अंकगणितीय अनुक्रमहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
अंकगणितीय अनुक्रमहरू गणितमा एक आधारभूत अवधारणा हो जुन विभिन्न परीक्षाहरू र वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगहरूमा बारम्बार देखा पर्दछ। अंकगणितीय अनुक्रम भनेको प्रत्येक दुई लगातार पदहरू बीच स्थिर भिन्नता भएको संख्याहरूको अनुक्रम हो। यस लेखमा, हामी विस्तृत व्याख्याहरू सहित धेरै उदाहरण समस्याहरू मार्फत अंकगणितीय अनुक्रमहरूको अवधारणालाई अझ गहिराइमा अन्वेषण गर्नेछौं।
परिभाषा र संकेतनहरू
उदाहरणका समस्याहरूमा प्रवेश गर्नु अघि, अंकगणितीय अनुक्रमहरूमा प्रायः प्रयोग हुने संकेतन बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ। यदि \(a\) पहिलो पद हो र \(d\) सामान्य भिन्नता (स्थिर भिन्नता) हो भने, अंकगणितीय अनुक्रमलाई यसरी लेख्न सकिन्छ:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
यस क्रमको नवौं पद (अन) लाई यसरी तयार गर्न सकिन्छ:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
अंकगणितीय अनुक्रमहरू बुझ्न सजिलो बनाउनको लागि तल केही उदाहरण प्रश्नहरू र तिनीहरूको छलफलहरू दिइएका छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
पहिलो पद \(a = 5\) र सामान्य भिन्नता \(d = 3\) भएको अंकगणितीय अनुक्रम दिइएको छ। अनुक्रमको १० औं पद निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
n औं पदको लागि सामान्य सूत्र प्रयोग गर्दै, अर्थात् \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = ५ + (१०-१) \cdot ३ \]
\[ U_{10} = ५ + ९ \cdot ३ \]
\[ U_{10} = ५ + २७ \]
\[ U_{10} = ३२ \]
त्यसैले, क्रमको १२ औं पद ४२ हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
पाँचौं पद २० र आठौं पद ३५ भएको अंकगणितीय अनुक्रम दिइएको छ। पहिलो पद \(a\) र अनुक्रमको साझा भिन्नता \(d\) निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
प्रश्नबाट, हामीलाई थाहा छ:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
\(a\) हटाउन दुवै समीकरणहरू घटाउनुहोस्:
\[ (a + 7d) - (a + 4d) = 35 - 20 \]
\[ ३d = १५ \]
\[ घ = ३ \]
अब हामी \(a\) फेला पार्न \(d = 5\) लाई प्रतिस्थापन गर्छौं:
\[ a + ४ \cdot ५ = २० \]
\[ a + २० = २० \]
\" a = ० \]
त्यसैले, अनुक्रमको पहिलो पद ० हो र भिन्नता ५ हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
पहिलो पद \(a = 2\) र सामान्य भिन्नता \(d = 4\) भएको अंकगणितीय अनुक्रमको पहिलो २० पदहरूको योगफल कति हुन्छ?
छलफल:
अंकगणितीय अनुक्रमको पहिलो n पदहरूको योगफल सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\[ S_n = \frac{n}{2} \बायाँ( 2a + (n-1)d \दायाँ) \]
यो लाइनको लागि:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \बायाँ( २ \cdot २ + (२०-१) \cdot ४ \दायाँ) \]
\[ S_{20} = १० \बायाँ(४ + ७६ \दायाँ) \]
\[ S_{20} = १० \cdot 80 \]
\[ S_{20} = ८०० \]
त्यसैले, क्रमको पहिलो २० पदहरूको योगफल ८०० हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
अंकगणितीय क्रमको तेस्रो पद १५ हो र सातौं पद २७ हो। क्रमको १२ औं पद पत्ता लगाउनुहोस्।
छलफल:
पहिले, हामीले मानहरू \(a\) र \(d\) फेला पार्न आवश्यक छ। प्रश्नबाट, हामीलाई थाहा छ:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
\(a\) हटाउन दुवै समीकरणहरू घटाउनुहोस्:
\[ (a + 6d) - (a + 2d) = 27 - 15 \]
\[ ३d = १५ \]
\[ घ = ३ \]
अब हामी \(a\) फेला पार्न \(d = 3\) लाई प्रतिस्थापन गर्छौं:
\[ a + ४ \cdot ५ = २० \]
\[ a + २० = २० \]
\" a = ० \]
१२ औं पद पत्ता लगाउन नवौं पद सूत्र प्रयोग गर्दै:
\[ U_{12} = a + ११d \]
\[ U_{12} = ५ + ९ \cdot ३ \]
\[ U_{12} = ५ + २७ \]
\[ U_{12} = ३२ \]
त्यसैले, क्रमको १२ औं पद ४२ हो।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
पहिलो पद \(a\) र सामान्य भिन्नता \(d\) भएको अंकगणितीय अनुक्रममा पहिलो १० पदहरूको योगफल हुन्छ, अर्थात् ५५। यदि \(d = १\), पहिलो पद \(a\) निर्धारण गर्नुहोस्।
छलफल:
\(d = 1\) र \(S_{10} = 55\) दिइएको छ। पहिलो पदहरूको योगफलको लागि सूत्र प्रयोग गर्नुहोस्:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
n = १० को लागि:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ ५ (२क + ९) = ५५ \]
\[ २क + ९ = ११ \]
\[ २क = २ \]
\" a = ० \]
त्यसैले, अनुक्रमको पहिलो पद १ हो।
केसिम्पुलन
अंकगणितीय अनुक्रमहरू गणितमा एक आधारभूत अवधारणा हो जुन विभिन्न क्षेत्रहरूमा अत्यन्त उपयोगी छ। यस लेखमा, हामीले अंकगणितीय अनुक्रमहरू र तिनीहरूका समाधानहरूका धेरै उदाहरणहरू छलफल गरेका छौं। अंकगणितीय अनुक्रमहरूको सूत्रहरू र आधारभूत गुणहरूको राम्रो बुझाइ यस विषयसँग सम्बन्धित विभिन्न प्रकारका समस्याहरू समाधान गर्न धेरै उपयोगी हुनेछ।
माथिका उदाहरणहरू अभ्यास गरेर, तपाईं अंकगणितीय अनुक्रमहरू समावेश गर्ने समस्याहरू समाधान गर्न अझ दक्ष र छिटो बन्नुहुनेछ भन्ने आशा गरिन्छ।
