നിഷ്ക്രിയതയുടെ നിമിഷം

1. കണികയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം

ഒരു ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന കണികയെ അവലോകനം ചെയ്യുക. പിണ്ഡം m ഉള്ള കണികയ്ക്ക് ബലം F നൽകിയിരിക്കുന്നു, അങ്ങനെ കണിക O അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുന്നു. കണിക ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് r അകലെയാണ്. ആദ്യം, കണിക നിശ്ചലാവസ്ഥയിലാണ് (v = 0). F ന്റെ ബലത്താൽ ചലിച്ച ശേഷം, കണികകൾ ഒരു നിശ്ചിത വേഗതയിൽ നീങ്ങുന്നു, അങ്ങനെ കണികകൾക്ക് ടാൻജെൻഷ്യൽ ത്വരണം ലഭിക്കും. ബലം (F), പിണ്ഡം (m), കണങ്ങളുടെ ടാൻജെൻഷ്യൽ ത്വരണം എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സമവാക്യം 3 വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

F = ma _ടാൻ (സമവാക്യം 3)

കണികകൾ കറങ്ങുന്നതിനാൽ കണികകൾക്ക് കോണീയ ത്വരണം ലഭിക്കും. ടാൻജൻഷ്യൽ ത്വരണവും കോണീയ ത്വരണവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സമവാക്യം 4 വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

a _ടാൻ = r α (സമവാക്യം 4)

സമവാക്യം 3 ലെ a യെ സമവാക്യം 4 ലെ a ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

എഫ് = മിസ്റ്റർ α

r F = മിസ്റ്റർ ² α

τ = (മിസ്റ്റർ ² ) α (സമവാക്യം 5)

r F എന്നത് ബലത്തിന്റെ മുഹൂർത്തവും mr ² എന്നത് കണികയുടെ ജഡത്വ മുഹൂർത്തവുമാണ്. സമവാക്യം 5 ബലത്തിന്റെ മുഹൂർത്തം, ജഡത്വ മുഹൂർത്തം, ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന കണങ്ങളുടെ കോണീയ ത്വരണം എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ പ്രസ്താവിക്കുന്നു. സമവാക്യം 5 എന്നത് ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന കണികകൾക്കായുള്ള ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമത്തിന്റെ സമവാക്യമാണ്.

ഒരു കണികയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്നത് കണികയുടെ പിണ്ഡത്തിന്റെയും (m) ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടുള്ള കണികകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെയും ഗുണനഫലമാണ് (r ² ).

I = മിസ്റ്റർ ² (സമവാക്യം 6)

I = കണികയുടെ ജഡത്വ മുഹൂർത്തം, m = കണികയുടെ പിണ്ഡം, r = കണികയ്ക്കും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം. ഒരു കണികയുടെ ജഡത്വ മുഹൂർത്തം നിർണ്ണയിക്കാൻ സമവാക്യം 6 ഉപയോഗിക്കുന്നു.

3.2 കണികയുടെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 1.

2 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡമുള്ള ഒരു കണികയെ 0.5 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കയറിൽ കെട്ടി പിന്നീട് കറക്കി. കറങ്ങുമ്പോൾ കണങ്ങളുടെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്?

പരിഹാരം:

ഞാൻ = മിസ്റ്റർ ²

I = (2 കി.ഗ്രാം) (0.5 മീ) ²

I = 0.5 കിലോഗ്രാം മീ ²

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 2.

2 കിലോഗ്രാമും 4 കിലോഗ്രാമും ഭാരമുള്ള രണ്ട് കണികകൾ ഒരു ഭാരം കുറഞ്ഞ വയർ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അവിടെ വയർ നീളം 2 മീറ്ററാണ്. വയറുകളുടെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക. രണ്ട് കണികകളുടെയും ജഡത്വ നിമിഷം നിർണ്ണയിക്കുക, എങ്കിൽ:

a) രണ്ട് കണികകൾക്കിടയിലാണ് ഭ്രമണ അക്ഷം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

പരിഹാരം:

ഞാൻ = മീ ₁ पर ₁ ² + മീ ₂ पर ₂ ²

ഞാൻ = (2)(12) + (4)(12)

ഞാൻ = 2 + 4

I = 6 കിലോഗ്രാം മീ ²

b) ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് 2 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡമുള്ള കണികയിൽ നിന്ന് 0.5 മീറ്റർ അകലെയാണ്.

ഞാൻ = മീ ₁ पर ₁ ² + മീ ₂ पर ₂ ²

ഞാൻ = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

ഞാൻ = (2)(0.25) + (4)(2.25)

ഞാൻ = 0.5 + 9

I = 9.5 കിലോഗ്രാം മീ ²

c) 4 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡമുള്ള കണികയിൽ നിന്ന് 0.5 മീറ്റർ അകലെയാണ് ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട്.

ഞാൻ = മീ ₁ पर ₁ ² + മീ ₂ पर ₂ ²

ഞാൻ = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

ഞാൻ = (2)(2.25) + (4)(0.25)

ഞാൻ = 4.5 + 1

I = 5.5 കിലോഗ്രാം മീ ²

മുകളിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന്റെ സ്ഥാനം ജഡത്വ മുഹൂർത്തത്തെ ശക്തമായി സ്വാധീനിക്കുന്നു. ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന്റെ സ്ഥാനം വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ ആകൃതിയും വലുപ്പവും ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിലും, ജഡത്വ മുഹൂർത്തവും വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനടുത്തുള്ള കണികകൾക്ക് ജഡത്വ മുഹൂർത്തം കുറവായിരിക്കും, അതേസമയം ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് അകലെയുള്ള കണികകൾക്ക് ജഡത്വ മുഹൂർത്തം കൂടുതലാണ്. മുകളിലുള്ള രണ്ട് കണികകളും കർക്കശമായ വസ്തുക്കളാണെന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഓരോ കണികയും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനടുത്തായിരിക്കും.

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് അകലെയുള്ള കണികയുടെ ജഡത്വ മൊമെന്റിനേക്കാൾ കുറഞ്ഞ ജഡത്വ മൊമെന്റ് ഉള്ളതാണ്.

3.3 ഒരു ഏകതാനമായ ദൃഢമായ വസ്തുവിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം

ദൃഢമായ വസ്തുക്കൾ നിരവധി കണികകൾ ചേർന്നതാണ്. ഒരു ദൃഢമായ വസ്തുവിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് എന്നത് ആ വസ്തുവിനെ നിർമ്മിക്കുന്ന ഓരോ കണികയുടെയും ജഡത്വ മൊമെന്റ്സിന്റെ ആകെ എണ്ണമാണ്.

ഞാൻ = Σ മിസ്റ്റർ ²

ഞാൻ = മീ₁ r₁² + മീ₂ r₂² + മീ₃ r₃² + ..... + മീ_n r_n²

ഒരു കർക്കശമായ വസ്തുവിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഭ്രമണം ചെയ്യുമ്പോൾ വസ്തു പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന്റെ സ്ഥാനം വസ്തുവിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റിനെ ബാധിക്കുന്നു. ഓരോ കണികയുടെയും ജഡത്വ മൊമെന്റ് (I) കണികയുടെ പിണ്ഡത്തെയും (m) കണികയുടെ ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തിന്റെ (r ² ) വർഗ്ഗത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. വസ്തുവിനെ നിർമ്മിക്കുന്ന എല്ലാ കണങ്ങളുടെയും പിണ്ഡം വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡമാണ്.

പ്രശ്നം എന്തെന്നാൽ, ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ കണികയുടെയും ദൂരം വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു എന്നതാണ്.

വിരലുകൾ R ഉം പിണ്ഡം M ഉം ഉള്ള ഒരു നേർത്ത വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ കുറവ് സൂത്രവാക്യത്തിൽ അവലോകനം ചെയ്യുക.

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് വളയത്തിന്റെ മധ്യത്തിലാണെങ്കിൽ, നേർത്ത വളയത്തിലെ എല്ലാ കണികകളും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്നാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ഒരു നേർത്ത വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എല്ലാ കണികകളുടെയും ജഡത്വ നിമിഷത്തിന് തുല്യമാണ്:

I = Σ മിസ്റ്റർ²

ഞാൻ = മീ₁ r₁² + മീ₂ r₂² + മീ₃ r₃² + ..... + മീ_n r_n²

എല്ലാ കണങ്ങളുടെയും പിണ്ഡം = നേർത്ത വളയത്തിന്റെ പിണ്ഡം (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ..... + r _n ² )

നേർത്ത വളയത്തിലെ ഓരോ കണികയും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് r അകലെയാണ്, അതിനാൽ r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

നേർത്ത വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സമവാക്യം:

ഞാൻ = എംആർ ²

I = നേർത്ത വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം, M = നേർത്ത വളയത്തിന്റെ പിണ്ഡം, R = നേർത്ത വളയത്തിന്റെ ആരം.

വളയത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ ഭ്രമണ അക്ഷം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? വളയത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ ഭ്രമണ അക്ഷം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കിൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നേർത്ത വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് ഫോർമുല ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാൻ കഴിയില്ല,

കാരണം ഓരോ കണികയും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഇതുപോലുള്ള ഒരു പ്രശ്നത്തിന് ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിയുന്നത് ഈ വിഷയത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നില്ല.

ചില കർക്കശ വസ്തുക്കളുടെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം

3.4 ഒരു ഏകതാനമായ കർക്കശമായ ശരീരത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സാമ്പിൾ പ്രശ്നം

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 1:

റോഡ് സിലിണ്ടർ AB യെ B യിലൂടെ തിരിക്കുമ്പോൾ 3 kg പിണ്ഡമുണ്ട്,

ജഡത്വ മൊമെന്റ് 27 കിലോഗ്രാം മീ ² ആണ് . എങ്കിൽ ജഡത്വ മൊമെന്റ് എത്രയാണ്?

C ലൂടെ കറങ്ങിയത്?

പരിഹാരം:

പരിഹാരം:

ഏകതാനമായ ഖര ദണ്ഡിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം (ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് വടിയുടെ മധ്യത്തിലാണ്):

ഞാൻ = 1/12 മില്ലി ²

27 = (1/12) എംഎൽ ²

(27)(12) = എംഎൽ ²

324 = എംഎൽ ²

ഒരു ഏകതാനമായ ഖര വടിയുടെ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം (വടിയുടെ അരികിലുള്ള ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട്):

ഞാൻ = 1/3 മില്ലി ²

ഞാൻ = 1/3 (324)

I = 108 കിലോഗ്രാം മീ ²