गणितीय फैलावटमा छलफल प्रश्नको उदाहरण

गणितीय विस्तार छलफल प्रश्नहरूको उदाहरण

विस्तार, वा विस्तार र कटौती समावेश गर्ने रूपान्तरण, रूपान्तरण ज्यामितिमा एक महत्त्वपूर्ण अवधारणा हो। यो अवधारणा प्रायः विभिन्न सन्दर्भहरूमा देखा पर्दछ, जस्तै ढाँचा, सममिति, र धेरै अन्य वास्तविक जीवन अनुप्रयोगहरूको अध्ययन। यस लेखले गणितमा फैलावटको अवधारणाको बारेमा छलफल गर्नेछ र धेरै उदाहरण समस्याहरू र समाधानहरू प्रदान गर्नेछ।

फैलावट भनेको के हो?

फैलावट एक ज्यामितीय रूपान्तरण हो जसमा निश्चित स्केल कारकद्वारा आकारलाई ठूलो वा घटाउने समावेश हुन्छ। फैलावटमा, ज्यामितीय आकृतिको बिन्दु उही गुणकद्वारा फैलावटको केन्द्र बिन्दुबाट टाढा वा नजिक सर्नेछ। यदि स्केल फ्याक्टर ऋणात्मक छ भने फैलावटले ठूलो बनाउन सक्छ (स्केल फ्याक्टर > १), घटाउन सक्छ (० < स्केल फ्याक्टर < १), वा आकार पनि प्रतिबिम्बित गर्न सक्छ। फैलावटमा नोटेशनहरू फैलावट गर्दा, प्रायः प्रयोग हुने केही नोटेशनहरूमा समावेश छन्: - फैलावटको केन्द्र (P): एक निश्चित बिन्दु जुन फैलावट प्रक्रियामा सन्दर्भको रूपमा प्रयोग गरिन्छ। - स्केल फ्याक्टर (k): लम्बाइको अनुपात जसले कति विस्तार वा घटाइ हुन्छ भनेर निर्धारण गर्दछ। यदि \( k > 1 \), वस्तुलाई म्याग्निफाइ गरिनेछ। यदि \( ० < k < १ \), वस्तुको आकार घटाइनेछ। मानौं निर्देशांकहरू (x, y) भएको बिन्दु A लाई स्केल फ्याक्टर k र फैलावटको केन्द्र O (0,0) भएको बिन्दु A' मा फैलाइएको छ, त्यसपछि A' को निर्देशांकहरू (kx, ky) हुन्। फैलावट सूत्र बिन्दुको फैलावटबाट उत्पन्न हुने नयाँ निर्देशांकहरू पत्ता लगाउन, प्रयोग गरिएको सूत्र यस प्रकार छ: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] जहाँ (x, y) बिन्दुको प्रारम्भिक निर्देशांकहरू हुन् र k स्केल कारक हो। उदाहरण प्रश्न र छलफल उदाहरण प्रश्न १ बिन्दु A (२, ३) २ को स्केल फ्याक्टरले फैलिएको छ र फैलावटको केन्द्र O (०, ०) मा छ। फैलावट पछि बिन्दु A को निर्देशांक निर्धारण गर्नुहोस्। छलफल: बिन्दु A को निर्देशांकहरू (2, 3), स्केल कारक k = 2, र फैलावटको केन्द्र बिन्दु O (0, 0) हो। फैलावट सूत्र अनुसार: \[ A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] त्यसैले, फैलावट पछि बिन्दु A को निर्देशांकहरू (4, 6) हुन्। उदाहरण प्रश्न २ बिन्दु B (-१, ४) ०.५ को स्केल फ्याक्टरले फैलिएको छ र फैलावटको केन्द्र O (०, ०) मा छ। फैलावट पछि बिन्दु B को निर्देशांक निर्धारण गर्नुहोस्। छलफल: बिन्दु B को निर्देशांकहरू (-1, 4), स्केल कारक k = 0,5, र फैलावटको केन्द्र बिन्दु O (0, 0) हो। फैलावट सूत्र अनुसार: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] त्यसैले, फैलावट पछि बिन्दु B को निर्देशांकहरू (-0,5, 2) हुन्। उदाहरण प्रश्न ३ बिन्दु C (३, -२) -१ को स्केल फ्याक्टरले फैलिएको छ र फैलावटको केन्द्र O (०, ०) मा छ। फैलावट पछि बिन्दु C को निर्देशांक निर्धारण गर्नुहोस्। छलफल: बिन्दु C को निर्देशांकहरू (3, -2), स्केल कारक k = -1, र फैलावटको केन्द्र बिन्दु O (0, 0) हो। फैलावट सूत्र अनुसार: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] त्यसैले, फैलावट पछि बिन्दु C को निर्देशांकहरू (-3, 2) हुन्। उदाहरण प्रश्न ४ बिन्दु D (२, ५) लाई ३ को स्केल फ्याक्टरले फैलाइएको छ र फैलावटको केन्द्र P (१, १) मा छ। फैलावट पछि बिन्दु D को निर्देशांकहरू निर्धारण गर्नुहोस्। छलफल: बिन्दु D को निर्देशांकहरू (2, 5), स्केल कारक k = 3, र फैलावटको केन्द्र बिन्दु P (1, 1) हो। पहिले, हामी बिन्दु D लाई फैलावट केन्द्र निर्देशांक प्रणाली P (1, 1) मा सार्छौं: D को P मा सापेक्ष निर्देशांकहरू हुन्: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] बिन्दु D_r मा स्केल कारक k सँग फैलावट गर्नुहोस्: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] अन्तमा, हामी बिन्दु D_r' लाई मूल निर्देशांक प्रणालीमा फर्काउँछौं: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] त्यसैले, फैलावट पछि बिन्दु D को निर्देशांकहरू (4, 13) हुन्। उदाहरण प्रश्न ५: बिन्दु E (-२, -३) ०.२५ को स्केल फ्याक्टरले फैलिएको छ र फैलावटको केन्द्र P (-१, -१) मा छ। फैलावट पछि बिन्दु E को निर्देशांक निर्धारण गर्नुहोस्। छलफल: बिन्दु E को निर्देशांकहरू (-2, -3), स्केल कारक k = 0,25, र फैलावटको केन्द्र बिन्दु P (-1, -1) हो। पहिले, हामी बिन्दु E लाई फैलावट केन्द्र निर्देशांक प्रणाली P (-1, -1) मा सार्छौं: E को P को सापेक्ष निर्देशांकहरू हुन्: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] बिन्दु E_r मा स्केल कारक k को साथ फैलावट गर्नुहोस्: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] अन्तमा, हामी बिन्दु E_r' लाई मूल निर्देशांक प्रणालीमा फर्काउँछौं: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] त्यसैले, फैलावट पछि बिन्दु E को निर्देशांकहरू (-1,25, -1,5) हुन्। निष्कर्ष: फैलावट भनेको एक ज्यामितीय रूपान्तरण हो जसले निश्चित स्केल कारकद्वारा ज्यामितीय आकारलाई ठूलो वा घटाउँछ। फैलावटको अवधारणा र प्रयोग बुझ्नु अध्ययनका विभिन्न क्षेत्रहरूमा, विशेष गरी ज्यामितिमा धेरै उपयोगी छ। उदाहरणका प्रश्नहरू र छलफलहरू सहित, यसले विद्यार्थी र पाठकहरूलाई विभिन्न गणितीय परिस्थितिहरूमा फैलावटको अवधारणालाई राम्रोसँग बुझ्न र लागू गर्न मद्दत गर्ने आशा गरिएको छ।