क्रॉस गुणाकार

दोन सदिशांचा सदिश गुणाकार, उदाहरणार्थ सदिश A आणि B, A x B ( A क्रॉस B ) असा लिहिला जातो . सदिश गुणाकाराला सदिश गुणाकार म्हटले जाते कारण या गुणाकाराचा परिणाम एक सदिश राशी असतो.

उदाहरणार्थ, वेक्टर A आणि वेक्टर B खालील प्रतिमेप्रमाणे दिसतात.

सदिशांमधील सदिश गुणाकार परिभाषित करण्यासाठी A आणि B (A x B), आपण वेक्टर काढतो A आणि B वरील चित्रात दाखवल्याप्रमाणे, आणि सचित्र दाखवल्याप्रमाणे वेक्टर घटक B हा A ला लंब आहे, जो B sin θ च्या समान आहे.

अशाप्रकारे, आपण सदिशांच्या सदिश गुणाकाराचे परिमाण परिभाषित करू शकतो. A आणि B (A x B) सदिशाच्या परिमाणाच्या गुणाकार म्हणून A वेक्टर घटकांसह B सदिशाला लंब A.

जर आपण A x B चे B x A मध्ये रूपांतर केले तर काय होईल?

सर्वप्रथम, आपण सदिश B आणि A आणि सदिश A चे B ला लंब असलेले घटक काढू.

या आकृतीच्या आधारे, आपण सदिशांमधील सदिश गुणाकार परिभाषित करू शकतो. B आणि A (B x A) सदिशाच्या परिमाणाच्या गुणाकार म्हणून B वेक्टर घटकांसह A सदिशाला लंब Bगणितीय भाषेत लिहिलेले:

तिरकस गुणाकाराची दिशा A x B

सदिश गुणाकार हा एक सदिश गुणाकार आहे, त्यामुळे त्याच्या परिणामाला परिमाण आणि दिशा दोन्ही असतात. सदिश गुणाकाराचे परिमाण वर काढले आहे; आता आपल्याला त्याची दिशा निश्चित करायची आहे. A x B ची दिशा निश्चित करण्यासाठी , आपण प्रथम खाली दाखवल्याप्रमाणे A आणि B सदिश काढू. आपण हे दोन्ही सदिश एका प्रतलावर ठेवू.

क्रॉस गुणाकार A x B ज्या प्रतलात सदिश असतो, त्या प्रतलाला लंब असलेल्या सदिश म्हणून परिभाषित केले जाते. A आणि B स्थित आहे. आकार सारखाच आहे AB पाप टेटा. जिका C = A x B मका C = AB पाप टेटा

C ची दिशा, A आणि B सदिश असलेल्या प्रतलाला लंब आहे . C ची दिशा निश्चित करण्यासाठी आपण उजव्या हाताचा नियम वापरू शकतो. जर आपण आपली बोटे घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने धरली, तर C ची दिशा ही वरच्या दिशेने असलेल्या अंगठ्याच्या दिशेसारखीच असते.

तिरकस गुणाकाराची दिशा B x A

B x A ची दिशा निश्चित करण्यासाठी , प्रथम आपण खाली दर्शविल्याप्रमाणे B आणि A हे सदिश काढतो. आपण हे दोन्ही सदिश एका प्रतलात ठेवतो.

तर C = B x A मका C = बीए सिन टेटा.

C ची दिशा, B आणि A हे सदिश ज्या प्रतलात आहेत, त्या प्रतलाला लंब आहे. C ची दिशा ठरवण्यासाठी आपण उजव्या हाताचा नियम वापरू शकतो. जर आपण आपली बोटे घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने धरली, तर C ची दिशा ही खाली निर्देशित करणाऱ्या अंगठ्याच्या दिशेसारखीच असते.

A x B समान नाही B x Aसदिश गुणाकारामुळे एक सदिश राशी मिळते, जिला परिमाणाव्यतिरिक्त दिशाही असते. वरील थेंबामध्ये, दिशा A x B विरुद्ध दिशेने B x A.

तिरकस गुणाकाराबद्दल तुम्हाला माहित असणे आवश्यक असलेल्या काही गोष्टी:

१. तिरकस गुणाकार हा प्रति-विनिमेय असतो.

A x B = – B x A

ऋण चिन्ह हे दर्शवते की A x B येथील B ची दिशा, B x A येथील B च्या दिशेच्या विरुद्ध आहे.

२. जर दोन सदिश एकमेकांना लंब असतील , तर तयार होणारा कोन ९० ^° असतो . Sin 90 ^{° = 1. म्हणून, सदिश} A आणि B मधील सदिश गुणाकाराचे परिमाण खालीलप्रमाणे दिसेल:

A x B = AB पाप थीटा = AB पाप 90 ^o = AB

B x A = BA sin θ = BA sin 90 ^° = BA

3. जर दोन्ही सदिश एकाच दिशेत असतील, तर तयार होणारा कोन 0 ^° असतो.

Sin 0 ^{o = 0. म्हणून,} A आणि B या सदिशांमधील सदिश गुणाकाराचे मूल्य खालीलप्रमाणे दिसेल.

A x B = AB sin theta = AB पाप 0 ^o = 0

B x A = BA sin θ = BA sin θ ⁼ 0