द्विपद वितरणको उदाहरण प्रश्न र छलफल
द्विपद वितरण सबैभन्दा धेरै प्रयोग हुने असक्रिय सम्भाव्यता वितरणहरू मध्ये एक हो। यो धेरै समान, स्वतन्त्र परीक्षणहरूमा सफलताहरूको संख्या मोडेल गर्न उपयोगी छ, जसमध्ये प्रत्येकले सफलता वा असफलता उत्पादन गर्दछ। यस लेखमा, हामी धेरै उदाहरणहरू र विस्तृत छलफल प्रदान गरेर द्विपद वितरणमा गहिरो अध्ययन गर्नेछौं।
द्विपद वितरणको परिचय
द्विपद वितरणका मुख्य विशेषताहरू:
१. n : परीक्षण वा पुनरावृत्तिको संख्या।
२. पृ: प्रत्येक परीक्षणमा सफलताको सम्भावना।
३. q = १-p: प्रत्येक परीक्षणमा असफलताको सम्भावना।
द्विपद वितरणको सम्भाव्यता द्रव्यमान प्रकार्य हो:
\[ P(X = k) = {n \k छान्नुहोस्} p^k (1-p)^{nk} \]
कहाँ:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): सफलताहरूको संख्या प्रतिनिधित्व गर्ने अनियमित चर।
– \( k \): खोजिएका सफलताहरूको संख्या।
नमुना प्रश्न र छलफल
द्विपद वितरणको अवधारणालाई अझ विस्तृत रूपमा बुझ्नको लागि केही उदाहरण समस्याहरूबाट सुरु गरौं।
उदाहरण १: विद्यार्थीहरूको समूहबाट छनौट गर्ने
उदाहरणका लागि, मानौं हामीसँग १० जना विद्यार्थीहरूको समूह छ, र प्रत्येक विद्यार्थी प्रतियोगितामा भाग लिन छनोट हुने सम्भावना ०.३ छ। हामी ठ्याक्कै ४ जना विद्यार्थीहरू छनोट हुने सम्भावना जान्न चाहन्छौं।
चरण १: द्विपद वितरणको प्यारामिटरहरू पहिचान गर्नुहोस्।
– \( n = १० \)
– \( p = ०.३ \)
चरण २: \( X = 4 \) को सम्भाव्यता गणना गर्न द्विपद वितरण प्रयोग गर्नुहोस्।
\[ P(X = १) = {१० \छान्नुहोस् १} (०.३)^१ (०.७)^९ \]
गणना गर्दै \( {१० \चयन गर्नुहोस् ४} \):
\[ {१० \चुन्नुहोस् ४} = \frac{१०!}{४!(१०-४)!} = \frac{१०!}{४!६!} = २१० \]
अब \( (०.३)^४ \) र \( (०.७)^६ \) गणना गर्नुहोस्:
\[ (०.७)^६ = ०.११७६४९ \]
\[ (०.७)^६ = ०.११७६४९ \]
तर,
\[ P(X = ४) = २१० \cdot ०.००८१ \cdot ०.११७६४९ \लगभग ०.२००१२ \]
त्यसैले, ठ्याक्कै ४ जना विद्यार्थीहरू छनोट हुने सम्भावना लगभग ०.२००१२ वा २०.०१२% छ।
उदाहरण २: सम्भाव्यता २ भन्दा कम वा बराबर
अब, उदाहरणका लागि, हामीलाई २ भन्दा कम वा बराबर विद्यार्थीहरू छनोट हुने सम्भावनाको बारेमा सोधिएको छ।
चरण १: हामीले \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), र \( P(X = 2) \) गणना गर्नुपर्छ।
– \( P(X = 0) \ को लागि):
\[ P(X = ०) = {१० \चुन्नुहोस् ०} (०.३)^० (०.७)^१०} \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ (०.७)^{१०} = ०.०२८२४७५ \]
\[ P(X = ०) = १ \cdot १ \cdot ०.०२८२४७५ = ०.०२८२४७५ \]
– \( P(X = 1) \ को लागि):
\[ P(X = १) = {१० \छान्नुहोस् १} (०.३)^१ (०.७)^९ \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ (०.३) \cdot (०.७)^९ = ०.१२१०६०८ \]
\[ P(X = ०) = १ \cdot १ \cdot ०.०२८२४७५ = ०.०२८२४७५ \]
– \( P(X = 2) \ को लागि):
\[ P(X = १) = {१० \छान्नुहोस् १} (०.३)^१ (०.७)^९ \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ (०.३)^२ \cdot (०.७)^८ = ०.२३३४७४४ \]
\[ P(X = ०) = १ \cdot १ \cdot ०.०२८२४७५ = ०.०२८२४७५ \]
चरण २: सम्भाव्यताहरू जोड्नुहोस्।
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = ०.०२८२४७५ + ०.३६३१८२४ + ०.३८२६३७२ = ०.७७४०६७१ \]
त्यसैले, २ भन्दा कम वा बराबर विद्यार्थीहरू छनोट हुने सम्भावना लगभग ०.७७४०६७१ वा ७७.४१% छ।
उदाहरण ३: कम्तिमा ८ को सम्भावना
यदि एउटा प्रयोग १२ पटक गरिएको छ र प्रत्येक परीक्षणमा सफलताको सम्भावना ०.५ छ भने, कम्तिमा ८ पटक सफलता हुने सम्भावना कति हुन्छ?
चरण १: द्विपद प्यारामिटरहरू सेट गर्नुहोस्: \( n = १२, p = ०.५ \)।
चरण २: \( X \geq 8 \) को लागि सम्भाव्यता पत्ता लगाउनुहोस्।
यसको लागि धेरै व्यक्तिगत सम्भाव्यताहरू गणना गर्न र तिनीहरूलाई जोड्न आवश्यक छ:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
एक एक गरी गणना गर्नुहोस्:
– \( P(X = 8) \ को लागि):
\[ P(X = १) = {१० \छान्नुहोस् १} (०.३)^१ (०.७)^९ \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ (०.७)^{१०} = ०.०२८२४७५ \]
\[ P(X = ८) = ४९५ \cdot ०.०००२४४१४०६ = ०.१२०८४९६ \]
– \( P(X = 9) \ को लागि):
\[ P(X = १) = {१० \छान्नुहोस् १} (०.३)^१ (०.७)^९ \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ P(X = ८) = ४९५ \cdot ०.०००२४४१४०६ = ०.१२०८४९६ \]
– \( P(X = 10) \ को लागि):
\[ P(X = १०) = {१२ \छान्नुहोस् १०} (०.५)^१०} (०.५)^२ \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ P(X = ८) = ४९५ \cdot ०.०००२४४१४०६ = ०.१२०८४९६ \]
– \( P(X = 11) \ को लागि):
\[ P(X = १०) = {१२ \छान्नुहोस् १०} (०.५)^१०} (०.५)^२ \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ P(X = ८) = ४९५ \cdot ०.०००२४४१४०६ = ०.१२०८४९६ \]
– \( P(X = 12) \ को लागि):
\[ P(X = १२) = {१२ \छान्नुहोस् १२} (०.५)^{१२} \]
\[ {१० \चयन गर्नुहोस् ०} = १ \]
\[ P(X = ८) = ४९५ \cdot ०.०००२४४१४०६ = ०.१२०८४९६ \]
चरण ३: सबै सम्भाव्यताहरू थप्नुहोस्।
\[ P(X \geq 8) = ०.१२०८४९६ + ०.०५३७१०९४ + ०.०१६११३२८ + ०.००२९२९६८८ + ०.०००२४४१४०६ \लगभग ०.१९३८४७७ \]
त्यसैले, १२ परीक्षणहरूमा कम्तिमा ८ सफलताहरू हुने सम्भावना लगभग ०.१९३८४७७ वा १९.३८% छ।
केसिम्पुलन
द्विपद वितरण तथ्याङ्कमा एक आधारभूत अवधारणा हो जुन धेरै व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूमा महत्त्वपूर्ण छ। माथिका उदाहरणहरूमा देखाइए अनुसार, द्विपद वितरणका विभिन्न केसहरूको लागि सम्भाव्यता कसरी गणना गर्ने भनेर बुझेर, हामी वास्तविक-विश्व परिस्थितिहरूमा यो अवधारणा लागू गर्न सक्छौं। यो अभ्यासले स्पष्ट र व्यवस्थित सन्दर्भमा सम्भाव्यता संरचनाहरूले कसरी काम गर्छन् भन्ने हाम्रो बुझाइलाई पनि बलियो बनाउँछ।
