Өгөгдлийн медианыг олох аргууд: Бүрэн гарын авлага
Медиан нь статистикийн төвийн хандлагын маш чухал хэмжүүр юм. Энгийнээр хэлбэл, медиан нь өгөгдлийг утгуудаар нь эрэмбэлэх үед өгөгдлийн багц дахь дундаж утга юм. Медианыг хэрхэн тооцоолохыг ойлгох нь эрдэм шинжилгээний өгөгдлийн шинжилгээ болон мэргэжлийн ертөнцөд үнэлж баршгүй чухал статистикийн үндсэн ур чадвар юм. Энэ нийтлэлд янз бүрийн төрлийн өгөгдлөөс медианыг олох янз бүрийн аргуудыг авч үзэх бөгөөд ойлголтыг хөнгөвчлөх дэлгэрэнгүй жишээнүүдийг өгөх болно.
Медиан гэж юу вэ?
Медиан нь эрэмбэлэгдсэн өгөгдлийн багцын дунд цэг юм. Хэрэв өгөгдлийн цэгүүдийн тоо сондгой бол медиан нь дунд утга юм. Хэрэв өгөгдлийн цэгүүдийн тоо тэгш бол медиан нь өгөгдлийн цэгүүдийн хоёр дунд утгын дундаж юм. Медиан нь дундаж утгаас ялгаатай нь хэт туйлын утгууд (гадагшлах утга)-д нөлөөлдөггүй.
Медианыг тооцоолох алхамууд
Голчийг тооцоолохын тулд хэд хэдэн үндсэн алхамуудыг хийх хэрэгтэй:
1. Өгөгдлийг эрэмбэлэх:
Өгөгдлийг хамгийн бага утгаас хамгийн том руу нь эрэмбэлэх ёстой.
2. Өгөгдлийн хэмжээг тодорхойлох:
Өгөгдлийн багц дахь элементүүдийн тоог (n) тоол.
3. Голч байрлалыг тодорхойлох нь:
– Сондгой тооны өгөгдлийн хувьд: Медиан байрлал нь [(n+1)/2]-р утга байна.
– Тэгш тооны өгөгдлийн хувьд: медиан нь [n/2]-р болон [(n/2)+1]-р байрлалд байрлах хоёр утгын дундаж юм.
Эдгээр алхмуудыг бодит жишээгээр тоймлон авч үзье.
Сондгой өгөгдлийн жишээ
Бидэнд сондгой өгөгдлийн багц байна гэж бодъё: [3, 1, 5, 7, 9]
1. Өгөгдлийг эрэмбэлэх:
Эрэмбэлсний дараа өгөгдлийн багц дараах хэлбэртэй болно: [1, 3, 5, 7, 9]
2. Өгөгдлийн хэмжээг тодорхойлох:
n = 5
3. Голч байрлалыг тодорхойлох нь:
Өгөгдлийн тоо сондгой (5) тул медиан байрлал нь [(5+1)/2] = 3 дахь утга байна.
Тиймээс өгөгдлийн багцын медиан нь 5 байна.
Бүр өгөгдлийн жишээ
Тэгш өгөгдлийн багц байна гэж бодъё: [8, 3, 7, 5, 10, 2]
1. Өгөгдлийг эрэмбэлэх:
Эрэмбэлсний дараа өгөгдлийн багц дараах хэлбэртэй болно: [2, 3, 5, 7, 8, 10]
2. Өгөгдлийн хэмжээг тодорхойлох:
n = 6
3. Голч байрлалыг тодорхойлох нь:
Өгөгдлийн тоо тэгш (6) тул медиан нь хоёр дунд утгын дундаж бөгөөд тухайлбал [6/2] = 3 дахь утга ба [(6/2)+1] = 4 дэх утга юм.
Эдгээр утгууд нь 5 ба 7 байна. Тиймээс медиан = (5+7)/2 = 6.
Бүлэглэсэн өгөгдлийн медиан
Бүлэглэсэн өгөгдөл эсвэл интервалд бүлэглэсэн өгөгдөлтэй ажиллах үед медианыг тооцоолох нь арай илүү төвөгтэй боловч системчилсэн процедурын тусламжтайгаар хийж болно.
Доорх давтамжийн тархалтын хүснэгтийг авч үзье:
| Интервал | Давтамж |
| ——– | ——— |
| 0-10 | 5 |
| 10-20 | 8 |
| 20-30 | 12 |
| 30-40 | 10 |
| 40-50 | 6 |
1. Хуримтлагдсан давтамжийг тодорхойлох:
| Интервал | Давтамж (f) | Хуримтлагдсан давтамж (F) |
| ——– | ————- | ——————– |
| 0-10 | 5 | 5 |
| 10-20 | 8 | 13 |
| 20-30 | 12 | 25 |
| 30-40 | 10 | 35 |
| 40-50 | 6 | 41 |
2. Голын байршлыг тодорхойлох:
N = нийт давтамжийн тоо = 41. Медиан нь (N/2) байрлалд байрлана = 41/2 = 20,5.
3. Голч интервалыг тодорхойлох нь:
20,5-р байрлалыг агуулсан интервал нь 20-30 байна.
4. Медиан томъёог ашиглах нь:
Ангийн өгөгдлийн медианыг дараах томъёогоор тодорхойлно:
\[
\text{Медиан} = L + \left( \frac{\left( \frac{N}{2} – F_{c-1} \right)}{f_m} \right) \times i
\]
Хаана:
– \( L \) нь голч ангийн доод хязгаар юм.
– \( N \) нь давтамжийн нийт тоо юм.
– \( F_{c-1} \) нь ангийн медианаас өмнөх хуримтлагдсан давтамж юм.
– \( f_m \) нь медиан ангийн давтамж юм.
– \( i \) нь ангийн интервалын өргөн юм.
Өгөгдлөөс:
– \( L = 20 \)
– \( N = 41 \)
– \( F_{c-1} = 13 \) (20-30-р ангийн өмнөх хуримтлагдсан давтамж)
– \( f_m = 12 \)
– \( i = 10 \) (интервалын өргөн)
Тэгэхээр:
\[
\text{Медиан} = 20 + \left( \frac{(20,5 – 13)}{12} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{7,5}{12} \right) \times 10 = 20 + 6,25 = 26,25
\]
Ангиллын өгөгдлийн дундаж
Ангилал эсвэл дарааллын өгөгдлийн хувьд эрэмбэлэгдсэн өгөгдлийн багцыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг элементийн байрлалыг тодорхойлсноор медианыг тооцоолж болно.
Жишээлбэл, дараах өгөгдөл нь хэрэглэгчийн сэтгэл ханамжийн үнэлгээ юм: [Муу, Сайн, Дунд зэрэг, Маш сайн, Сайн, Дунд зэрэг]
1. Өгөгдлийг эрэмбэлэх:
Үнэлгээгээр нь боломжийн эрэмбэлэх: [Муу, Дунд зэрэг, Дунд зэрэг, Сайн, Сайн, Маш сайн]
2. Өгөгдлийн хэмжээг тодорхойлох:
n = 6
3. Медианыг тодорхойлох нь:
Өгөгдлийн тоо тэгш (6) тул медиан нь хоёр дунд утгын дундаж буюу [6/2] = 3 дахь болон (6/2 + 1) = 4 дэх утгуудын дундаж юм.
Эдгээр утгууд нь "Хангалттай" ба "Сайн" юм. Энэ нь ангиллын өгөгдөл тул бид тоон дундажийг авч чадахгүй тул бид ихэвчлэн тухайн нөхцөл байдалд тохирсон голд байгаа утгыг авдаг, жишээлбэл, дарааллын интерполяцийг ашигладаг.
Дүгнэлт
Медианыг олох нь статистикийн шинжилгээний чухал үндсэн арга юм. Медиан нь хэт туйлшралын утгуудаас гажуудаагүй өгөгдлийн багцын талаарх мэдээллийг өгдөг. Ашигласан арга нь таны өгөгдлийн төрлөөс хамаарна - дан, бүлэглэсэн эсвэл ангилсан эсэхээс хамаарна. Дээр дурдсан системчилсэн алхмуудыг дагаснаар та янз бүрийн өгөгдлийн багцын медианыг хялбархан олох боломжтой. Энэ нь танд өгөгдлийн тархалтыг ойлгоход туслахаас гадна түүн дээр үндэслэн илүү мэдээлэлтэй шийдвэр гаргахад тусална.
