वृत्तको परिभाषा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
वृत्त भनेको हामीले दैनिक जीवनमा बारम्बार सामना गर्ने आधारभूत ज्यामितीय आकारहरू मध्ये एक हो। गणितमा, वृत्तहरूको अद्वितीय परिभाषा र विशेषताहरू हुन्छन्। यस लेखले वृत्तको परिभाषा र यससँग सम्बन्धित तत्वहरूको गहिराइमा अन्वेषण गर्नेछ, साथै वृत्तहरूको हाम्रो बुझाइलाई गहिरो बनाउन धेरै उदाहरण समस्याहरू र तिनीहरूका समाधानहरू प्रदान गर्नेछ।
सर्कलको परिभाषा
वृत्त भनेको समतलमा रहेका सबै बिन्दुहरूको सेट हो जुन वृत्तको केन्द्र भनिने निश्चित बिन्दुबाट बराबर दूरीमा छन्। केन्द्र र वृत्तको कुनै पनि बिन्दु बीचको दूरीलाई वृत्तको त्रिज्या भनिन्छ। \((h, k)\) बिन्दुमा केन्द्र र \(r\) त्रिज्या भएको वृत्तको सामान्य समीकरण यसद्वारा दिइएको छ:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
त्यहाँ:
– \((h, k)\) वृत्तको केन्द्रका निर्देशांकहरू हुन्,
– \(r\) वृत्तको त्रिज्या हो,
– \(x\) र \(y\) वृत्तमा रहेको कुनै पनि बिन्दुका निर्देशांक हुन्।
वृत्तका तत्वहरू
उदाहरणका प्रश्नहरूमा जानु अघि, सर्कलका केही महत्त्वपूर्ण तत्वहरू जान्नु राम्रो हुन्छ:
१. वृत्तको केन्द्र: एक स्थिर बिन्दु जुन समान दूरीमा रहेका सबै बिन्दुहरूको केन्द्र हो।
२. त्रिज्या (r): वृत्तको केन्द्रबाट वृत्तको कुनै पनि बिन्दुसम्मको दूरी।
३. व्यास (d): वृत्तको केन्द्रबाट गुज्रने र वृत्तका दुई बिन्दुहरूलाई जोड्ने सिधा रेखाको लम्बाइ त्रिज्या (\(d = 2r\)) को दोब्बर हुन्छ।
४. चाप: वृत्तको परिधिको त्यो भाग जुन वृत्तमा दुई बिन्दुहरू बीच हुन्छ।
५. कर्ड: एउटा सीधा रेखा जसले वृत्तमा दुई बिन्दुहरूलाई जोड्छ तर केन्द्रबाट गुज्रँदैन।
६. अपोथेम: वृत्तको केन्द्रबाट कर्डसम्मको सबैभन्दा छोटो दूरी।
७. केन्द्रीय कोण: वृत्तको केन्द्रबाट दुई त्रिज्याहरूद्वारा बनेको कोण।
८. परिधि कोण: वृत्तको एक बिन्दुमा काट्ने दुई कर्डहरू द्वारा बनेको कोण।
नमुना प्रश्न र छलफल
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: \((३, ४)\) बिन्दुमा केन्द्र भएको र \((७, ४)\) बिन्दुबाट गुज्रिएको वृत्त दिइएको छ। वृत्तको समीकरण निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
वृत्तको समीकरण पत्ता लगाउन, हामीले पहिले यसको त्रिज्या जान्नु आवश्यक छ। वृत्त \((7, 4)\) बिन्दुबाट गुज्रिएको हुनाले, हामी यो बिन्दु र वृत्तको केन्द्र बीचको दूरी गणना गर्न सक्छौं, जुन \((3, 4)\) हो।
\[
r = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7 – 3)^2 + (4 – 4)^2}
\]
\[
r = \sqrt{४^२ + ०^२}
\]
\[
r = ०..4
\]
\((3, 4)\) मा केन्द्र र त्रिज्या ४ भएको अवस्थामा, वृत्तको समीकरण यो हो:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: ५ सेन्टिमिटरको त्रिज्या भएको वृत्तको क्षेत्रफल र परिधि निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
- वृत्त (A) को क्षेत्रफल \(A = \pi r^2\) सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ,
\[
A = \pi \गुणा ५^२
\]
\[
A = २५\pi \पाठ{ सेमी}^२
\]
यदि \(\pi \लगभग ३.१४\), भने:
\[
A \लगभग २५ \गुणा ३.१४ = ७८.५ \पाठ{ सेमी}^२
\]
– वृत्तको परिधि (C) सूत्र \(C = 2\pi r\) प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ,
\[
C = २ \पटक \pi \पटक ५
\]
\[
C = १०\pi \पाठ{ सेमी}
\]
यदि \(\pi \लगभग ३.१४\), भने:
\[
C \लगभग १० \गुणा ३.१४ = ३१.४ \पाठ{ सेमी}
\]
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: एउटा वृत्तको केन्द्र O बिन्दुमा हुन्छ र त्रिज्या ७ सेमी हुन्छ। यदि वृत्तमा १० सेमी लम्बाइको कर्ड कोरिएको छ भने, केन्द्र O देखि कर्डसम्मको सबैभन्दा छोटो दूरी निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
केन्द्रबाट कर्डसम्मको सबैभन्दा छोटो दूरी पत्ता लगाउन, हामी एपोथेमको अवधारणा प्रयोग गर्छौं, जुन केन्द्रबाट कर्डसम्मको सबैभन्दा छोटो दूरी हो। ७ सेन्टिमिटरको त्रिज्या र १० सेन्टिमिटरको कर्ड लम्बाइको साथ, हामी बनेको समकोण त्रिकोण प्रयोग गरेर यो समस्या समाधान गर्न सक्छौं।
यदि कर्डको मध्यबिन्दु बिन्दु C हो भने, OC हामीले खोजिरहेको अपोथेम हो। यदि A र B कर्डको अन्तिम बिन्दु हो भने, AC र BC प्रत्येक 5 सेमी (१० सेमीको आधा) हुन्छन्।
C मा समकोण भएको त्रिकोण OAC बाट, हामी पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग गर्छौं:
\[
OA^२ = OC^२ + AC^२
\]
\[
७^२ = ओसी^२ + ५^२
\]
\[
४९ = OC^२ + २५
\]
\[
OC^2 = ४९ – २५
\]
\[
OC^२ = २४
\]
\[
OC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{cm}
\]
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न: \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\) समीकरण भएको वृत्त दिइएको छ। वृत्तको केन्द्र र त्रिज्या निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
केन्द्र र त्रिज्या पत्ता लगाउन, हामी समीकरणलाई मानक रूपमा रूपान्तरण गर्छौं:
\[
x^२ + y^२ + ६x – ८y + ९ = ०
\]
हामी वर्ग रूपलाई पूर्ण बनाएर समाधान गर्छौं:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
x-पदमा (6/2)\(^2\) र y-पदमा (8/2)\(^2\) थप्ने र घटाउने:
\[
x^२ + ६x + ९ + y^२ – ८y + १६ = -९ + ९ + १६
\]
\[
(x + ३)^२ + (y – ४)^२ = १६
\]
समीकरण \((x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\) बाट, हामीले वृत्तको केन्द्र \((-3, 4)\) र त्रिज्या \(r = \sqrt{16} = 4\) भएको पाउँछौं।
केसिम्पुलन
वृत्त ज्यामितिमा एक आधारभूत र महत्त्वपूर्ण अवधारणा हो। माथिका उदाहरण समस्याहरू र छलफलहरू मार्फत, हामी वृत्तका विभिन्न पक्षहरू र गुणहरूको गहिरो बुझाइ प्राप्त गर्न सक्छौं। यो विषयमा निपुणता हासिल गर्नाले जटिल ज्यामितीय समस्याहरू बुझ्न र समाधान गर्न सजिलो हुनेछ।
