Гармоник чичиргээний томъёо ба жишээнүүд
Гармоник чичиргээ нь физикийн гол сэдэв бөгөөд үечилсэн хөдөлгөөн, долгион, инженерийн хэрэглээний талаарх хэлэлцүүлэгт байнга гардаг. Бид үүнийг пүрш, дүүжин (жижиг өнцгийн хувьд), тэр ч байтугай материйн молекулуудын чичиргээнээс олж болно. Үүнийг "гармоник" гэж нэрлэдэг, учир нь түүний хөдөлгөөн нь тогтмол хэв маягийг дагадаг бөгөөд синус эсвэл косинусын функцээр загварчилж болно. Энэ нийтлэлд гармоник чичиргээний тухай ойлголтыг ойлгоход туслах товч тодорхойлолт, гол томъёо, жишээ бодлогуудыг шийдлүүдтэй хамт авч үзэх болно.
1. Гармоник чичиргээг ойлгох нь
Энгийн гармоник чичиргээ (ЭГЧ) гэдэг нь тэнцвэрийн цэгээс өнгөрч буй объектын урагш хойш хөдөлгөөн бөгөөд түүний хэмжээ нь шилжилттэй пропорциональ бөгөөд чиглэл нь үргэлж тэнцвэрийн цэг рүү чиглэсэн сэргээх хүч юм. Математикийн хувьд түүний шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно:
F = −kx
Хасах тэмдэг нь хүчний чиглэл хазайлтын чиглэлийн эсрэг байгааг заана. Хэрэв объектыг баруун тийш (эерэг x) татвал сэргээх хүч зүүн тийш (сөрөг), мөн эсрэгээрээ байна.
GHS-ийн жишээ болгон хамгийн их дурдсан хоёр систем нь:
1. Пүрш-массын систем (пүршний төгсгөл дэх масс).
2. Энгийн дүүжин (жижиг өнцгийн хувьд, ихэвчлэн < 15°).
2. Гармоник чичиргээний чухал хэмжигдэхүүнүүд
GHS-д үргэлж гарч ирдэг зарим хэмжээ:
– Хазайлт (x): тэнцвэрийн цэгээс (m) объектын зай.
– Далайц (A): хамгийн их хазайлт (м).
– Үе (T): нэг бүтэн чичиргээ(с)-д шаардагдах хугацаа.
– Давтамж (f): секундэд чичирхийллийн тоо (Гц).
– Өнцгийн хурд / өнцгийн давтамж (ω): синус/косинусын тэгшитгэлийн чухал параметр (рад/с).
– Фаз (φ): хөдөлгөөний анхны нөхцлийг тодорхойлно.
Үе ба давтамжийн хоорондох үндсэн хамаарал:
f = 1/T
Мөн ω-ийн T ба f-тэй хамаарал:
ω = 2πf = 2π/T
3. Гармоник чичиргээний тэгшитгэл
Цаг хугацааны функц болох хазайлтын ерөнхий хэлбэрийг дараах байдлаар бичиж болно.
x(t) = A sin(ωt + φ)
эсвэл
x(t) = A cos(ωt + φ)
sin/cos-ийн сонголт нь анхны нөхцөл байдлаас (жишээ нь t = 0 үед байрлал нь далайцтай эсвэл тэнцвэрийн цэг дээр байна) хамааран адилхан зөв байна.
Хурд ба хурдатгал
Хурд нь шилжилтийн эхний уламжлал юм:
v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (хэрэв x = A sin бол)
эсвэл анхны хэлбэрийн дагуу сөрөг утгатай байж болно.
Хурдатгал нь хоёр дахь уламжлал юм:
a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ)
x(t) = A sin(ωt + φ) тул:
a(t) = −ω² x(t)
Энэ бол GHS-ийн гол шинж чанар юм: хурдатгал нь шилжилттэй пропорциональ бөгөөд чиглэлд эсрэг байна.
Хамгийн их хурд ба хамгийн их хурдатгал
– v_max = Aω
– a_max = Aω²
Хамгийн их хурд нь объект тэнцвэрийн цэгийг (x = 0) өнгөрөхөд үүсдэг. Хамгийн их хурдатгал нь далайцтай үед (x = ±A) үүсдэг.
4. Пүрш ба дүүжин дэх чичиргээний үе
А. Хавар-Масс
Пүршний тогтмол k ба масс m бүхий хамгийн тохиромжтой пүршийн хувьд:
Т = 2π √(м/к)
ω = √(к/м)
Энэ нь масс их байх тусам үе нь том (удаан) гэсэн үг юм. k том (хөшүүн пүрштэй) байх тусам үе нь бага (илүү хурдан) байна.
B. Энгийн дүүжин (жижиг өнцөг)
Утасны урт L ба таталцлын хурдатгал g бүхий дүүжингийн хувьд:
Т = 2π √(л/г)
ω = √(г/л)
Сонирхолтой нь, жижиг өнцгийн аргад үе нь дүүжингийн массаас хамаардаггүй, зөвхөн урт ба таталцлын хүчнээс хамаардаг.
5. Гармоник чичиргээний энерги
GHS-д нийт энерги тогтмол хэвээр байна (үрэлт байхгүй бол):
– Пүршийн потенциал энерги:
Ep = ½ kx²
– Кинетик энерги:
Эк = ½ мв²
– Нийт механик энерги:
E = Ek + Ep = ½ kA²
x = ±A үед v = 0 байх үед энерги нь бүрэн потенциал юм. x = 0 үед Ep = 0 бөгөөд энерги нь бүхэлдээ кинетик байна.
6. Жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Жишээ 1: Хаврын улирлыг тодорхойлох
0,5 кг масстай зүйлийг k = 200 Н/м тогтмол утгатай пүрш дээр өлгөсөн байна. Чичиргээний үеийг тодорхойл!
Өгөгдсөн: m = 0,5 кг, k = 200 Н/м
Асуулт: Т
Хариулт:
Т = 2π √(м/к)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π с
≈ 0,314 сек
Тиймээс пүршний чичиргээний хугацаа ойролцоогоор 0,314 секунд байна.
-
Жишээ 2: Давтамж болон ω-г тодорхойлох
1-р асуултаас (f) давтамж болон ω-г тодорхойл!
Хариулт:
f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Гц
ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 рад/с
(эсвэл шууд ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 рад/с)
Тэгэхээр давтамж нь ойролцоогоор 3,18 Гц ба ω = 20 рад/с байна.
-
Жишээ 3: Хазайлтын тэгшитгэл
Биет 0,10 м далайцтай ба ω = 5 рад/с-тэй гармоник чичиргээтэй байна. t = 0 үед биет тэнцвэрт байдалд байж, эерэг чиглэлд хөдөлж байна. Шилжилтийн тэгшитгэлийг тодорхойл!
Өгөгдсөн: A = 0,10 м, ω = 5 рад/с
Анхны нөхцөл: t = 0 → x = 0 ба анхны v эерэг байна.
Хэрэв x(0) = 0 бол тохирох хэлбэр нь синус байна:
x(t) = A sin(ωt)
v(t) = Aω cos(ωt) тул v(0) = Aω cos(0) = эерэг Aω байна.
Тэгэхээр:
x(t) = 0,10 sin(5t) (метр)
-
Жишээ 4: Хамгийн их хурд ба хамгийн их хурдатгал
3-р жишээнээс v_max болон a_max-г тодорхойл.
Хариулт:
v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 м/с
a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 м/с²
Тэгэхээр, v_max = 0,50 м/с ба a_max = 2,5 м/с² байна.
-
Жишээ 5: Пүршний энерги
k = 100 Н/м хүчдэлтэй пүрш нь A = 0,20 м далайцтайгаар чичирнэ. Түүний нийт механик энергийг тооцоол !
Хариулт:
E = ½ кА²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 × 0,04
= 2 Ж
Чичиргээний нийт механик энерги нь 2 жоуль юм.
-
Жишээ 6: Савлуурын цэг
Энгийн дүүжин 1 м урттай. Хэрэв g = 10 м/с² бол түүний үеийг тодорхойл.
Хариулт:
Т = 2π √(л/г)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 сек
Тиймээс дүүжингийн үе нь ойролцоогоор 2,0 секунд байна.
7. Дүгнэлт
Энгийн гармоник хэлбэлзэл нь физикийн үндсэн үечилсэн хөдөлгөөн юм. Үүнийг ойлгох түлхүүр нь сэргээх хүч ба шилжилтийн хоорондын хамаарал (F = −kx) болон синус/косинусын функцийг дагадаг математик загварт оршдог. Пүрш ба дүүжингийн үеийн томъёо, шилжилт-хурд-хурдатгалын тэгшитгэл, энергийн тухай ойлголтыг ойлгосноор та чичиргээ ба долгионтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү хялбар болно.
Хэрэв та хүсвэл би нэмэлт дадлагын асуултуудыг нэмж болно (эхлээд хэлэлцүүлэггүйгээр) эсвэл шалгалтанд бэлэн томъёоны хураангуй хувилбарыг үүсгэж болно.
