Комбинаторик дахь Паскалийн хэв маяг
Комбинаторик бол объектуудыг хэрхэн байрлуулж болохыг судалдаг математикийн салбар юм. Энэ салбарын хамгийн сонирхолтой, хэрэгтэй хэрэгслүүдийн нэг бол Паскалийн Хээ буюу Паскалийн Гурвалжин юм. Паскалийн Гурвалжин нь тодорхой дүрмийн дагуу бүтээгдсэн тоонуудын гурвалжин бөгөөд магадлалын онол, тооны онол, мэдээж комбинаторик зэрэг математикийн янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг.
Паскалийн гурвалжны үүсэл
Паскалын гурвалжинг 17-р зууны Францын математикч Блэйз Паскалын нэрээр нэрлэжээ. Гэсэн хэдий ч үүнийг Паскалын үеэс бүр өмнө Энэтхэг, Хятадын математикчид мэддэг байжээ. Энэтхэгт үүнийг "Меру-Прастаара" гэж нэрлэдэг байсан бол Хятадад үүнийг Хятадын математикч Ян Хуйгийн нэрээр нэрлэсэн "Ян Хуй гурвалжин" гэж нэрлэдэг байжээ.
Паскалын гурвалжны бүтэц
Паскалын гурвалжин орой дээрээ 1-ээс эхэлнэ. Дараагийн мөр бүрийг дээрх мөрөнд байгаа хоёр тоог нэмж үүсгэнэ. Эхний мөрөнд зөвхөн нэг тоо, 1 байна. Хоёр дахь мөрөнд мөн 1 гэсэн хоёр тоо байна. Гурав дахь мөрөнд төгсгөл бүрт нь 1 байгаа бөгөөд тэдгээрийн хооронд 2 байна. Энэ нь өмнөх мөрийн хоёр 1-ийг нэмсний үр дүн юм.
Ерөнхийдөө Паскалын гурвалжингийн n-р мөрийг дараах байдлаар бичиж болно.
1, (n-1)C1, (n-1)C2, …, (n-1)C(n-1), 1
Энд “kC(n)” нь “n choose k” эсвэл “n select k” гэж уншигддаг хослолын тэмдэг бөгөөд энэ нь математикийн хослолын томъёо бөгөөд магадлалын онол болон шугаман алгебрт ихэвчлэн ашиглагддаг.
Комбинаторикийн хэрэглээ
1. Хослол
Паскалийн гурвалжны комбинаторикт хэрэглэгддэг гол хэрэглээний нэг бол хослолуудыг тооцоолох явдал юм. Комбинаторик нь дарааллыг харгалзан үздэггүй олонлогоос элементүүдийг сонгох арга юм. Паскалийн гурвалжны хүрээнд n-р мөр ба k-р багана дахь утгууд нь n-1Ck-1 хослолуудыг илэрхийлнэ.
Жишээлбэл, 5C2 хослолыг тооцоолохын тулд (5-аас 2-ыг нь сонгох) бид Паскалын гурвалжингийн 6-р мөр болон 3-р баганыг харж болох бөгөөд энэ нь 10 гэсэн утгыг өгдөг. Өөрөөр хэлбэл, 5 зүйлийн багцаас 2 зүйл сонгох 10 арга бий.
2. Пермутаци ба биномын коэффициентууд
Паскалийн гурвалжин нь (x + y)^n-ийн биномын өргөтгөлд гарч ирдэг биномын коэффициентуудтай нягт холбоотой. Эдгээр коэффициентууд нь Паскалийн гурвалжинд олддог тоонууд юм. Жишээлбэл, (x + y)^3-ийн өргөтгөл нь:
(x + y)^3 = 1 x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + 1 y^3
Энд 1, 3, 3, ба 1 коэффициентууд нь 4-р мөрөнд байгаа Паскалийн гурвалжны утгууд юм.
3. Магадлалын тоглоом
Магадлалын онолд Паскалын гурвалжинг янз бүрийн үр дүнгийн магадлалыг тодорхойлоход ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, зоосыг дөрвөн удаа шидэхэд бид хоёр толгой авах магадлалыг мэдэхийг хүсдэг. Паскалын гурвалжинг ашиглан бид харгалзах хослолын тоог олж чадна, энэ нь тав дахь мөр болон гурав дахь баганад байгаа бөгөөд энэ нь бидэнд 6 гэсэн утга өгдөг. Тиймээс дөрвөн зоос шидэхэд хоёр толгой авах зургаан арга бий.
Паскалийн гурвалжны тусгай шинж чанарууд
Паскалийн гурвалжин нь мөн янз бүрийн сонирхолтой, гайхалтай шинж чанартай байдаг:
1. Тэгш хэм
Паскалын гурвалжин нь тоонуудын тэгш хэмийг харуулдаг. Паскалын гурвалжны n-р мөр нь тэгш хэмтэй тул nCr = nC(nr) байна.
2. Фибоначчийн хамаарал
Паскалийн гурвалжинг мөн Фибоначчийн дарааллыг холбоход ашиглаж болно. Паскалийн гурвалжинд хэд хэдэн шугамыг огтолж буй диагональ шугамууд дээрх тоонуудыг нэмж Фибоначчийн тоонуудыг олж болно.
3. Тэнцвэр
Паскалын гурвалжин нь сонирхолтой паритетийн хэв маягийг харуулдаг. Хэрэв бид Паскалын гурвалжин дахь сондгой ба тэгш тоонуудыг өөр өөрөөр өнгөөр будвал сонирхолтой харааны хэв маяг гарч ирдэг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн фрактал үүсгэдэг.
Паскаль хэлний загваруудыг програмчлалд хэрэгжүүлэх нь
Паскалийн гурвалжинг алгоритм болон програмчлалд мөн түгээмэл ашигладаг. Жишээлбэл, бид Паскалийн гурвалжинг Python гэх мэт програмчлалын хэлийг ашиглан дараах кодоор бүтээж болно:
"` питон
def generate_pascals_triangle(n):
гурвалжин = [[1]]
хүрээ(1, n) дахь i-ийн хувьд:
мөр = [1]
хүрээ(1, i) дэх j-ийн хувьд:
row.append(гурвалжин[i-1][j-1] + гурвалжин[i-1][j])
row.append(1)
гурвалжин.хавсаргах(мөр)
буцах гурвалжин
n = 5
гурвалжин = generate_pascals_triangle(n)
гурвалжингийн мөрийн хувьд:
хэвлэх(мөр)
""
Дээрх код нь Паскалийн гурвалжингийн эхнийхээс тав дахь мөрүүдийг гаргах бөгөөд үүнийг янз бүрийн комбинаторик болон магадлалын шинжилгээний хэрэглээнд ашиглаж болно.
Дүгнэлт
Паскалын гурвалжин буюу Паскалын хээ нь комбинаторикийн хүчирхэг бөгөөд олон талын хэрэгсэл юм. Магадлалын тоглоомуудад хослол болон магадлалыг тооцоолохоос эхлээд биномын өргөтгөлүүдийг тайлах, янз бүрийн математикийн ойлголтуудыг холбох хүртэл Паскалын хээ нь нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үр дүнтэй бөгөөд ойлгомжтой аргыг санал болгодог. Энгийн бүтэцтэй хэрнээ гайхалтай математикийн гүнтэй Паскалын хээ нь математик болон бусад шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт судлагдаж, хэрэглэгдэж байна.
