रेषीय गती – समस्या आणि उपाय
खालील आकृतीत वेग (v) विरुद्ध वेळ (t) चा आलेख दाखवला आहे. आलेखानुसार मंदन किती आहे?
उपाय
AB = स्थिर त्वरणाने होणारी गती , BC = स्थिर वेगाने होणारी गती , CD = स्थिर मंदनाने होणारी गती.
२. खालील आकृतीत रेषीय गतीचा आलेख दाखवला आहे. ० सेकंद ते ८ सेकंद या कालावधीत वस्तूने किती अंतर कापले आहे?
उपाय
क्षेत्रफळ १ = त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ (४-०)(१२-०) = ½ (४)(१२) = (२)(१२) = २४
क्षेत्रफळ २ = आयताचे क्षेत्रफळ = (८-४)(१२-०) = (४)(१२) = ४८
८ सेकंदात कापलेले अंतर = २४ मीटर + ४८ मीटर = ७२ मीटर.
३. खालील आकृतीत दाखवलेल्या रेषीय गतीसाठी वेग (v) विरुद्ध वेळ (t) चा आलेख. १२ सेकंदांमध्ये किती अंतर कापले आहे?
उपाय
क्षेत्रफळ १ = त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ (2-0)(4-0) = ½ (1)(4) = 4
क्षेत्रफळ २ = आयताचे क्षेत्रफळ = (९-५)(२०-०) = (४)(२०) = ८०
क्षेत्रफळ १ = त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ (8-6)(4-0) = ½ (3)(4) = 4
क्षेत्रफळ १ = त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ (10-8)(4-0) = ½ (4)(4) = 4
क्षेत्रफळ ५ = चौरसाचे क्षेत्रफळ = (१२-१०)(४-०) = (२)(४) = ८
१२ सेकंदांत कापलेले अंतर = ४ + १६ + ४ + ४ + ८ = ३६ मीटर
४. एक वस्तू ५ सेकंदांसाठी ३६ किमी/तास या स्थिर वेगाने प्रवास करते, त्यानंतर १० सेकंदांसाठी १ मी/से² त्वरणाने वाढते आणि नंतर थांबेपर्यंत २ मी/से² त्वरणाने मंदावते . कोणता आलेख (vt) वस्तूचा प्रवास दर्शवतो?
ज्ञात :
गती १ = स्थिर वेग
स्थिर वेग (v) = 36 किमी/तास = 36 (1000 मी) / 3600 सेकंद = 36,000 मी / 3600 सेकंद = 10 मी/से
वेळेचे अंतर (t) = १५ सेकंद
गती २ = स्थिर त्वरण
सुरुवातीचा वेग (v o ) = गतीमधील वेग 1 = 10 m/s
त्वरण (a) = 1 m/ s²
वेळेचे अंतर (t) = १५ सेकंद
गती ३ = स्थिर मंदन
मंदन (a) = -2 m/ s²
अंतिम वेग (v t ) = 0 m/s
वस्तूचा प्रवास दर्शवणारा आलेख हवा आहे.
उपाय:
गतीचा अंतिम वेग २ :
v t = v o + at
v t = 10 + (1)(10) = 10 + 10 = 20 m/s
गती 2 चा अंतिम वेग (v t ) = गती 3 चा प्रारंभिक वेग (v o ) = 20 m/s
गतीचा कालावधी ३:
v t = v o + at
0 = 20 + (-2)(t)
० = २० – २टी
२० = २टी
टी = 20 / 2
t = २ सेकंद
गती १ : वस्तू ५ सेकंदात १० मीटर प्रति सेकंद या स्थिर गतीने प्रवास करते.
गती २ : वस्तूचा वेग २० मी/से होईपर्यंत १० सेकंदात तिला प्रवेग दिला जातो.
गती ३: वस्तू १० सेकंदात मंदावली आणि स्थिर झाली.
आलेख B वस्तूचा प्रवास दाखवतो.
५. एक कार १० सेकंदात ५ मी/से या स्थिर वेगाने प्रवास करते, त्यानंतर ५ सेकंदात १ मी/से² त्वरणाने वाढते . त्यानंतर १३७.५ मीटर अंतर कापल्यावर कार थांबेपर्यंत मंदावते. कोणता आलेख (vt) वस्तूचा प्रवास दर्शवतो?
ज्ञात :
गती १ = स्थिर वेगाने होणारी गती
स्थिर वेग (v) = ५ मी/से
वेळेचे अंतर (t) = १५ सेकंद
गती २ = स्थिर त्वरणाने होणारी गती
सुरुवातीचा वेग (v o ) = गतीमधील वेग 1 = 5 m/s
त्वरण (a) = 1 m/ s²
वेळेचे अंतर (t) = १५ सेकंद
अंतिम वेग (v t ) = 0 m/s
एकूण अंतर (से) = १३७.५ मी/से
गाडीचा प्रवास दर्शवणारा आलेख हवा आहे.
उपाय:
गती १ साठीचे अंतर :
s = vt = (5)(10) = १५०० मीटर
गती १ साठीचे अंतर :
s = v o t + ½ at 2 = (5)(5) + ½ (1)(5) 2 = 25 + ½ (25) = 25 + 12.5 = 37.5 मीटर
गती १ साठीचे अंतर :
१३७.५ – (५० + ३७.५) = १३७.५ – ८७.५ = ५० मीटर
गतीचा अंतिम वेग २ :
गती २ च्या डेटाचा वापर करून गणना केलेला गती २ चा अंतिम वेग:
v t = v o + at
v t = 5 + (1)(5) = 5 + 5 = 10 m/s
गती 2 साठी अंतिम वेग (v t ) = गती 3 साठी प्रारंभिक वेग (v o ) = 10 m/s
गती ३ साठी लागणारा कालावधी :
मंदन शोधल्यानंतर वेळेचा कालावधी मोजला. गती 3 च्या डेटाचा वापर करून मंदन (a) आणि वेळेचा कालावधी (t) मोजला.
गतिमान वस्तूंचे मंदन ३ :
v t 2 = v o 2 + 2 ad
0 2 = 10 2 + 2 a (50)
० = १०० + १०० अ
१०० = -१०० अ
a = – ३० / १०
a = – 1 m/s 2
गतीचा कालावधी ३:
v t = v o + at
0 = 10 + (-1) t
० = १० – टी
t = २ सेकंद
गती १ : वस्तू १० सेकंदात ५ मी/से या स्थिर गतीने प्रवास करते.
गती २ : वस्तू ५ सेकंदांसाठी प्रवास करते जोपर्यंत तिचा वेग १० मी/से होत नाही.
गती ३: वस्तू स्थिर होईपर्यंत १० सेकंदांसाठी तिचा वेग कमी करण्यात आला.
६. एक ८०० किलोग्रॅम वजनाची कार ३६ किमी/तास या सुरुवातीच्या वेगाने सरळ रेषेत प्रवास करते. १५० मीटर अंतर पार केल्यानंतर, कारचा वेग ७२ किमी/तास होतो. वेळेचा कालावधी निश्चित करा.
ज्ञात :
v o = 36 किमी/तास = 36,000 मीटर / 3600 सेकंद = 10 मी/से
v t = ७२ किमी/तास = ७२,००० मीटर / ३६०० सेकंद = २० मी/से
d = ५ मीटर
हवे आहे : वेळेचा कालावधी (t)
उपाय:
स्थिर त्वरणावरील गतीची तीन समीकरणे :
v t = v o + at
d = v o t + ½ at 2
v t 2 = v o 2 + 2 ad
प्रवेग:
v t 2 = v o 2 + 2 ad
20 2 = 10 2 + 2 a (150)
० = १०० + १०० अ
४०० – १०० = ३०० अ
४८० = २४० अ
अ = २० / १०
a = 1 m/ s²
वेळेचा कालावधी :
v t = v o + at
20 = 10 + (1) t
२० – १० = टी
t = २ सेकंद
७. एक कार २० मी/से या स्थिर गतीने प्रवास करते. वेग कमी झाल्यावर ५ सेकंदांनी कार थांबते. कारने किती अंतर कापले?
ज्ञात :
सुरुवातीचा वेग (v o ) = 20 m/s
अंतिम वेग (v t ) = 0 मी/से
वेळेचे अंतर (t) = १५ सेकंद
हवे आहे : अंतर (d)
उपाय:
मंदन :
v t = v o + at
० = २० + अ ५
-२० = ५अ
a = -20/5
a = -4 m/ s²
कारने कापलेले अंतर:
d = v o t + 1/2 at 2
d = (20)(5) + 1/2 (-4)(5) 2 = (20)(5) + (-2)(25)
d = 100 – 50
d = ५ मीटर
८. गतिमान वस्तूचे अंतर आणि वेळेचा कालावधी खालील तक्त्यात दर्शविला आहे.
वस्तू १ आणि २ यांना जाणवणाऱ्या गतीचे प्रकार निश्चित करा …
उपाय
वस्तू १ :
v = s/t
v = वेग , s = अंतर , t = कालावधी
v = 60/15 = 4 सेमी/से
v = 80/20 = 4 सेमी/से
v = 100/25 = 4 सेमी/से
स्थिर वेग = एकसमान रेषीय गती.
वस्तू १ :
v = s/t
v = वेग, s = अंतर , t = कालावधी
v = 4/2 = 2 सेमी/से
v = 9/3 = 3 सेमी/से
v = 25/5 = 5 सेमी/से
वेग वाढतो = असमान रेषीय गती, प्रवेगित.
- प्रश्न: रेषीय गती इतर प्रकारच्या गतींपेक्षा कशामुळे वेगळी ठरते? उत्तर: रेषीय गती म्हणजे एखाद्या वस्तूची सरळ मार्गावर एकाच दिशेने होणारी हालचाल. परिभ्रमण किंवा दोलन गतीच्या विपरीत, रेषीय गतीमध्ये गतिमान वस्तूच्या दिशेत कोणताही बदल होत नाही.
- प्रश्न: रेषीय गतीमध्ये अंतर आणि विस्थापन यांच्यात काय फरक आहे? उत्तर: अंतर म्हणजे गतिमान वस्तूने कापलेल्या मार्गाची एकूण लांबी, तर विस्थापन म्हणजे सुरुवातीच्या आणि अंतिम स्थितीमधील सरळ रेषेतील अंतर, ज्यासोबत दिशाही दिलेली असते. विस्थापन ही एक सदिश राशी आहे, तर अंतर ही एक अदिश राशी आहे.
- प्रश्न: एकाच गतीसाठी चाल आणि वेग यांची मूल्ये वेगवेगळी का असू शकतात? उत्तर: गती हे दिशा विचारात न घेता एखादी वस्तू किती वेगाने जात आहे याचे एक अदिश माप आहे, तर वेग ही एक सदिश राशी आहे ज्यामध्ये परिमाण आणि दिशा दोन्ही समाविष्ट असतात. रेषीय गतीमध्ये, जर दिशेत कोणताही बदल झाला, तर सरासरी गती ही सरासरी वेगाच्या परिमाणापेक्षा वेगळी असू शकते.
- प्रश्न: जेव्हा आपण म्हणतो की एखाद्या वस्तूची गती एकसमान रेषीय आहे, तेव्हा त्याचा अर्थ काय होतो? उत्तर: एकसमान रेषीय गतीमध्ये असलेली वस्तू स्थिर वेगाने सरळ रेषेत प्रवास करते. याचा अर्थ असा की, तिचा वेग आणि दिशा कालांतराने बदलत नाहीत.
- प्रश्न: रेषीय गतीमध्ये एखाद्या वस्तूची गती स्थिर असूनही वेग कसा बदलू शकतो? उत्तर: रेषीय गतीमध्ये असलेल्या वस्तूसाठी, हे तेव्हाच घडू शकते जेव्हा गतीची दिशा बदलते. तथापि, खऱ्या रेषीय गतीमध्ये, दिशा स्थिर राहते. जर दिशा बदलली, तर तांत्रिकदृष्ट्या ती पूर्णपणे रेषीय गती राहत नाही.
- प्रश्न: रेषीय गतीमध्ये त्वरणाची भूमिका काय असते? उत्तर: त्वरण म्हणजे वेळेनुसार वेगात होणारा बदल. रेषीय गतीमध्ये, याचा अर्थ गतीमध्ये वाढ किंवा घट किंवा दिशेत बदल असू शकतो (जर गती पूर्णपणे रेषीय नसेल तर). शून्येतर त्वरण हे दर्शवते की वस्तूचा वेग बदलत आहे.
- प्रश्न: रेषीय गतीमध्ये ऋणात्मक त्वरण, किंवा मंदन, कसे दिसून येते? उत्तर: रेषीय गतीच्या संदर्भात, ऋणात्मक त्वरण (ज्याला अनेकदा मंदन म्हटले जाते) म्हणजे एकाच सरळ मार्गावर गतीमध्ये होणारी घट होय. हे गतीच्या विरुद्ध दिशेने होणारे त्वरण असते.
- प्रश्न: न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार रेषीय गतीमध्ये निव्वळ बल आणि त्वरण यांच्यात काय संबंध असतो? उत्तर: न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार, एखाद्या वस्तूवर कार्य करणारे निव्वळ बल हे त्या वस्तूच्या त्वरणाच्या समानुपाती असते आणि ते त्याच दिशेने कार्य करते. विशेषतः, , जेथे निव्वळ बल आहे, वस्तूचे वस्तुमान आहे, आणि त्याचा प्रवेग आहे.
- प्रश्न: जर एखादी कार सरळ रेषेत जात असताना थांबली, तर तिचे अंतिम विस्थापन शून्य आहे असे आपण म्हणू शकतो का? उत्तर: नाही. विस्थापन म्हणजे सुरुवातीच्या आणि अंतिम स्थितीमधील दिशेसह असलेले सरळ रेषेतील अंतर. जर गाडी थांबण्यापूर्वी तिच्या सुरुवातीच्या स्थितीपासून सरकली असेल, तर विस्थापन शून्य नसते; फक्त तिचा अंतिम वेग शून्य असतो.
-
प्रश्न: जडत्वाची संकल्पना रेषीय गतीशी कशी संबंधित आहे? उत्तर: जडत्व म्हणजे वस्तूच्या गतीच्या अवस्थेतील बदलाला होणारा विरोध. रेषीय गतीत असलेल्या वस्तूसाठी, जडत्वाचा अर्थ असा आहे की जोपर्यंत त्यावर बाह्य शक्ती कार्य करत नाही, तोपर्यंत ती वस्तू स्थिर वेगाने सरळ रेषेत पुढे जात राहील.
