Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох
Бөмбөрцөг бол бидний өдөр тутмын амьдралд тулгардаг хамгийн түгээмэл геометрийн дүрсүүдийн нэг юм. Түүний хэлбэр нь хөл бөмбөг, бөмбөгнөөс эхлээд сагсан бөмбөг, гариг, од хүртэл янз бүрийн объектуудад илэрдэг. Математикт бөмбөрцөг нь өвөрмөц шинж чанартай байдаг, учир нь түүний гадаргуу дээрх бүх цэгүүд нь нэг төв цэгээс ижил зайд байрладаг. Бөмбөрцөгтэй холбоотой ихэвчлэн судалдаг нэг чухал сэдэв бол гадаргуугийн талбай юм. Үүнийг хэрхэн тооцоолохыг ойлгох нь зөвхөн сургуулийн зорилгоор төдийгүй инженерчлэл, физик, архитектур, тэр ч байтугай бүтээгдэхүүний дизайн зэрэг янз бүрийн салбарт хамааралтай.
Бөмбөрцөг болон түүний гадаргууг ойлгох
Томъёог ойлгохоосоо өмнө бид бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь бөмбөрцгийг бүхэлд нь хамарсан гаднах бүрхүүл юм. Хэрэв бөмбөрцгийг "тайрч", "сунгаж" болох байсан бол (энэ нь үнэндээ хэцүү ч гэсэн) энэ нь бидний тооцоолохыг хүсч буй гаднах бүрхүүл юм.
Бөмбөг нь хэд хэдэн чухал элементүүдтэй бөгөөд үүнд:
1. Төвийн цэг: бөмбөгний голд байгаа цэг.
2. Радиус (r): төв цэгээс бөмбөгний гадаргуу хүртэлх зай.
3. Диаметр (d): бөмбөгний төвөөр дамжин өнгөрөх хамгийн урт зай, түүний утга нь радиусын хоёр дахин их байна (d = 2r).
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохдоо хамгийн их ашиглагддаг утга нь радиус юм.
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн томъёо
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн томъёо нь:
L = 4πr²
Мэдээлэл:
– L = бөмбөгний гадаргуугийн талбай
– π (pi) = ойролцоогоор 3,14159 тогтмол (ихэвчлэн 3,14 эсвэл 22/7 хүртэл бөөрөнхийлдөг)
– r = бөмбөгний радиус
Энэ томъёо нь бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь радиусын квадратаас хамаардаг болохыг харуулж байна. Энэ нь бөмбөрцгийн радиусыг хоёр дахин нэмэгдүүлбэл түүний гадаргуугийн талбай дөрөв дахин нэмэгдэнэ гэсэн үг юм. Энэ нь томъёонд r² элемент байгаатай холбоотой юм.
Яагаад томъёо нь 4πr² вэ?
Сургуульд энэ томъёог ихэвчлэн бэлэн томъёо хэлбэрээр өгдөг. Гэсэн хэдий ч үндсэн санааг нь ойлговол санах, ашиглахад илүү хялбар байдаг. Ойлголтын хувьд бөмбөрцөг ба тойргийн хооронд хамаарал байдаг.
Тойргийн талбай нь πr² юм. Сонирхолтой нь, бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь том тойргийн талбайгаас (бөмбөрцөгтэй ижил радиустай тойрог) дөрөв дахин их байна. Тиймээс:
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай = 4 × (тойрогны талбай)
= 4 × πr²
= 4πr²
Энэхүү "дөрвөн дахин" хамаарлыг геометрийн болон туршилтын аргуудаар (жишээлбэл, бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тодорхой цилиндрийн гадаргуугийн талбайтай харьцуулах) ойлгож болно, гэхдээ түүний албан ёсны баталгааг ихэвчлэн илүү өндөр түвшинд судалдаг.
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох алхамууд
Илүү системтэй байхын тулд бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох ерөнхий алхмуудыг энд оруулав.
1. Бөмбөгний радиусыг (r) тодорхойлно уу.
Хэрэв диаметр нь мэдэгдэж байвал r = d/2 байна.
2. L = 4πr² томъёог ашиглана уу
r утгыг томъёонд оруулна уу.
3. π-ийн тохирох утгыг сонгоно уу
– Практик тооцоололд π = 3,14 ашиглана уу.
– Илүү цэвэр үр дүнд хүрэхийн тулд r нь 7-ийн үржвэр бол π = 22/7 гэж ашиглаарай.
4. r²-г тооцоолоод 4π-ээр үржүүлнэ үү
Арифметик үйлдлүүдийг сайтар гүйцэтгэсэн эсэхийг шалгаарай.
5. Талбайн нэгжийг бичнэ үү
Хэрэв r нь см-ээр байвал талбай нь см²-ээр, хэрэв r нь метрээр байвал талбай нь м² гэх мэтээр байна.
Жишээ асуулт 1: мэдэгдэж буй радиус
Асуулт: Бөмбөрцөг нь 7 см радиустай. Түүний гадаргуугийн талбайг тооцоол.
Шийдэл:
– r = 7 см
– L = 4πr²
– L = 4 × (22/7) × 7²
– L = 4 × (22/7) × 49
– L = 4 × 22 × 7
– L = 616 см²
Тэгэхээр бөмбөгний гадаргуугийн талбай нь 616 см² юм.
Жишээ асуулт 2: диаметр өгөгдсөн
Асуулт: Бөмбөгний диаметр нь 20 см. Түүний гадаргуугийн талбай хэд вэ?
Шийдэл:
– d = 20 см
– r = d/2 = 10 см
– L = 4πr²
– L = 4 × 3,14 × 10²
– L = 4 × 3,14 × 100
– L = 1256 см²
Тиймээс бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь 1256 см² юм.
Зайлсхийх ёстой нийтлэг алдаанууд
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохдоо ихэвчлэн тохиолддог зарим алдаанууд нь:
1. Радиус ба диаметрийн талаарх буруу ойлголт
Олон хүн диаметрийг томъёонд радиус гэж байгаа юм шиг оруулдаг. Гэсэн хэдий ч томъёонд d биш r ашигладаг.
2. Радиусыг квадрат болгохоо мартсан байна
Томъёо нь r биш, r² байна. Тиймээс хэрэв r = 10 бол r² = 100, 10 биш.
3. Тогтворгүй нэгжүүд
Жишээлбэл, радиус нь см-ээр боловч үр дүн нь м² гэж бичигдсэн бол нэгжүүд эхнээсээ зөв байгаа эсэхийг шалгаарай.
4. π-г буруу сонгосон
3,14 эсвэл 22/7-г ашиглах нь зүгээр ч шаардлагатай үед нь зөв ашиглаарай. Хэрэв r нь 7-ийн үржвэр биш бол 22/7-г ашиглах нь илүү төвөгтэй бутархай үүсгэж болзошгүй.
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг бодит амьдрал дээр хэрэглэх нь
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох нь зүгээр нэг математикийн дасгал биш юм. Энэ ойлголтыг олон нөхцөл байдалд ашигладаг, жишээлбэл:
– Том бөмбөрцөг чимэглэл эсвэл бөмбөрцөг сав гэх мэт бөмбөрцөг объектын будаг эсвэл бүрэх шаардлагыг тооцоол.
– Хүлээн авсан эсвэл ялгаруулж буй нарны цацрагийг тооцоолохын тулд гаригийн гадаргуугийн талбай гэх мэт физикийн тооцоолол.
– Бүтээгдэхүүний дизайн, жишээлбэл, хуванцар эсвэл резинэн бөмбөлөг хийх материалын талбайг тодорхойлох.
– Одон орон судлал, жишээлбэл, температур болон энергийн шинжилгээнд зориулж од эсвэл гаригуудын гадаргуугийн талбайг тооцоолох.
Бөмбөрцөг том байх тусам түүний гадаргуугийн талбай том байх бөгөөд энэ хамаарал нь 4πr² томъёог дагадаг. Тиймээс радиусын бага зэргийн өөрчлөлт нь талбайд мэдэгдэхүйц өөрчлөлт оруулж болно.
Хаах
Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь бөмбөрцгийн гаднах бүрхүүлийн нийт талбай юм. Үүнийг тооцоолохын тулд бид L = 4πr² томъёог ашигладаг бөгөөд энд r нь бөмбөрцгийн радиус юм. Зөв тооцооллын түлхүүр нь радиус зөв эсэхийг шалгах (ялангуяа диаметр өгөгдсөн бол), r-ийг квадратлахдаа болгоомжтой байх, π-ийн тохирох утгыг сонгох, талбайн нэгжийг зөв бичих явдал юм.
Алхам болон жишээнүүдийг ойлгосноор бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох нь илүү хялбар болно. Эцсийн эцэст энэ чадварыг зөвхөн математикийн бодлогод төдийгүй бидний эргэн тойрон дахь бөмбөрцөг хэлбэртэй объектуудтай холбоотой янз бүрийн бодит ертөнцийн бодлогод ашиглаж болно.
