आर्किमिडीजचा नियम सामग्री
तुम्ही कधी जहाज पाहिले आहे का? जर तुम्ही ते प्रत्यक्ष पाहिले नसेल, तर आशा आहे की तुम्ही ते टेलिव्हिजनवर किंवा इंटरनेटवर पाहिले असेल. खूप जास्त वस्तुमान असलेले जहाज बुडत नाही, तर एक लहान, हलका खडक बुडू शकतो. असे का होते? जर तुम्हाला उत्प्लावकतेची संकल्पना आणि आर्किमिडीजचे तत्त्व समजले, तर याचे उत्तर अगदी सोपे आहे.
दैनंदिन जीवनात आपल्याला असे आढळून येईल की, द्रवात ठेवलेल्या वस्तूंचे, जसे की दगडाचे, वजन द्रवात नसतानाच्या वजनापेक्षा कमी असते. तुम्हाला जमिनीच्या पृष्ठभागावरून दगड उचलणे कठीण वाटू शकते, परंतु तोच दगड तलावाच्या तळापासून सहज उचलला जातो. हे उत्प्लावक शक्तीमुळे होते. वेगवेगळ्या खोलीवरील द्रवाच्या दाबातील फरकामुळे उत्प्लावकता निर्माण होते. खोलीनुसार द्रवाचा दाब वाढतो; द्रव जितका खोल, तितका त्याचा दाब जास्त असतो. जेव्हा एखादी वस्तू द्रवात ठेवली जाते, तेव्हा वस्तूच्या वरील द्रव आणि वस्तूच्या खालील द्रव यांच्या दाबात फरक असतो. वस्तूच्या तळाशी असलेल्या द्रवाचा दाब, वस्तूच्या वरच्या द्रवापेक्षा जास्त असतो.
उत्प्लावकता
चित्रात, एक वस्तू पाण्यात तरंगताना दिसत आहे. वस्तूच्या खालील द्रवाचा दाब वस्तूच्या वरील द्रवापेक्षा जास्त आहे. याचे कारण असे की, वस्तूच्या खालील द्रवाची खोली वस्तूच्या वरील द्रवापेक्षा जास्त आहे.2 एच1).
F 2 = वस्तूच्या तळावर द्रवाद्वारे लावलेले बल, F 1 = वस्तूच्या वरच्या भागावर द्रवाद्वारे लावलेले बल, A = वस्तूचे पृष्ठफळ
F2 आणि F1 यांमधील फरक म्हणजे द्रवाद्वारे वस्तूवर प्रयुक्त होणारे एकूण बल, ज्याला आपण उत्प्लावक बल म्हणून ओळखतो. उत्प्लावक बलाचे परिमाण आहे:
F उत्प्लावकता = F 2 − F 1
F buoyant = (ρ gh 2 A ) - (ρ gh 1 A)
F float = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F उत्प्लावकता = ρ g A h
F उत्प्लावकता = ρ g V
माहिती :
ρ = द्रवाची घनता
g = गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण
V = द्रवातील वस्तूचे आकारमान
जेणेकरून उत्प्लावक बलाचे (F buoyancy) परिमाण दर्शवणारे वरील समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल:
F float = ρ F g V → m = ρ V
F उत्प्लावकता = m F g
F उत्प्लावकता = w F
m F g = w F = बुडलेल्या वस्तूच्या आकारमानाइतकेच आकारमान असलेल्या द्रवाचे वजन.
आर्किमिडीजचे तत्त्व
वरील समीकरणावरून आपण असे म्हणू शकतो की, उत्प्लावक बल हे विस्थापित द्रवाच्या वजनाइतके असते आणि विस्थापित द्रवाचे आकारमान हे त्या द्रवात बुडवलेल्या वस्तूच्या आकारमानाइतके असते.
जर एखादी वस्तू द्रवात बुडवली आणि ती तरंगू लागली, ज्यात वस्तूचा फक्त काही भागच बुडालेला असेल, तर विस्थापित झालेल्या द्रवाचे घनफळ हे द्रवात बुडालेल्या वस्तूच्या भागाच्या घनफळाएवढे असते. वस्तूचा आकार किंवा रूप काहीही असले तरी, सर्वांच्या बाबतीत हीच गोष्ट घडेल. हे आर्किमिडीजचे (इ.स.पू. २८७-२१२) कार्य आहे, जे आता 'आर्किमिडीजचे तत्व' म्हणून ओळखले जाते.
आर्किमिडीजच्या तत्वानुसार:
जेव्हा एखादी वस्तू द्रवात पूर्णपणे किंवा अंशतः बुडवली जाते, तेव्हा तो द्रव त्या वस्तूवर ऊर्ध्वगामी बल (उत्प्लावक बल) प्रयुक्त करतो, ज्याचे परिमाण विस्थापित झालेल्या द्रवाच्या वजनाइतके असते.
आर्किमिडीजची कथा
इ.स.पूर्व २८७ ते २१२ दरम्यान होऊन गेलेल्या आर्किमिडीजला, राजा हिरॉन द्वितीयने राजासाठी बनवलेला मुकुट शुद्ध सोन्याचा आहे की नाही याची चौकशी करण्याचे काम सोपवले होते. तो मुकुट शुद्ध सोन्याचा आहे की त्यात इतर धातू आहेत, याबद्दल आर्किमिडीज सुरुवातीला संभ्रमात होता. अडचण अशी होती की त्या मुकुटाचा आकार अनियमित होता आणि तो शुद्ध सोन्याचा आहे की नाही हे ठरवण्यासाठी त्याला नष्ट करणे शक्य नव्हते.
राजाचा मुकुट शुद्ध सोन्याचा आहे की नाही हे ठरवण्यामागील कल्पना अशी आहे की, प्रथम मुकुटाचे विशिष्ट गुरुत्व निश्चित केले जाते आणि नंतर त्याची सोन्याच्या विशिष्ट गुरुत्वाशी तुलना केली जाते. जर मुकुट शुद्ध सोन्याचा असेल, तर मुकुटाचे विशिष्ट गुरुत्व = सोन्याचे विशिष्ट गुरुत्व.
एखाद्या वस्तूची विशिष्ट घनता म्हणजे हवेतील त्या वस्तूच्या वजनाचे, त्याच आकारमानाच्या पाण्यातील वजनाशी असलेले गुणोत्तर होय. गणितानुसार ते असे लिहिले जाते:
एखाद्या वस्तूच्या आकारमानाइतकेच आकारमान असलेल्या पाण्याचे वजन कसे ठरवावे?
आर्किमिडीजच्या मते, वस्तूच्या आकारमानाइतक्याच आकारमानाच्या पाण्याचे वजन = वस्तू बुडताना (संपूर्ण वस्तू पाण्यात बुडल्यावर) लागणाऱ्या उत्प्लावक बलाचे परिमाण. हेच पाण्यात वजन केल्यावर वस्तूने गमावलेल्या वजनाइतके असते. म्हणून:
मुकुटाचे विशिष्ट गुरुत्व निश्चित करण्यासाठी, प्रथम मुकुटाचे हवेत वजन केले जाते (हवेतील मुकुटाचे वजन). त्यानंतर, मुकुट पाण्यात टाकला जातो आणि हरवलेल्या मुकुटाचे वजन मिळवण्यासाठी त्याचे पुन्हा वजन केले जाते. म्हणून:
एकदा मुकुटाचे विशिष्ट गुरुत्व मिळाल्यावर, त्याची सोन्याच्या विशिष्ट गुरुत्वाशी तुलना केली जाते. सोन्याचे विशिष्ट गुरुत्व १९.३ आहे. जर मुकुटाचे विशिष्ट गुरुत्व सोन्याच्या विशिष्ट गुरुत्वाइतके असेल, तर तो मुकुट शुद्ध सोन्याचा बनलेला असतो. तथापि, जर मुकुट शुद्ध सोन्याचा बनलेला नसेल, तर मुकुटाचे विशिष्ट गुरुत्व सोन्याच्या विशिष्ट गुरुत्वाइतके असणार नाही.
जहाजे का बुडत नाहीत?
जर एखाद्या वस्तूची घनता पाण्याच्या घनतेपेक्षा कमी असेल, तर ती वस्तू तरंगेल. याउलट, जर एखाद्या वस्तूची घनता पाण्याच्या घनतेपेक्षा जास्त असेल, तर ती वस्तू बुडेल. बहुतेक जहाजे लोखंड आणि पोलादाची बनलेली असतात. लोखंड आणि पोलादाची घनता = ७.८ x १०³ किलोग्रॅम /घनमीटर आहे , तर पाण्याची घनता = १.०० x १०³ किलोग्रॅम /घनमीटर आहे . असे दिसते की लोखंड आणि पोलादाची घनता पाण्याच्या घनतेपेक्षा जास्त आहे. या प्रकरणात, लोखंड आणि पोलादाचे विशिष्ट गुरुत्व = ७.८ आहे. लोखंड आणि पोलादाची बनलेली जहाजे बुडायला हवीत. जहाजे का बुडत नाहीत? जहाजाची एकूण घनता पाण्याच्या किंवा समुद्राच्या पाण्याच्या घनतेपेक्षा कमी असते.
आर्किमिडीजच्या नियमावरील नमुना प्रश्न
उदाहरण प्रश्न २:
40 kg वजनाचा एक खडक तलावाच्या तळाशी आहे. जर खडकाचे घनफळ = 0,2 m³ असेल , तर तो खडक उचलण्यासाठी किमान किती बल लागेल?
चर्चा
हे ज्ञात आहे की:
दगडाचे वस्तुमान (मी) = ४० किलो
दगडाचे घनफळ (V) = ०.५ घनमीटर
पाण्याची घनता = १००० किलोग्रॅम/ घनमीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ s²
विचारले: F किमान
उत्तर :
F उत्प्लावकता = w F
F उत्प्लावकता = m F g → m = pV
F उत्प्लावकता = ρ F g V
F उत्प्लावकता = (1000 kg/m 3 )(10 m/s 2 )(0,02 m 3 )
F उत्प्लावकता = 200 kg m/ s²
F उत्प्लावकता = २०० न्यूटन
दगडाचे वजन (w) = mg
दगडाचे वजन = (४० किलो)(१० मी/ से² )
दगडाचे वजन = ४०० किलो मीटर/ सेकंद²
दगडाचे वजन = ४०० न्यूटन
दगड उचलण्यासाठी लागणारे किमान बल:
दगडाचे वजन – उत्प्लावक बल = 400 N – 200 N = 200 न्यूटन.
उदाहरण प्रश्न २:
हवेतील वस्तूचे वजन = 5000 kg m/s² आणि पाण्यातील वस्तूचे वजन = 4000 kg m/s² आहे . जर वस्तूची घनता = 2000 kg/ m³ असेल , तर वस्तूचे वस्तुमान आणि आकारमान किती आहे? g = 10 m/ s²
चर्चा
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ s²
वस्तूची घनता = २००० किलोग्रॅम/ घनमीटर
पाण्याची घनता = १००० किलोग्रॅम/ घनमीटर
हवेतील वस्तूचे वजन = ५००० किलोग्रॅम मीटर/ सेकंद²
पाण्यातील वस्तूचे वजन = ४००० किलोग्रॅम मीटर/ सेकंद²
उत्प्लावक बल (F buoyant) = हवेतील वस्तूचे वजन – पाण्यातील वस्तूचे वजन
F उत्प्लावकता = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F उत्प्लावकता = 1000 kg m/ s²
उत्प्लावकता = विस्थापित पाण्याचे वजन
उत्प्लावकता = (पाण्याचे वस्तुमान)(ग्रॅम)
उत्प्लावकता = (विस्थापित झालेल्या पाण्याचे घनफळ)(पाण्याची घनता)(ग्रॅम)
विस्थापित झालेल्या पाण्याचे घनफळ = पाण्यात बुडालेल्या वस्तूचे घनफळ 😉
म्हणून वस्तूचे घनफळ = ०.१ घनमीटर
वस्तूचे वस्तुमान = ?
ρ = m/V
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = २०० किलो
वस्तूचे वस्तुमान = २०० किलो
उदाहरण प्रश्न २:
जर फुग्याला ५०० किलोग्रॅम भार उचलायचा असेल, तर किती घनफळ हेलियमची आवश्यकता असेल?
चर्चा
हेलियमची घनता = ०.१७८६ किलोग्रॅम/ घनमीटर
हवेची घनता = १.२९३ किलोग्रॅम/ घनमीटर
उत्प्लावक बल = विस्थापित झालेल्या हवेचे वजन = भाराचे वजन + हेलियमचे वजन
उत्प्लावक बल = भाराचे वजन + हेलियमचे वजन
उत्प्लावक बल = (भाराचे वस्तुमान)(ग्रॅम) + (हेलियमचे वस्तुमान)(ग्रॅम)
उत्प्लावक बल = (भाराचे वस्तुमान + हेलियमचे वस्तुमान) ग्रॅम —- समीकरण १
उत्प्लावक बल = विस्थापित हवेचे वजन
उत्प्लावक बल = (विस्थापित हवेचे वस्तुमान)(ग्रॅम) —- समीकरण २
आपण समीकरण १ आणि समीकरण २ एकत्र करतो:
(भाराचे वस्तुमान + हेलियमचे वस्तुमान)(ग्रॅम) = (विस्थापित हवेचे वस्तुमान)(ग्रॅम)
भाराचे वस्तुमान + हेलियमचे वस्तुमान = विस्थापित झालेल्या हवेचे वस्तुमान
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ air)( V air)
500 kg = (ρ हवा)(V हवा) – (ρ हेलियम)( V हेलियम)
विस्थापित झालेल्या हवेचे घनफळ (V air) = फुग्यात भरलेल्या हेलियमचे घनफळ (V helium)
500 किलो = (ρ हवा - ρ हीलियम) (V)
पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर एखादे वजन उचलण्यासाठी आवश्यक असलेले हेलियमचे हे किमान आकारमान आहे. फुगा अधिक उंच तरंगण्यासाठी, हेलियमचे आकारमान वाढवावे लागते. याचे कारण असे की, उंचीनुसार हवेची घनता कमी होते.
