इंजेक्टिभ, सर्जेक्टिभ, र बिजेक्टिभ फंक्शनहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

इंजेक्टिभ, सर्जेक्टिभ, र बिजेक्टिभ प्रकार्यहरूको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल

गणितमा फंक्शनको परिभाषा र यसको उपयोगिता प्रायः छलफलको एक आकर्षक विषय हो। यस सन्दर्भमा, हामी प्रायः इंजेक्टिभ, सर्जेक्टिभ, र बिजेक्टिभ फंक्शन जस्ता शब्दहरू भेट्छौं। यी तीन प्रकारका फंक्शनहरू बुझ्नु गणितीय विश्लेषण र कम्प्युटर विज्ञान, अर्थशास्त्र र भौतिक विज्ञान जस्ता विभिन्न क्षेत्रहरूमा तिनीहरूको व्यावहारिक प्रयोगको लागि महत्त्वपूर्ण छ।

इंजेक्टिभ, सर्जेक्टिभ, र बिजेक्टिभ प्रकार्यहरू बुझ्दै

उदाहरण प्रश्नहरू र तिनीहरूको छलफलको बारेमा छलफल गर्नु अघि, पहिले तीन प्रकार्यहरूको परिभाषा सम्झौं।

१. इन्जेक्टिभ फंक्शन (एक-देखि-एक फंक्शन): यदि डोमेन A मा प्रत्येक a1 र a2 को लागि, यदि f(a1) = f(a2), भने a1 a2 बराबर हुनुपर्छ भने, f : A → B फंक्शनलाई इन्जेक्टिभ भनिन्छ। अर्को शब्दमा, इन्जेक्टिभ फंक्शनले डोमेन A मा रहेका फरक तत्वहरूलाई सह-डोमेन B मा रहेका फरक तत्वहरूसँग म्याप गरिएको सुनिश्चित गर्दछ।

२. सर्जेक्टिभ फंक्शन (फंक्शनमा): फंक्शन f : A → B लाई सर्जेक्टिभ भनिन्छ यदि कोडोमेन B मा प्रत्येक तत्वमा डोमेन A मा कम्तिमा एउटा तत्व छ जुन त्यसमा म्याप गरिएको छ। यस अवस्थामा, कोडोमेन B मा कुनै "खाली" तत्वहरू छैनन् वा डोमेन A बाट कुनै समकक्षहरू छैनन्।

३. द्विजात्मक प्रकार्य (एक-देखि-एक पत्राचार): यदि f : A → B प्रकार्य इंजेक्टिभ र सर्जेक्टिभ दुवै हो भने यसलाई द्विजात्मक भनिन्छ। यसको अर्थ डोमेन A मा रहेको प्रत्येक तत्वको कोडोमेन B मा एक अद्वितीय समकक्ष हुन्छ, र कोडोमेन B मा रहेको प्रत्येक तत्वको डोमेन A मा पनि एक अद्वितीय समकक्ष हुन्छ।

नमुना प्रश्न र छलफल

प्रश्न १: इन्जेक्टिभ फंक्शन

प्रश्न:
f(x) = 2x + 3 को रूपमा परिभाषित गरिएको f : ℝ → ℝ प्रकार्य दिइएको छ। यो प्रकार्य एक इंजेक्टिभ प्रकार्य हो भनेर प्रमाणित गर्नुहोस्।

छलफल:
यो प्रकार्य इन्जेक्टिभ छ भनेर प्रमाणित गर्न, हामीले देखाउनु पर्छ कि यदि f(a) = f(b) छ भने a = b।

मानौं f(a) = f(b), हामी भन्छौं कि:
\[ २क + ३ = २ख + ३ \]

दुबै तर्फबाट ३ घटाउनुहोस्:
\[ २क = २ख \]

दुबै तिर २ ले भाग गर्नुहोस्:
\[ क = ख \]

हामीले f(a) = f(b) ले a = b निम्त्याउँछ भनेर देखाएकाले, f(x) = 2x + 3 प्रकार्य एउटा इन्जेक्टिभ प्रकार्य हो।

प्रश्न २: सर्जेक्टिभ फंक्शन

प्रश्न:
g(x) = x^3 को रूपमा परिभाषित गरिएको g : ℝ → ℝ प्रकार्य दिइएको छ। यो प्रकार्य एक सर्जेक्टिव प्रकार्य हो भनेर प्रमाणित गर्नुहोस्।

छलफल:
यो प्रकार्य अनुमानात्मक छ भनेर प्रमाणित गर्न, हामीले देखाउनु पर्छ कि codomain ℝ मा प्रत्येक तत्व y को लागि, डोमेन ℝ मा कम्तिमा एउटा तत्व x छ जसमा g(x) = y हुन्छ।

मानौं y ∈ ℝ। हामी x यसरी खोज्न चाहन्छौं कि:
\[ x^३ = y \]

\( x = \sqrt[3]{y} \) लिनुहोस्:
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]

किनकि codomain ℝ मा प्रत्येक y को लागि हामी x फेला पार्न सक्छौं जुन \( x = \sqrt[3]{y} \ हो), त्यसैले g(x) = x^3 प्रकार्य एक अनुमानित प्रकार्य हो।

प्रश्न ३: द्विजात्मक कार्यहरू

प्रश्न:
h : ℝ → ℝ लाई h(x) = x – १ को रूपमा परिभाषित गरिएको प्रकार्य दिइएको छ। यो प्रकार्य द्विजात्मक छ भनेर प्रमाणित गर्नुहोस्।

छलफल:

इंजेक्शन:
h(x) इन्जेक्टिभ छ भनेर प्रमाणित गर्न, हामीले देखाउनु पर्छ कि यदि h(a) = h(b) छ भने a = b।

मानौं h(a) = h(b):
\[ a – १ = b – १ \]

दुबै छेउमा १ थप्नुहोस्:
\[ क = ख \]

h(a) = h(b) ले a = b निम्त्याउँछ, त्यसैले h(x) = x – 1 प्रकार्य एउटा इंजेक्टिभ प्रकार्य हो।

उपसंहार:
h(x) अनुमानात्मक छ भनेर प्रमाणित गर्न, हामीले देखाउनु पर्छ कि codomain ℝ मा प्रत्येक तत्व y को लागि, डोमेन ℝ मा कम्तिमा एउटा तत्व x छ जसमा h(x) = y हुन्छ।

मानौं y ∈ ℝ। हामी x यसरी खोज्न चाहन्छौं कि:
\[ x – १ = y \]

दुबै छेउमा १ थप्नुहोस्:
\[ x = y + १ \]

कोडोमेन ℝ मा प्रत्येक y को लागि हामी x = y + 1 भएको x फेला पार्न सक्छौं, त्यसैले h(x) = x – 1 प्रकार्य एक अनुमानित प्रकार्य हो।

h(x) इंजेक्टिभ र सर्जेक्टिभ भएकोले, h(x) द्विजात्मक प्रकार्य हो।

प्रश्न ४: प्रकार्यको प्रकार निर्धारण गर्ने

प्रश्न:
दिइएको फंक्शन f : ℕ → ℕ लाई f(x) = 2x को रूपमा परिभाषित गरिएको छ। f इंजेक्टिभ, सर्जेक्टिभ, वा बिजेक्टिभ फंक्शन हो कि होइन भनेर निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:

इंजेक्शन:
यो प्रकार्य इन्जेक्टिभ छ भनेर प्रमाणित गर्न, हामीले देखाउनु पर्छ कि यदि f(a) = f(b) छ भने a = b।

मानौं f(a) = f(b):
\[ २क = २ख \]

दुबै तिर २ ले भाग गर्नुहोस्:
\[ क = ख \]

त्यसैले, f(x) = 2x एउटा इंजेक्टिभ फंक्शन हो।

उपसंहार:
यो प्रकार्य अनुमानात्मक छ भनेर प्रमाणित गर्न, हामीले देखाउनु पर्छ कि codomain ℕ मा प्रत्येक तत्व y को लागि, डोमेन ℕ मा कम्तिमा एउटा तत्व x छ जस्तै f(x) = y।

तर ध्यान दिनुहोस् कि codomain ℕ (प्राकृतिक संख्याहरू) हो, जबकि f(x) = 2x ले मात्र सम संख्याहरू दिन्छ। मानौं y एउटा बिजोर संख्या हो, ℕ मा x छैन जसमा 2x = y हुन्छ।

त्यसैले, f(x) = 2x कुनै अनुमानात्मक प्रकार्य होइन।

f(x) सर्जेक्टिव नभएकोले, f(x) पनि द्विभाज्य होइन।

माथिका विभिन्न उदाहरणहरूको आधारमा, हामी विभिन्न प्रकार्य परिभाषाहरूबाट प्रकार्यहरू (इन्जेक्टिभ, सर्जेक्टिभ, बायजेक्टिभ) कसरी प्रमाणित गर्ने र पहिचान गर्ने भनेर देख्न सक्छौं। गणित र यसको वास्तविक जीवन अनुप्रयोगहरूको धेरै पक्षहरूमा यी प्रकार्यहरू बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ।