Ньютон Рафсоны үндэс олох арга
Пендахулуан
Ньютон-Рафсоны арга нь шугаман бус тэгшитгэлийн ойролцоо шийдлийг олох үр дүнтэй тоон арга юм. Үүнийг анх Исаак Ньютон нэвтрүүлж, дараа нь Жозеф Рафсон сайжруулсан. Математик болон тооцооллын салбарт Ньютон-Рафсоны арга нь бодит функцийн язгуурыг олоход ашигладаг давталтын арга юм.
Ньютон-Рафсоны аргын үндсэн зарчим, түүний нарийвчилсан алхамууд, янз бүрийн тохиолдолд хэрэглэх арга, давуу болон сул талуудыг ойлгохын тулд энэ нийтлэлийг үргэлжлүүлэн уншина уу.
Ньютон-Рафсоны аргын үндсэн зарчмууд
Үндсэндээ Ньютон-Рафсоны арга нь `f(x) = 0` тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох зорилготой. Энэ арга нь `x0`-ийн анхны тооцооллоос эхэлдэг. Энэ цэгээс эхлэн функцийн уламжлалыг ашиглан язгуурын илүү сайн тооцооллыг олж авдаг.
Математикийн хувьд Ньютон-Рафсоны аргыг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
\[ x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
Хаана:
– \( x_{n+1} \) нь дараагийн тооцоолсон цэг юм.
– \( x_n \) нь одоогийн тооцоолсон цэг юм.
– \( f(x_n) \) нь \( x_n \) дээрх функцийн утга юм.
– \( f'(x_n) \) нь \( x_n \) дээрх функцийн уламжлалын утга юм.
Томъёо нь цогц функцийн шугаман ойролцоолол дээр суурилсан бөгөөд энэхүү шугаман ойролцооллыг одоогийн ойролцооллын цэг дээрх тангенс шугам болгон авна. Дараа нь энэ тангенс шугам нь дараагийн давталтад язгуурын илүү сайн ойролцоолол болох x-огтлолцлыг өгдөг.
Ньютон-Рафсоны шатууд
Ньютон-Рафсоны аргын үндсэн алхмууд нь дараах байдалтай байна.
1. Анхны тооцооллыг сонгоно уу: Анхны утга \(x_0 \)-аас эхэлнэ үү. Сонгосон анхны утга нь энэ аргын нийлбэрт ихээхэн нөлөөлнө.
2. Функц болон тэдгээрийн уламжлалыг үнэлэх: \(x_n \) цэг дээрх функцийн утга болон функцийн уламжлалын утгыг тооцоол.
3. Дараагийн тооцооллыг тооцоол: Ньютон-Рафсоны томъёог ашиглан дараагийн тооцоолсон утгыг гаргана уу \( x_{n+1} \).
4. Конвергенцийг шалгах: \(x_{n+1} \)-ийн тооцоолсон утга нь бодит язгууртай хангалттай ойрхон байгаа эсэхийг зогсоох шалгуурыг ашиглан шалгана уу. Жишээлбэл:
– Хоёр давталтын хоорондох абсолют өөрчлөлт \( |x_{n+1} – x_n| \) бага байна.
– Тэгтэй ойролцоо цэг дээрх функцийн утга \( |f(x_{n+1})| \) бага байна.
5. Давтах: Хэрэв зогсоох шалгуур хангагдаагүй бол \( x_n \)-г \( x_{n+1} \)-ээр сольж 2-р алхам руу буцна уу.
Энэхүү давталтын процесс нь хангалттай нарийвчлалтай шийдэл олдох хүртэл үргэлжилнэ.
Ньютон-Рафсоны хэрэглээний жишээнүүд
Энэ аргыг тодорхой жишээнд хэрэгжүүлье . \(f(x) = x^2 – 2 \) тэгшитгэлийн язгуурыг олохыг хүсэж байна гэж бодъё.
Алхам 1: Анхны тооцоо
\(x_0 = 1 \) гэж эхэлье.
Алхам 2: Функц болон түүний уламжлалыг тооцоолох
\( f(x) = x^2 – 2 \) функц ба \( f'(x) = 2x \) функцийн уламжлал.
\(x_0 = 1 \) дээрх үнэлгээ:
– \( f(x_0) = 1^2 – 2 = -1 \)
– \( f'(x_0) = 2 \удаа 1 = 2 \)
Алхам 3: Дараагийн тооцооллыг тооцоолох
Ньютон-Рафсоны томъёог ашиглан:
\[ x_{1} = 1 – \frac{-1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5 \]
Алхам 4: Конвергенцийг шалгах
Абсолют өөрчлөлт болон функцийн утгыг шалгана уу:
– \( |x_1 – x_0| = |1.5 – 1| = 0.5 \)
– \( |f(1.5)| = |1.5^2 – 2| = |2.25 – 2| = 0.25 \)
Шалгуур хангагдаагүй тул бид дараагийн давталт руу шилжлээ.
Алхам 5: Давтах
\(x_1 = 1.5 \) дээрх үнэлгээ:
– \( f(x_1) = 1.5^2 – 2 = 0.25 \)
– \( f'(x_1) = 2 \удаа 1.5 = 3 \)
Ньютон-Рафсоны томъёог дахин ашиглана уу:
\[ x_2 = 1.5 – \frac{0.25}{3} = 1.5 – 0.0833 = 1.4167 \]
Абсолют өөрчлөлт болон функцийн утгыг шалгана уу:
– \( |x_2 – x_1| = |1.4167 – 1.5| = 0.0833 \)
– \( |f(1.4167)| = |1.4167^2 – 2| \ойролцоогоор 0.0069 \)
Давталт хангалттай нэгдээгүй тул зогсоох шалгуур хангагдах хүртэл бид үргэлжлүүлнэ.
Энэ үйл явц нь нэгдмэл байдалд хүрэх хүртэл үргэлжилнэ.
Ньютон-Рафсоны аргын давуу болон сул талууд
Илүүдэл
1. Конвергенцийн хурд: Ньютон-Рафсоны арга нь квадрат конвергенцийн хурдтай бөгөөд энэ нь язгуурт ойртоход шаардагдах давталтын тоо нь биссекцийн арга эсвэл секант арга зэрэг бусад аргуудтай харьцуулахад маш бага гэсэн үг юм.
2. Нарийвчлал: Анхны тооцоолол нь жинхэнэ язгууртай ойролцоо байвал энэ арга нь язгуурыг олоход илүү нарийвчлалтай байдаг.
3. Өргөн хэрэглээ: Олон гишүүнт болон олон гишүүнт бус янз бүрийн төрлийн функцүүдэд хэрэглэж болно.
Дутмаг
1. Анхны утгуудаас хамаарах байдал: Эцсийн үр дүн нь анхны тооцоолсон утгаас ихээхэн хамааралтай байдаг. Хэрэв тооцоолол нь үндэснээс хол байвал арга нь бүтэлгүйтэх эсвэл олон давталт шаардаж болзошгүй.
2. Мэдэгдэх ёстой уламжлал: Энэ арга нь функцийн уламжлалыг тооцоолохыг шаарддаг бөгөөд энэ нь зарим нарийн төвөгтэй функцийн хувьд хэцүү эсвэл практик бус байж болно.
3. Бат бөх биш: Энэ арга үргэлж нэгддэггүй. Энэ арга нь бүтэлгүйтэх зарим онцгой нөхцөлүүд байдаг, тухайлбал функц нь чухал цэгтэй эсвэл уламжлал нь мэдэгдэхүйц өөрчлөгдсөн тохиолдолд.
Дүгнэлт
Ньютон-Рафсоны арга нь тоон тооцооллын хүчирхэг хэрэгсэл бөгөөд шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг хурдан бөгөөд зөв олох боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч бүх тоон аргуудын нэгэн адил энэ нь хязгаарлалттай бөгөөд сайн ажиллахгүй байж болзошгүй нөхцөл байдалтай байдаг. Функц болон уламжлалыг бүрэн ойлгох, мөн зохих анхны утгуудыг сонгох нь энэ аргыг амжилттай ашиглахын түлхүүр юм.
Зөв ойлголт, хэрэглээтэй бол Ньютон-Рафсоны арга нь математик болон компьютерийн шинжлэх ухааны янз бүрийн үндэс олох бодлогуудыг үр дүнтэй шийдвэрлэх боломжтой.
