतिच्छेदनबाट उत्पन्न हुने वक्र हो। यी वक्रहरूमा वृत्त, दीर्घवृत्त, प्याराबोला र हाइपरबोलाहरू समावेश छन्। कोनिक सेक्सनहरू बुझ्नको लागि एउटा महत्त्वपूर्ण विषय ट्यान्जेन्ट रेखा हो। कोनिक सेक्सनको ट्यान्जेन्ट भनेको एउटा रेखा हो जसले कोनिक वक्रलाई केवल एक बिन्दुमा छुन्छ। यस लेखले धेरै उदाहरण समस्याहरू र कोनिक सेक्सनहरूमा ट्यान्जेन्टहरूको छलफलको बारेमा छलफल गर्नेछ।
वृत्तमा ट्यान्जेन्ट
वृत्त भनेको सबैभन्दा सरल आकार र उत्तम सममिति भएको कोनिक खण्ड हो। वृत्तमा स्पर्शरेखाको बारेमा एउटा उदाहरण समस्याबाट सुरु गरौं।
उदाहरण प्रश्न ३
\( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) समीकरण भएको वृत्त दिइएको छ। वृत्तमा \((5, -3)\) बिन्दुमा रहेको स्पर्शरेखाको समीकरण निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
वृत्तको सामान्य समीकरण \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \) हो, जसमा \( (h, k) \) वृत्तको केन्द्र र \( r \) त्रिज्या हुन्छ। यस समस्यामा, वृत्तको केन्द्र \((h, k)\) \(2, -3)\) र त्रिज्या \( r = \sqrt{25} = 5 \) हुन्छ।
वृत्तमा \((x_1, y_1)\) बिन्दुमा रहेको स्पर्शरेखा निम्न सूत्र प्रयोग गरेर फेला पार्न सकिन्छ:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
ज्ञात मानहरू प्रविष्ट गर्नुहोस्:
\[ (x – २)(५ – २) + (y + ३)(-३ + ३) = २५ \]
\[ (x – २)(३) + (y + ३)(०) = २५ \]
\[ ३(x – २) = २५ \]
\[ ३x – ६ = २५ \]
\[ २.८२x = १ \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
स्पर्शरेखाको समीकरण \(x = \frac{31}{3}\) हो, तर यस विधिमा त्रुटि छ किनभने बिन्दु \((5, -3)\) स्पष्ट रूपमा वृत्तमा रहेको बिन्दु हो। त्यसकारण, हामी यस विशिष्ट बिन्दुमा स्पर्शरेखाको ढलान प्रतिस्थापन गरेर परम्परागत विधि प्रयोग गर्छौं:
स्पर्शरेखा बिन्दु, \((5, -3)\) हो, त्यसपछि, त्रिज्या रेखाको ग्रेडियन्ट (m) \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) हुन्छ, जहाँ स्पर्शरेखाको ग्रेडियन्ट अघिल्लो ठाडो स्पर्शरेखाको लागि अपरिभाषित हुन्छ।
दीर्घवृत्तमा ट्यान्जेन्ट रेखा
दीर्घवृत्त भनेको कोनिक खण्ड हो जसमा सममितिका दुई अक्षहरू हुन्छन्: एउटा प्रमुख (लामो) अक्ष र एउटा सानो (छोटो) अक्ष। यहाँ दीर्घवृत्तहरूसँग समस्याहरूको केही उदाहरणहरू छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
समीकरण \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) भएको दीर्घवृत्त दिइएको छ। दीर्घवृत्तमा \((2, \frac{3}{2})\) बिन्दुमा रहेको स्पर्शरेखाको समीकरण निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
\((x_1, y_1)\) बिन्दुमा रहेको दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) मा ट्यान्जेन्ट रेखाको समीकरण यस प्रकार छ:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = १ \]
\(a = 4\) र \(b = 3\) सँग, \(a\), \(b\), र बिन्दु \((2, \frac{3}{2})\) को मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = १ \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = १ \]
अंशहरू हटाउन सम्पूर्ण समीकरणलाई ८ ले गुणन गर्नुहोस्:
\[ x + ४y = ८ \]
त्यसैले, दीर्घवृत्तमा स्पर्शरेखाको समीकरण \( x + 4y = 8 \) हो।
ट्यान्जेन्ट रेखा देखि पाराबोला
प्याराबोला भनेको सममितिको एउटा अक्ष र एउटा शीर्ष भाग भएको कोनिक खण्ड हो। यहाँ प्याराबोलासँग सम्बन्धित समस्याहरूका केही उदाहरणहरू छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
\( y^2 = 4x \) समीकरण भएको प्याराबोला दिइएको छ। प्याराबोलामा रहेको बिन्दु \((1, 2)\) मा रहेको ट्यान्जेन्ट रेखाको समीकरण निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
\((x_1, y_1)\) बिन्दुमा रहेको पाराबोला \( y^2 = 4ax \) मा ट्यान्जेन्ट रेखाको समीकरण यस प्रकार छ:
\[ yy_1 = २a(x + x_1) \]
प्याराबोला समीकरण \( y^2 = 4x \) बाट, हामीले \( 4a = 4 \) पाउँछौं ताकि \( a = 1 \)। \( a \) र बिन्दु \((1, 2)\) को मान प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ २y = २(१)(x + १) \]
\[ २y = २x + २ \]
\[ y = x + १ \]
त्यसैले, प्याराबोलामा ट्यान्जेन्ट रेखाको समीकरण \( y = x + 1 \) हो।
ट्यान्जेन्ट रेखा देखि हाइपरबोला
हाइपरबोला भनेको दुई शाखा र दुई एसिम्प्टोट भएको कोनिक खण्ड हो। हाइपरबोलासँग सम्बन्धित समस्याहरूका केही उदाहरणहरू यहाँ दिइएका छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
समीकरण \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \) भएको हाइपरबोला दिइएको छ। हाइपरबोलामा \((5, 0)\) बिन्दुमा रहेको स्पर्शरेखाको समीकरण निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल
\((x_1, y_1)\) बिन्दुमा हाइपरबोला \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) मा ट्यान्जेन्ट रेखाको समीकरण यस प्रकार छ:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = १ \]
\( a = 5 \) र \( b = 4 \) सँग, मानहरू \( a \), \( b \), र बिन्दु \((5, 0)\) लाई प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = १ \]
\[ x = २ \]
त्यसैले, हाइपरबोलामा ट्यान्जेन्ट रेखाको समीकरण \( x = 5 \) हो।
केसिम्पुलन
गणित र विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूमा कोनिक खण्डहरूमा स्पर्शरेखाहरूले महत्त्वपूर्ण भूमिका खेल्छन्। वृत्त, दीर्घवृत्त, प्याराबोला र हाइपरबोला जस्ता विभिन्न प्रकारका कोनिक खण्डहरूमा स्पर्शरेखाहरूको समीकरण कसरी फेला पार्ने भनेर बुझ्नु क्याल्कुलस र विश्लेषणात्मक ज्यामितिमा एक आवश्यक सीप हो। माथिका उदाहरणहरू र छलफलहरूबाट, आशा छ कि पाठकहरूले कोनिक खण्डहरूमा स्पर्शरेखा निर्धारण गर्ने अवधारणाहरू र विधिहरूको राम्रो बुझाइ प्राप्त गर्नेछन्।
