Математикийн баталгааны аргууд
Математикийн нотолгоо нь энэ салбарын гол цөм юм. Нотолгооны аргууд нь математикийн мэдэгдлийн үнэнийг баталгаажуулах үндэс суурь болдог. Үндсэн таамаглалаас эхлээд дүгнэлт хүртэл алхам бүр хүчин төгөлдөр байх ёстой. Төрөл бүрийн нотолгооны аргуудыг ойлгох нь зөвхөн аналитик чадварыг бэхжүүлээд зогсохгүй математикийн янз бүрийн салбарт суралцах туршлага, хэрэглээг баяжуулдаг.
Энэ нийтлэлд математикийн үндсэн нотлох аргуудын заримыг авч үзэх бөгөөд үүнд шууд нотлох, шууд бус нотлох (эсрэг тэсрэг ба зөрчилдөөн), математикийн индукц, тодорхой жишээгээр нотлох зэрэг орно. Арга бүр өөр өөр хэрэглээ, давуу болон сул талуудтай. Тэдгээрийг илүү гүнзгийрүүлэн судалцгаая.
1. Шууд нотолгоо
Тодорхойлолт ба жишээнүүд
Шууд нотолгоо гэдэг нь хэрэв таамаглал (таамаглал) үнэн бол дүгнэлт нь мөн үнэн гэдгийг харуулснаар бид мэдэгдлийг батлах арга юм. Шууд нотолгоо хийхэд бид ихэвчлэн мэдэгдэж буй зүйлээс эхэлж, дүгнэлтэд хүрэхийн тулд логик алхмуудыг ашигладаг.
Жишээ:
Хэрэв \(n\) нь тэгш тоо бол \(n^2\) нь мөн тэгш тоо болохыг батал.
Баталгаа:
\(n\) нь тэгш тоо гэж үзье. Тэгвэл тэгш тооны тодорхойлолтын дагуу ямар нэгэн бүхэл тоо \(k\)-ийн хувьд \(n = 2k\) гэж бичиж болно. Тиймээс,
\[ n^2 = (2к)^2 = 4к^2 = 2(2к^2) \]
\(n^2\)-г бүхэл тоог 2-оор үржүүлж болох нь тодорхой байна (өөрөөр хэлбэл \(2k^2\)). Тэгш тооны гол шаардлага нь бүхэл тоог 2-оор үржүүлж болох тул \(n^2\) нь мөн тэгш тоо байна.
2. Шууд бус нотолгоо
Шууд бус нотолгоо нь хоёр үндсэн аргыг хамардаг: эсрэг тэсрэг нотолгоо ба зөрчилдөөнөөр нотолгоо.
а. Эсрэг тэмдгийн нотолгоо
Тодорхойлолт ба жишээнүүд
Энэ арга нь “хэрэв \(Q\) биш бол \(P\) биш” гэсэн мэдэгдлийн эсрэг талыг нотлох замаар “хэрэв \(P\) бол \(Q\)” гэсэн импликатив мэдэгдлийг батлахыг хэлнэ.
Жишээ:
Хэрэв \(n^2\) сондгой бол \(n\) нь бас сондгой болохыг батал.
Баталгаа:
Энэ мэдэгдлийн эсрэг тал нь: Хэрэв \(n\) нь сондгой (эсвэл тэгш) биш бол \(n^2\) нь сондгой (эсвэл тэгш) биш юм.
Хэрэв \(n\) нь тэгш байвал бүхэл тоо \(k\) байвал \(n = 2k\) гэж үзье. Тиймээс,
\[ n^2 = (2к)^2 = 4к^2 = 2(2к^2) \]
Энэ нь \(n^2\) нь тэгш тоо гэсэн үг юм. Тиймээс эсрэг тэсрэг нь батлагдсан бөгөөд анхны мэдэгдэл үнэн байх нь баталгаатай.
б. Зөрчилдөөнөөр нотлох
Тодорхойлолт ба жишээнүүд
Зөрчилдөөнөөр нотлох гэдэг нь батлах ёстой мэдэгдэл худал гэж үзэж, энэ таамаглал нь логик зөрчилдөөнд хүргэдэг болохыг харуулахыг хэлнэ.
Жишээ:
\(\sqrt{2}\) нь иррационал тоо болохыг батал.
Баталгаа:
Үүний оронд \(\sqrt{2}\) нь рационал тоо гэж үзье. Тэгвэл \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), энд \(a\) ба \(b\) нь харьцангуй анхны бүхэл тоонууд (хасах нь 1) ба \(b \ne 0\). Тиймээс бид дараах байдлаар бичиж болно:
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
Энэ тэгшитгэлээс харахад \(a^2\) нь тэгш тоо бөгөөд энэ нь \(a\) нь мөн тэгш байх ёстой гэсэн үг юм. \(a = 2k\) гэж үзье, бидэнд дараах байдалтай байна:
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
\(b^2\) нь тэгш тоо тул \(b\) нь мөн тэгш тоо байх ёстой. Энэ нь \(a\) болон \(b\) нь хоёулаа тэгш тоо гэсэн үг бөгөөд \(\frac{a}{b}\) нь хамгийн энгийн хэлбэртэй гэсэн анхны таамаглалтай зөрчилдөж байна. Тиймээс \(\sqrt{2}\) нь рационал тоо байж болохгүй тул иррационал юм.
3. Математикийн индукц
Тодорхойлолт ба жишээнүүд
Математикийн индукц нь бүхэл тоонуудыг хамарсан мэдэгдлүүдийг батлахад ашигладаг баталгааны арга юм. Энэ үйл явц нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ: индукцийн суурь ба индукцийн алхам.
Жишээ:
Эхний бүхэл тоонуудын цувааны нийлбэр нь \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\) болохыг батал.
Баталгаа:
– Индукцийн үндэс:
\(n = 1\)-ийн хувьд,
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
зөв.
– Индукцийн алхамууд:
Энэ мэдэгдэл нь \(k\) тооны хувьд үнэн гэж үзье. Өөрөөр хэлбэл,
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Бид үүнийг \(k + 1\)-д бас үнэн гэдгийг батлах хэрэгтэй. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд \((k + 1)\)-г нэмнэ:
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Тиймээс энэ мэдэгдэл нь \(k + 1\)-д үнэн юм. Тиймээс математик индукцийн зарчмаар энэ мэдэгдэл нь бүх эерэг бүхэл тоо \(n\)-д үнэн юм.
4. Тодорхой жишээнүүдээр нотолгоо хийх
Тодорхойлолт ба жишээнүүд
Энэ арга нь мэдэгдэлд өгөгдсөн бүх нөхцлийг хангасан, мэдэгдэл үнэн болохыг харуулсан тодорхой жишээнүүдийг сонгон нотлохыг агуулдаг. Гэсэн хэдий ч энэ аргыг ихэвчлэн мэдэгдэл худал болохыг нотлоход ашигладаг.
Жишээ:
Хоёр төгс квадратын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болохгүй тоонууд байгааг батал.
Баталгаа:
Жишээ \(3\)-г ашиглана уу:
\(3\)-г \(a^2 + b^2 = 3\ гэсэн хоёр төгс квадратын нийлбэрээр илэрхийлж болно гэж үзье. \(a\) ба \(b\\ бүхэл тоонуудын бүх хослолыг туршиж үзсэний дараа,
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (боломжгүй).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (боломжгүй).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (боломжгүй).
4. Сөрөг тоо эсвэл 2-оос их тоонууд бас боломжгүй.
Энэ нь \(3\)-г хоёр квадрат тооны нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болохгүйг харуулж байна. Тиймээс хоёр төгс квадрат тооны нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болохгүй тоонууд байдаг.
Дүгнэлт
Математикийн нотолгоо нь батлагдаж буй мэдэгдлийн төрлөөс хамааран өөр өөр арга зүй, системчилсэн алхмуудыг шаарддаг. Шууд нотолгоо, шууд бус нотолгоо (эсрэг ба зөрчилдөөн), математикийн индукц болон тусгай жишээнүүд нь янз бүрийн нөхцөл байдалд хэрэглэгддэг үндсэн нотолгооны аргуудын зарим нь юм. Эдгээр аргуудыг ойлгох нь математикийн үндсийг бэхжүүлж, математикийн янз бүрийн салбаруудыг илүү гүнзгий судлахад тусална.
Дадлага, гүнзгий ойлголттой болсноор математикийн нотолгооны аргууд нь нарийн төвөгтэй математикийн бодлогуудыг шийдвэрлэхэд үргэлж бэлэн байх хэрэгсэл болно.
