Одон орон судлалд тригонометрийн хэрэглээ
Тригонометр бол гурвалжингийн өнцөг ба хажуугийн уртын хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийг ихэвчлэн зөвхөн сургуулийн материал гэж үздэг ч үнэндээ одон орны "үндсэн хэл"-ийн нэг юм. Оддын байрлалыг тодорхойлох, огторгуйн биетүүд хүртэлх зайг тооцоолохоос эхлээд хиртэлтийг урьдчилан таамаглах хүртэл бараг бүх одон орны хэмжилтүүд нь өнцөг, тойрог, синус, косинус, тангенс зэрэг тригонометрийн харьцааг хамардаг. Энэ нийтлэлд тригонометрийг одон орон судлалд энгийн ажиглалтын түвшинд болон сансрын судалгааг дэмждэг орчин үеийн тооцоололд хэрхэн ашигладаг талаар авч үзэх болно.
1. Одон орон судлал яагаад өнцөгөөс тийм их хамаардаг вэ?
Дэлхий дээрх хэмжилтийг туузаар хийж болохоос ялгаатай нь одон орон судлал нь асар том зайд ажилладаг. Бид од хүртэлх зайг шугам эсвэл бусад физик хэмжих хэрэгслээр "шууд хэмжиж" чадахгүй. Үүний оронд одон орон судлаачид өнцгийн хэмжилтийг ашиглаж, тэдгээрийг зай, хэмжээ, байрлалын талаарх мэдээлэл болгон хувиргадаг. Энэ бол тригонометрийн гол түлхүүр болдог газар юм: өнцөг болон лавлагааны нэг тал/уртыг мэдэж байгаа тул бид синусын дүрэм, косинусын дүрэм, гурвалжны үндсэн хамаарлыг ашиглан нөгөө талыг тооцоолж чадна.
Энгийнээр хэлбэл, одон орон судлал энэ зарчмыг өргөнөөр ашигладаг:
Хэрэв бидэнд суурь шугам (лавлах зай) болон ажиглалтын өнцөг байгаа бол бид алслагдсан объектуудын зайг тооцоолж чадна.
2. Параллакс: Тригонометрийн тусламжтайгаар оддын зайг хэмжих нь
Тригонометрийн хамгийн алдартай хэрэглээний нэг бол оддын параллакс юм. Параллакс гэдэг нь хоёр өөр байрлалаас ажиглахад одны харагдах байрлалын шилжилт юм. Оддын хувьд эдгээр хоёр байрлалыг ихэвчлэн Дэлхийн тойрог замаас авдаг: жишээлбэл, Дэлхий Нарны нэг талд байх үед, дараа нь зургаан сарын дараа эсрэг талд байх үед. Дэлхийн эдгээр хоёр байрлалын хоорондох зай нь маш том суурь шугам (ойролцоогоор 2 одон орны нэгж) үүсгэдэг.
Хэрэв параллакс өнцгийг (p) хэмжиж чадвал од хүртэлх зайг тооцоолж болно. Сонгодог одон орон судлалд энэ хамаарлыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.
– Параллаксийн өнцөг бага байх тусам од төдий чинээ хол байна.
– Гурвалжин геометрийн арга барилаар зай нь өнцөгтэй урвуу пропорциональ байна.
Парсек нэгжийг энэ ойлголтоос тодорхойлсон: 1 парсек гэдэг нь 1 арксекундын параллакстай объект хүртэлх зай юм. Хэдийгээр хэмжилтийг одоо Gaia зэрэг хиймэл дагуулуудаар хийдэг боловч үндсэн ойлголт нь гурвалжин ба тригонометр хэвээр байна.
3. Тэнгэрийн биетүүдийн өндөр ба чиглэлийг тодорхойлох (Alt-Az)
Ажиглалтын одон орон судлалд тэнгэр дэх огторгуйн биетийн байрлалыг ихэвчлэн өндрийн азимут (alt-az) координатаар илэрхийлдэг:
– Өндөр (өндөр): объект ба тэнгэрийн хаяаны хоорондох өнцөг.
– Азимут: тэнгэрийн хаяа дагуух объектын чиглэл (жишээлбэл, хойноос зүүн тийш).
Эдгээр координатыг бусад одон орны координатууд руу хөрвүүлэхийн тулд (жишээлбэл, экваторын координатууд: хазайлт ба баруун өргөлт) бөмбөрцөг тригонометр шаардлагатай. Дэлхий ойролцоогоор бөмбөрцөг хэлбэртэй бөгөөд тэнгэрийг "тэнгэрийн бөмбөрцөг" гэж загварчилж болно. Координатын системүүдийн хоорондох хамаарал нь хавтгай биш харин бөмбөрцгийн гадаргуу дээр зурсан гурвалжнуудыг хамардаг тул томъёонд бөмбөрцөг тригонометрийн синус ба косинус хувилбаруудыг ашигладаг.
Үүний практик хэрэглээ нь маш өргөн хүрээтэй, жишээлбэл:
– Автомат дуран чиглүүлэгч (GoTo).
– Объект хэзээ хөөрч/жагсахыг тооцоол.
– Тодорхой байршлаас ямар объектуудыг ажиглаж болохыг тодорхойлох.
4. Нар мандах болон жаргах цагийг тооцоолох
Нарны өндөр тэнгэрийн хаяанаас дээш тодорхой утгад (0° орчим, агаар мандлын хугарлыг харгалзан зассан) хүрэхэд нар мандах болон жаргах нь тохиолддог. Нар мандах болон жаргах цагийг урьдчилан таамаглахын тулд одон орон судлаачид дараах тригонометрийн хамаарлыг ашигладаг:
– Ажиглагчийн өргөрөг (φ),
– Нарны хазайлт (δ),
– мөн нар тэнгэрийн хаяанд хүрэх үеийн цагийн өнцөг (H).
Ойлголтын хувьд, тэнгэрийн бөмбөрцөг дээр тэнгэрийн туйл, ажиглагчийн оргил цэг, нарны байрлалыг холбосон гурвалжин байдаг. Тэндээс H-ийг олохын тулд тригонометрийн томъёог ашигладаг. H-ийг мэдсэний дараа Дэлхий цагт 15° эргэлддэг тул цагийг тооцоолж болно. Үүнтэй төстэй аргуудыг өдөр шөнө үргэлжлэх хугацааг тооцоолоход, мөн өндөр өргөрөгт "шөнө дундын нар" гэх мэт үзэгдлийг тооцоолоход ашигладаг.
5. Одон орон судлал: Далай дахь байрлалыг тодорхойлох
GPS-ээс өмнө далайчид болон судлаачид одон орны навигацид найддаг байв. Нар эсвэл тодорхой одны өндрийн өнцгийг секстант ашиглан хэмжсэнээр тэд өргөрөг ба уртрагийг тооцоолж чаддаг байв. Геометр ба тригонометрийн зарчмууд нь тэгшитгэлийн гол цөм байсан: хэмжсэн өнцгийг далайн он тооллын тэмдэглэл дэх тэнгэрийн биетүүдийн таамагласан байрлалтай харьцуулж, ажиглагчийн байрлалыг тооцоолсон. Хэдийгээр өнөөдөр бага хэрэглэгддэг ч энэ аргыг электрон системийн эвдрэл гарсан тохиолдолд аюулгүй байдлын арга хэмжээ болгон заадаг хэвээр байна.
6. Тэнгэрийн биетүүдийн хэмжээ ба диаметрийг хэмжих нь
Тригонометрийг мөн тэнгэрийн биетүүдийн бодит хэмжээг тооцоолоход ашигладаг. Хэрэв бид мэдэж байвал:
– объектын өнцгийн диаметр (θ), энэ нь тухайн объект тэнгэрт хэр том харагдаж байгааг илэрхийлнэ,
– ба объектын зай (d),
Тэгвэл бодит диаметрийг (D) дараах аргаар тооцоолж болно:
– жижиг өнцгийн хувьд, \( D \approx d \times \theta \) (θ-г радианаар).
Энэ аргыг диаметрийг тооцоолоход ашигладаг:
– Сар ба Нар (мэдэгдэж буй зайн мэдээлэлтэй),
– гаригууд,
– галактикууд хүртэл, хэрэв тэдгээрийн зайг өөр аргаар тооцоолсон бол.
"Жижиг өнцөг" гэсэн энэхүү ойлголт нь одон орон судлалд маш чухал ач холбогдолтой, учир нь олон объект маш жижиг мэт санагддаг тул тригонометрийн арга нь тооцооллыг хялбар болгодог.
7. Гаригийн болон хиймэл дагуулын тойрог зам: Огторгуйн механикийн тригонометр
Огторгуйн механикт гаригуудын тойрог зам нь эллипс юм. Тухайн цаг үед гаригийн байрлалыг урьдчилан таамаглахын тулд эрдэмтэд жинхэнэ аномали, эксцентрик аномали, дундаж аномали зэрэг тойрог замын параметрүүдийг ашигладаг. Эдгээр параметрүүдийг байрлал (координат) болгон хувиргах үйл явцад голчлон синус ба косинус гэсэн тригонометрийн функцүүд багтдаг.
Үүний хэрэглээний жишээ:
- сансрын нислэгийн Ангараг гарагийн байрлалыг урьдчилан таамаглах,
– хиймэл дагуул хэзээ тухайн бүс нутгаар өнгөрөхийг тодорхойлох,
– пуужин хөөргөх цонхыг тооцоолох,
– цаг хугацааны явцад тойрог замаа өөрчилдөг таталцлын хэлбэлзлийг тооцоолох.
Өөрөөр хэлбэл, тригонометр нь "тойрог замын хэлбэрүүд"-ийг сансрын навигацид ашиглаж болох "харагдах байрлал" болгон хөрвүүлэхэд тусалдаг.
8. Хиртэлт ба Сарны үе шатууд: Өнцгийн геометр
Нар, Дэлхий, Сар бараг зэрэгцэх үед нар, сарны хиртэлт тохиолддог. Хиртэлтийг урьдчилан таамаглахын тулд одон орон судлаачид дараах тооцооллыг хийдэг.
- сарны тойрог замын эклиптик рүү чиглэсэн хазайлтын өнцөг,
- гурван объектын харьцангуй зай,
– сүүдрийн хэмжээ (umbra болон penumbra),
– мөн эдгээр объектуудын тойрог замын зангилаатай харьцуулахад байрлал.
Эдгээр тооцоололд тригонометрийн нөлөө их байдаг, учир нь тэдгээр нь өнцөг болон сүүдрийн проекцийг хамардаг. Сарны үе шатуудыг тайлбарлахын тулд ч гэсэн Дэлхийгээс харахад Нарны чиглэл ба Сарны чиглэлийн хоорондох өнцгийн тухай ойлголтыг энгийн тригонометрийн хамаарлыг ашиглан тайлбарлаж болно.
9. Тэнгэрийн зураглал дахь бөмбөрцөг тригонометр
Тэнгэрийн зураглал, оддын каталог, орчин үеийн координатын системүүд нь бөмбөрцөг тригонометрт суурилдаг. Одон орон судлаачид координатыг нэг системээс нөгөө систем рүү хөрвүүлэх үед, жишээлбэл, экваторын координатаас (RA/Dec) галактикийн координат руу хөрвүүлэх үед тооцоолол нь бөмбөрцөг дээрх эргэлтүүдийг хамардаг. Эдгээр эргэлтийг матриц хэлбэрээр бичиж болох боловч тэдгээр нь үндсэндээ өнцгийн хувиргалтыг дүрсэлсэн синус ба косинусын хамаарлаас үүсдэг.
Түүний орчин үеийн хэрэглээнд дараахь зүйлс орно.
– судалгааны дурангийн өгөгдлийг боловсруулах,
– том ажиглалтын газруудад зориулсан объектуудын байршил,
– прецесс (дэлхийн тэнхлэгийн чиглэлийн өөрчлөлт) болон нутацияас үүдэлтэй залруулга.
Дүгнэлт
Тригонометр нь зүгээр нэг тооцооллын хэрэгсэл биш; энэ нь одон орон судлалын үндсэн үндэс суурь юм. Одон орон судлал нь алслагдсан объектуудыг ойлгохын тулд өнцгийн хэмжилтэд ихээхэн тулгуурладаг тул тригонометрийн функцууд нь тэнгэрт харагдаж буй зүйл болон сансрын физик бодит байдлын хоорондын гүүр болдог. Параллаксаар дамжуулан тригонометр нь оддын зайг хэмжихэд тусалдаг; бөмбөрцөг хэлбэртэй тригонометрээр дамжуулан тэнгэрийн биетүүдийн байрлалыг зурагладаг; тойрог замын тооцооллоор дамжуулан гаригууд болон хиймэл дагуулуудын хөдөлгөөнийг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог; мөн өнцгийн геометрээр дамжуулан хиртэлт, сарны үе шат, сансрын объектуудын хэмжээг ойлгоход тусалдаг. Эртний навигациас орчин үеийн сансрын нислэг хүртэл тригонометр нь одон орон судлалын нарийвчлалын гол тулгуур хэвээр байна.
Хэрэв та хүсвэл нийтлэлийг илүү тохиромжтой болгохын тулд би энгийн тооцооллын жишээ (жишээлбэл, параллакс ашиглан зайг тооцоолох эсвэл нар жаргах цагийг тооцоолох) нэмж болно.
