सदिश या सामान्य संख्या नाहीत, त्यामुळे त्यांच्यावर थेट सामान्य गुणाकार करता येत नाही. आपल्याला सदिश गुणाकार वापरावा लागतो. सदिश गुणाकाराचे दोन प्रकार आहेत: बिंदू गुणाकार आणि तिरकस गुणाकार. बिंदू गुणाकाराला अदिश गुणाकार असेही म्हणतात कारण त्यातून अदिश राशी मिळते. तिरकस गुणाकाराला सदिश गुणाकार असेही म्हणतात कारण त्यातून सदिश राशी मिळते. उदाहरणार्थ, दोन सदिश आहेत, म्हणजे A आणि Bसदिशांचा अदिश गुणाकार A आणि B सांगितले एबी केमैदानात बिंदू चिन्हांचा वापर होत असल्याने, या गुणाकाराला म्हणतात डॉट उत्पादनसदिश गुणाकार A आणि B सांगितले A x बीकारण त्यात संकेतन वापरले जाते xतर या गुणाकाराला तिरकस गुणाकार म्हणतात.
उदाहरणार्थ, वेक्टर दिला असता A आणि B खालील प्रतिमेत दाखवल्याप्रमाणे. सदिशांमधील बिंदू गुणाकार A आणि B असे लिहिले आहे एबी (A मुद्दा B).
सदिशांचा बिंदू गुणाकार परिभाषित करण्यासाठी A आणि B (एबी)चित्रित वेक्टर A आणि सदिश वाय द्वारेजो कोन तयार करतो θ. पुढे आपण सदिशाचे प्रक्षेप काढू. B सदिशच्या दिशेने Aहा प्रक्षेप सदिशचा एक घटक आहे. B जो सदिशाला समांतर आहे Aजे समान आकाराचे आहे B cos θ.
अशाप्रकारे, आपण व्याख्या करतो एबी मोठ्या सदिश म्हणून A सदिश घटकांनी गुणाकार केला B जे समांतर आहे Aगणितानुसार आपण ते खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:
AB cos θ ही एक सामान्य संख्या (स्केलर) आहे. म्हणून, डॉट प्रॉडक्टला स्केलर प्रॉडक्ट असेही म्हणतात. जर वेक्टर्समधील डॉट प्रॉडक्ट... A आणि B उलटले बीए आपण व्याख्या करण्यापूर्वी? बीएप्रथम आपण सदिशचे प्रक्षेप काढतो A सदिशांना बी (खालील चित्र पहा).
या प्रतिमेच्या आधारे आपण व्याख्या करू शकतो बीए मोठ्या सदिश म्हणून B सदिश घटकांनी गुणाकार केला A जे समांतर आहे Bगणितानुसार आपण ते खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:
डॉट उत्पादन परिणाम एबी = AB cos θ आणि डॉट उत्पादनाचा परिणाम बीए = BA cos θकारण AB cos θ = BA cos θमग ते लागू होते एबी = बीए
बिंदू गुणाकाराबद्दल तुम्हाला माहित असणे आवश्यक असलेल्या काही गोष्टी:
१. डॉट प्रोडक्ट क्रमविनिमेय नियमाचे समाधान करतो.
एबी = बीए
२. डॉट प्रोडक्ट वितरणाच्या नियमाचे समाधान करते.
A. (B + C) = AB + AC
३. जर सदिश A आणि B एकमेकांना लंब असतील, तर बिंदू गुणाकार AB = 0
जेव्हा वेक्टर A आणि B जर ते एकमेकांना लंब असतील, तर तयार होणारा कोन ९० अंशाचा असतो.oकॉस ९०o = 0. म्हणून: एबी = AB cos टेटा = AB कारण 90o = 0. दुसरीकडे, बीए = BA cos टेटा = BA कारण 90o = 0
४. जर सदिश A आणि सदिश B एकाच दिशेत असतील , तर AB = AB cos θ = AB
जेव्हा वेक्टर A आणि B त्याच दिशेने, तर तयार होणारा कोन 0 असतो.oCos 0 = 1. म्हणून, एबी = AB cos टेटा = AB कारण 0o = ABयाउलट बीए = BA cos टेटा = BA कारण 0o = BA
तुम्ही याच्याशी गोंधळ करू नये AB आणि BAमोठे AB = मोठे BAउदाहरणार्थ, सदिशाचे परिमाण A = २. सदिशाचे परिमाण B = ३. मग एबी = २.३ = ६; हे याच्या समान आहे बीए = ५८ = ०.६२५.
५. एकाच दिशेतील दोन सदिशांसाठी दुसरी अट, जर A = B असेल तर आपल्याला AA = A² किंवा BB = B² मिळते.
6. जर सदिश A आणि B विरुद्ध दिशेत असतील (जेव्हा दोन सदिश विरुद्ध दिशेत असतात तेव्हा तयार होणारा कोन 180º असतो) , तर गुणाकाराचा निकाल AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
समस्यांचे उदाहरण :
वेक्टर A चे परिमाण 4 एकक आहे आणि वेक्टर B चे परिमाण 3 एकक आहे. जर दोन वेक्टर्सनी तयार केलेले कोन 60º, 90º आणि 180º असतील तर त्या दोन वेक्टर्सचा डॉट प्रोडक्ट निश्चित करा.
चर्चा
AB = BA असल्याने , आपण दोन्हीपैकी एक वापरू शकतो. उदाहरणार्थ, आपण AB वापरतो.
AB = AB cos θ
A चे माप = ४ एकक आणि B चे माप = ३ एकक आहे.
