കോണീയ ആക്കം

കോണീയ ആക്കം

രേഖീയ ചലനത്തിലെ പിണ്ഡത്തിന് (m) സമാനമായ ഭ്രമണ ചലനത്തിന്റെ അളവ്, നിശ്ചലതയുടെ നിമിഷം (I). രേഖീയ ചലനത്തിലെ പ്രവേഗത്തിന് (v) സമാനമായ ഭ്രമണ ചലനത്തിന്റെ അളവാണ് കോണീയ പ്രവേഗം (ω). അങ്ങനെ, ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന വസ്തുവിന് കോണീയ ആക്കം ഉണ്ട്, അത് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:

എൽ = ഐ ω

L = കോണീയ ആക്കം (കി.ഗ്രാം മീ²/s), I = ജഡത്വത്തിന്റെ നിമിഷം (kg · m²), ω = കോണീയ പ്രവേഗം (റാഡ്/സെ)

കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 1.

0.5 ഗ്രാം പിണ്ഡമുള്ള ഒരു കണിക 2 റാഡ്/സെക്കൻഡ് എന്ന സ്ഥിരമായ കോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ ഒരു വൃത്തത്തിൽ നീങ്ങുന്നു. കണികയുടെ പാതയുടെ ആരം 10 സെ.മീ ആണെങ്കിൽ കണികയുടെ കോണീയ ആക്കം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം:

കണികയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം:

ഞാൻ = മിസ്റ്റർ.² = (0.5 x 10^-3 കിലോ)(1 x 10^-1 m)² = (0.5 x 10^-3 കിലോ)(1 x 10^-2 m²) = 0.5 x 10^-5 കിലോഗ്രാം മീ²

കണികയുടെ കോണീയ വേഗത:

ω = 2 റാഡ്/സെ

കണികയുടെ കോണീയ ആക്കം:

എൽ = (0.5 x 10^-5 കിലോഗ്രാം മീ²)(2 റാഡ്/സെ) = 1 x 10^-5 കിലോഗ്രാം മീ²/s

കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമം

ഒരു ദൃഢമായ വസ്തുവിൽ ഭ്രമണം ചെയ്യുമ്പോൾ അതിൽ പ്രയോഗിക്കുന്ന ബലത്തിന്റെ ഫലം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ആ ദൃഢമായ വസ്തുവിന്റെ ഭ്രമണം ചെയ്യുമ്പോൾ അതിന്റെ കോണീയ ആവേഗം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരമായിരിക്കും എന്ന് കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമം പറയുന്നു. ന്യൂട്ടന്റെ കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ രണ്ടാം നിയമത്തിന്റെ സമവാക്യം പരിഷ്കരിച്ചുകൊണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരുന്നു. ഇതാ, ന്യൂട്ടൺകോണീയ ആവേഗത്തെക്കുറിച്ചുള്ള രണ്ടാമത്തെ നിയമം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബലത്തിന്റെ നിമിഷം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള സമവാക്യം ഇതിലേക്ക് മാറുന്നു:

I_t = ജഡത്വത്തിന്റെ അവസാന നിമിഷം, I_o = ജഡത്വത്തിന്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം, ω_t = അന്തിമ കോണീയ വേഗത, ω_o = പ്രാരംഭ കോണീയ വേഗത, L_t = അന്തിമ കോണീയ ആവേഗം, L_o = പ്രാരംഭ കോണീയ ആക്കം.

കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ നിയമത്തിന്റെ സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

സാമ്പിൾ പ്രശ്നം 1.

ഒരു ഏകതാനമായ ഖര സിലിണ്ടർ ഡിസ്ക് തുടക്കത്തിൽ അതിന്റെ അച്ചുതണ്ടിൽ 4 റാഡ്/സെക്കൻഡ് വേഗതയിൽ കറങ്ങിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഡിസ്കിന്റെ പിണ്ഡവും ആരവും 1 കിലോയും 0.5 മീറ്ററും ആണ്. പ്ലേറ്റിന് മുകളിൽ 0.2 കിലോയും 0.1 മീറ്ററും പിണ്ഡവും ആരവും ഉള്ള ഒരു വളയം സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വളയത്തിന്റെ മധ്യഭാഗം,

ഡിസ്കിന്റെ മധ്യഭാഗത്തിന് തൊട്ടു മുകളിലായി, ഡിസ്കും റിംഗും കോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ ഒരുമിച്ച് കറങ്ങും …..

പരിഹാരം:

ഖര സിലിണ്ടറിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം: I = 1/2 മി.² = 1/2 (1 കി.ഗ്രാം)(0.5 മീ)² = (0.5)(0.25) = 0.125 കി.ഗ്രാം മീ²

വളയത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം: I = മിസ്റ്റർ² = (0.2 കി.ഗ്രാം)(0.1 മീ)² = (0.2)(0.01) = 0.002 കി.ഗ്രാം മീ²

പ്രാരംഭ കോണീയ ആക്കം (L₁) = അന്തിമ കോണീയ ആക്കം (L₂)

I₁ ω₁ = ഞാൻ₂ ω₂

(0.125 കി.ഗ്രാം മീ.)²)(4 റാഡ്/സെ) = (0.125 കി.ഗ്രാം മീ² + 0.002 കി.ഗ്രാം മീ²)(ω)₂)

(0.5) = (0.127)(ω)₂)

ω₂ = 0.5 : 0.127

ω₂ = 4 റാഡ്/സെ

ആശയപരമായ ചോദ്യങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും

1. കോണീയ ആക്കം എന്താണ്?
   ഉത്തരം: ഒരു വസ്തുവിന്റെ പിണ്ഡവും ആകൃതിയും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഭ്രമണത്തിന്റെ അളവാണ് കോണീയ മൊമെന്റം. ഇത് രേഖീയ മൊമെന്റത്തിന്റെ ഭ്രമണ അനലോഗ് ആണ്.
2. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കോണീയ ആക്കം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു?
   ഉത്തരം: കോണീയ ആക്കം (L) ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു $L=r\times p$എവിടെ $r$ ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് പ്രയോഗബിന്ദുവിലേക്കുള്ള സ്ഥാന വെക്‌ടറാണ്, കൂടാതെ $p$ രേഖീയ ആക്കം ആണ്.
3. കോണീയ ആക്കം ഒരു സ്കെയിലർ അളവാണോ അതോ വെക്റ്റർ അളവാണോ?
   ഉത്തരം: കോണീയ ആക്കം ഒരു വെക്റ്റർ അളവാണ്.
4. SI സിസ്റ്റത്തിലെ കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് എന്താണ്?
   ഉത്തരം: SI സിസ്റ്റത്തിൽ കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ യൂണിറ്റ് സെക്കൻഡിൽ കിലോഗ്രാം-മീറ്റർ ചതുരമാണ് (kg·m²/ സെ).
5. കോണീയ ആവേഗം എങ്ങനെ സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു?
   ഉത്തരം: ബാഹ്യ ടോർക്കുകളില്ലാത്ത ഒരു അടഞ്ഞ സിസ്റ്റത്തിൽ, മൊത്തം കോണീയ ആവേഗം സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു.
6. കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ തത്വം എന്താണ്?
   ഉത്തരം: ഒരു ബാഹ്യ ടോർക്ക് പ്രയോഗിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഒരു അടഞ്ഞ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൊത്തം കോണീയ ആവേഗം സ്ഥിരമായി നിലനിൽക്കുമെന്ന് തത്വം പറയുന്നു.
7. ഒരു ഫിഗർ സ്കേറ്ററിന്റെ സ്പിൻ കോണീയ ആക്കം (angular momentum) മായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?
   ഉത്തരം: ഒരു സ്കെറ്റർ സ്പിന്നിംഗിനിടെ കൈകളും കാലുകളും ശരീരത്തോട് അടുപ്പിക്കുമ്പോൾ, അവ അവയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം കുറയ്ക്കുകയും വേഗത്തിൽ കറങ്ങാൻ കാരണമാവുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ സംരക്ഷണം പ്രകടമാക്കുന്നു.
8. ടോർക്കും കോണീയ ആവേഗവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്താണ്?
   ഉത്തരം: ടോർക്ക് ($\tau$) എന്നത് കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ മാറ്റ നിരക്കാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, τ=dലി/സെക്കൻഡ്​.
9. കോണീയ പ്രവേഗം ഇല്ലാതെ ഒരു വസ്തുവിന് കോണീയ ആക്കം ഉണ്ടാകാൻ കഴിയുമോ?
   ഉത്തരം: ഇല്ല, ഒരു വസ്തുവിന് കോണീയ ആക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിന് കോണീയ പ്രവേഗവും ഉണ്ടാകും. കോണീയ ആക്കം അതിന്റെ വ്യാപ്തിയും ദിശയും ജഡത്വ ആക്കം, കോണീയ പ്രവേഗം എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
10. ജഡത്വ നിമിഷം കോണീയ ആവേഗത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു?
    ഉത്തരം: ജഡത്വ മുഹൂർത്തം (I) യും കോണീയ പ്രവേഗം (ω) യും കൂട്ടിച്ചേർത്തതിന്റെ ഫലമാണ് കോണീയ മൊമെന്റം (L). യുഎസ് $L=I\omega$, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു കോണീയ പ്രവേഗത്തിന് ജഡത്വ മുഹൂർത്തത്തിലെ വർദ്ധനവ് കോണീയ ആക്കം വർദ്ധിപ്പിക്കും.
11. ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിൽ സ്പിന്നും ഓർബിറ്റൽ ആംഗുലർ മൊമെന്റവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?
    ഉത്തരം: സ്പിൻ ആംഗുലർ മൊമെന്റം എന്നത് ഇലക്ട്രോണുകളെ പോലെ കണങ്ങളുടെ ഒരു ആന്തരിക സ്വഭാവമാണ്, അത് ബഹിരാകാശത്തെ ചലനത്തിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകുന്നതല്ല. മറുവശത്ത്, പരിക്രമണ കോണീയ മൊമെന്റം ഒരു കേന്ദ്രബിന്ദുവിന് ചുറ്റുമുള്ള ഒരു കണികയുടെ ചലനത്തിൽ നിന്നാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്.
12. ഗ്രഹവ്യവസ്ഥകളുടെ രൂപീകരണത്തിൽ കോണീയ ആവേഗം എന്ത് പങ്കാണ് വഹിക്കുന്നത്?
    ഉത്തരം: ഒരു തന്മാത്രാ മേഘം ചുരുങ്ങി നക്ഷത്രങ്ങളും ഗ്രഹങ്ങളും രൂപപ്പെടുമ്പോൾ, കോണീയ ആക്കം സംരക്ഷിക്കൽ പദാർത്ഥം നവജാത നക്ഷത്രത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ഒരു ഡിസ്കിലേക്ക് പരന്നതായിത്തീരുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ഗ്രഹങ്ങൾ രൂപപ്പെടാൻ കഴിയും.
13. ഒരു ഗൈറോസ്കോപ്പ് ബഹിരാകാശത്ത് അതിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ നിലനിർത്തുന്നത് എങ്ങനെയാണ്?
    ഉത്തരം: കറങ്ങുന്ന ഒരു ഗൈറോസ്കോപ്പിന് കോണീയ മൊമെന്റം ഉണ്ട്. ഒരു ബാഹ്യ ടോർക്ക് അതിന്റെ ഓറിയന്റേഷൻ മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, കോണീയ മൊമെന്റത്തിന്റെ സംരക്ഷണം കാരണം, പ്രയോഗിക്കുന്ന ടോർക്കിന് ലംബമായ ഒരു ദിശയിൽ ഗൈറോസ്കോപ്പ് മുന്നോട്ട് പോകുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് മാറ്റുന്നു.
14. സ്പിന്നിംഗ് ടോപ്പിൽ പ്രീസെഷന് കാരണമാകുന്നത് എന്താണ്?
    ഉത്തരം: ഒരു സ്പിന്നിംഗ് ടോപ്പിലെ പ്രീസെഷൻ ഉണ്ടാകുന്നത് മുകളിലെ പിണ്ഡ കേന്ദ്രത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഗുരുത്വാകർഷണം മൂലമുള്ള ടോർക്ക് മൂലമാണ്, ഇത് അതിന്റെ പിവറ്റ് പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഓഫ്സെറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഈ ടോർക്ക് മുകളിലെ കോണീയ മൊമെന്റത്തിന്റെ ദിശയിൽ ഒരു മാറ്റത്തിന് കാരണമാകുന്നു, ഇത് അത് പ്രീസെസ്സിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
15. നക്ഷത്രങ്ങൾ അവയുടെ ധ്രുവങ്ങളിൽ പരന്നിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
    ഉത്തരം: നക്ഷത്രങ്ങൾ കറങ്ങുമ്പോൾ, ദ്രവ്യത്തെ പുറത്തേക്ക് തള്ളിവിടുന്ന ഒരു അപകേന്ദ്രബലം അവയ്ക്ക് അനുഭവപ്പെടുന്നു. ധ്രുവങ്ങളെ അപേക്ഷിച്ച് ഭൂമധ്യരേഖയിൽ ഈ പ്രഭാവം ശക്തമാണ്, ഇത് ഒരു ഓബ്ലേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ പരന്ന ആകൃതിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
16. കെപ്ലറുടെ രണ്ടാം നിയമവുമായി കോണീയ ആക്കം എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?
    ഉത്തരം: കെപ്ലറുടെ രണ്ടാം നിയമം അനുസരിച്ച്, ഒരു ഗ്രഹത്തെയും സൂര്യനെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു രേഖാഖണ്ഡം തുല്യ സമയ ഇടവേളകളിൽ തുല്യ വിസ്തീർണ്ണം തുടച്ചുനീക്കുന്നു. ഇത് കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണത്തിന്റെ അനന്തരഫലമാണ്.
17. ഒരു പൂച്ച വീഴുമ്പോൾ എപ്പോഴും കാലിൽ ഇരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
    ഉത്തരം: പൂച്ചകൾ കോണീയ ആവേഗ സംരക്ഷണ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. വായുവിലെ ജഡത്വ നിമിഷങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെയും ശരീരത്തെ വളച്ചൊടിക്കുന്നതിലൂടെയും, സംരക്ഷണ നിയമങ്ങൾ ലംഘിക്കാതെ തന്നെ അവയ്ക്ക് കാലിൽ നിലത്ത് ഇരിക്കുന്നതിനായി സ്വയം പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും.
18. ഇലക്ട്രോണുകളിലെ കോണീയ ആവേഗവും കാന്തിക ആഘർഷണവും എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?
    ഉത്തരം: ഒരു ഇലക്ട്രോണിന്റെ കാന്തിക ആഘൂർണം അതിന്റെ സ്പിൻ, ഓർബിറ്റൽ കോണീയ ആഘൂർണ്ണതയിൽ നിന്നാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്. കാന്തിക ആഘൂർണ്ണം ഇലക്ട്രോണിന്റെ കോണീയ ആഗമൂരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്.
19. ധ്രുവ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കോണീയ ആക്കം എന്താണ്?
    ഉത്തരം: ധ്രുവ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളിൽ, കോണീയ ആക്കം $L$ ഒരു ബിന്ദു പിണ്ഡത്തെ ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം $L=mrv$എവിടെ $m$ പിണ്ഡമാണ്, $r$ ആരീയ ദൂരമാണ്, കൂടാതെ $v$ എന്നത് ടാൻജൻഷ്യൽ പ്രവേഗമാണ്.
20. ഒരു അടഞ്ഞ സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് വസ്തുക്കൾ കൂട്ടിയിടിക്കുമ്പോൾ കോണീയ ആക്കം എന്ത് സംഭവിക്കും?
    ഉത്തരം: രണ്ട് വസ്തുക്കൾ കൂട്ടിയിടിക്കുന്ന ഒരു അടഞ്ഞ സിസ്റ്റത്തിൽ, കൂട്ടിയിടിക്കുന്നതിന് മുമ്പുള്ള ആകെ കോണീയ ആവേഗം കൂട്ടിയിടിക്ക് ശേഷമുള്ള ആകെ കോണീയ ആവേഗത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, ബാഹ്യ ടോർക്കുകളൊന്നും സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല എന്ന് അനുമാനിക്കാം.

പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

1. പ്രശ്നം: r = 4 m ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൽ m = 2 kg ബിന്ദു പിണ്ഡം v = 3 m/s വേഗതയിൽ ചലിക്കുന്നു. വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

2. പ്രശ്നം: 3 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡവും 0.5 മീറ്റർ ആരവുമുള്ള ഒരു ഖര ഗോളം അതിന്റെ വ്യാസത്തിൽ ω = 2 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്നു. അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം എന്താണ്?

പരിഹാരം: ഒരു ഉറച്ച ഗോളത്തിന്, I=2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

എൽ=2/5×3×(0.5)²×2=0.6 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

3. പ്രശ്നം: 3 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു ബിന്ദു പിണ്ഡം 4 മീ/സെക്കൻഡ് വേഗതയിൽ ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുന്നു. അതിന്റെ ചലനരേഖയിൽ നിന്ന് 5 മീറ്റർ അകലെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ കോണീയ ആക്കം എത്രയാണ്?

പരിഹാരം:

$L=m\times v\times r$

എൽ=3×4×5=60 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

4. പ്രശ്നം: 5 കി.ഗ്രാം പിണ്ഡവും 3 മീറ്റർ ആരവുമുള്ള ഒരു ഡിസ്ക് 2 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ വേഗതയിൽ കറങ്ങുന്നു. അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം: ഒരു ഡിസ്കിന്, I=1/2​m r²

$L=I\times \omega$

എൽ=1/2×5×3²×2=45 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

5. പ്രശ്നം: 4 മീറ്റർ നീളവും 2 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡവുമുള്ള ഒരു ദണ്ഡ് 3 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ ഒരു അറ്റത്ത് കറങ്ങുന്നു. അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ഒരു അറ്റത്തുള്ള ഒരു വടിക്ക്, I=1/3​ m l²

$L=I\times \omega$

എൽ=1/3×2×4²×3=96 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

6. പ്രശ്നം: ഒരു ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന വസ്തുവിന്റെ കോണീയ പ്രവേഗം ഇരട്ടിയാക്കിയാൽ കോണീയ ആക്കം എത്രയാകും?

പരിഹാരം: കോണീയ ആവേഗം (L) ഉം കോണീയ പ്രവേഗവും (ω) തമ്മിലുള്ള ബന്ധം $L=I\times \omega$ω ഇരട്ടിയാക്കിയാൽ കോണീയ ആക്കം ഇരട്ടിയാകും.

7. പ്രശ്നം: ഒരു ചലിക്കുന്ന കണികയുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതയുടെ ആരം പ്രവേഗം സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് ഇരട്ടിയാകുന്നുവെങ്കിൽ, ഏത് ഘടകത്താലാണ് കോണീയ ആക്കം മാറുന്നത്?

പരിഹാരം: കോണീയ ആക്കം, $L=m\times r\times v$. r ഇരട്ടിയാണെങ്കിൽ L ഉം ഇരട്ടിയാകും.

8. പ്രശ്നം: 30 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു കുട്ടി വിശ്രമത്തിലായിരിക്കുന്ന ഒരു മെറി-ഗോ-റൗണ്ടിന്റെ അരികിൽ നിൽക്കുന്നു. മെറി-ഗോ-റൗണ്ടിന്റെ ആരം 2 മീ. കുട്ടി അരികിലൂടെ നിലവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് 2 മീ/സെക്കൻഡ് വേഗതയിൽ ഓടാൻ തുടങ്ങിയാൽ, മധ്യഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കുട്ടിയുടെ കോണീയ ആക്കം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

9. പ്രശ്നം: 6 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡവും 2 മീറ്റർ ആരവുമുള്ള ഒരു സിലിണ്ടർ അതിന്റെ കേന്ദ്ര അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും 5 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്നു. അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം: ഒരു സിലിണ്ടറിന്, I=1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2²×5=120 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

10. പ്രശ്നം: ഒരു വസ്തുവിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം പകുതിയായി കുറയുകയും കോണീയ പ്രവേഗം മൂന്നിരട്ടിയാക്കുകയും ചെയ്താൽ അതിന്റെ പുതിയ കോണീയ ആക്കം എന്തായിരിക്കും?

പരിഹാരം: നൽകിയിരിക്കുന്നു $L=I\times \omega$, എങ്കിൽ $I$ പകുതിയാക്കി $\omega$ മൂന്നിരട്ടിയായി, പുതിയത് $L$ ആയിരിക്കും 1/2×3=1.5× യഥാർത്ഥം.

11. പ്രശ്നം: 2kg പിണ്ഡവും 1m ആരവുമുള്ള ഒരു വളയം 4 rad/s കോണീയ വേഗതയിൽ കറങ്ങുന്നു. അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം: ഒരു വളയത്തിന്, I=m r²

$L=I\times \omega$

എൽ=2×1²×4=8 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

12. പ്രശ്നം: ഒരു ഫാനിന്റെ ബ്ലേഡുകൾ 0.5 മീറ്റർ നീളവും ആകെ പിണ്ഡം 1 കിലോഗ്രാം ഉം ആണ്. അത് 10 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ വേഗതയിൽ കറങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം: ഫാൻ ബ്ലേഡുകൾ ഒരു അറ്റത്ത് കറങ്ങുന്ന കമ്പികൾ പോലെയാണെന്ന് കരുതുക, I= 1/3 ​ml²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5²×10=0.833 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

13. പ്രശ്നം: ഭൂമിയുടെ ഭ്രമണം കാരണം അതിന്റെ സ്വന്തം അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള കോണീയ ആക്കം കണക്കാക്കുക. നൽകിയിരിക്കുന്നത്: ഭൂമിയുടെ പിണ്ഡം =5.972×10²⁴ kg, ആരം $r=6371\text{km}$, ω=7.27×10^-5റാഡ് / സെ.

പരിഹാരം: ഭൂമി ഒരു ഖര ഗോളമാണെന്ന് കരുതുക, I=2/5 ​mr²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10²⁴×(6371×10)³)²× 7.27 × 10^-5

L≈7.07×10³³കിലോഗ്രാം.മീ²/s

14. പ്രശ്നം: ഒരു കുട്ടി കറങ്ങുന്ന ഒരു പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു. കോണീയ ആക്കം കൂടുമോ, കുറയുമോ അതോ അതേപടി തുടരുമോ?

പരിഹാരം: കോണീയ ആക്കം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. കുട്ടി കേന്ദ്രത്തിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ജഡത്വത്തിന്റെ ആക്കം കുറയുന്നു. കോണീയ ആക്കം സംരക്ഷിക്കുന്നതിന്, കോണീയ പ്രവേഗം വർദ്ധിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, കോണീയ ആക്കം അതേപടി തുടരുന്നു.

15. പ്രശ്നം: ഒരു ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന വസ്തുവിന്റെ ഗതികോർജ്ജം ഇരട്ടിയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ കോണീയ ആവേഗം ഏത് ഘടകത്താലാണ് മാറുന്നത്?

പരിഹാരം: ഗതികോർജ്ജം K= 1 / 2 ​Iω² കോണീയ ആക്കം $L=I\omega$ഗതികോർജ്ജം ഇരട്ടിയാണെങ്കിൽ $I$ സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു, ω² ഇരട്ടിയായി. ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $\omega$ ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നു √2​. അങ്ങനെ, $L$ കൂടാതെ ഒരു ഘടകം വർദ്ധിക്കുന്നു √2​.

16. പ്രശ്നം: 0.3 മീറ്റർ ആരമുള്ള ഒരു സൈക്കിൾ ചക്രത്തിന്റെ റിം 1.5 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡമുള്ളതാണ്. അത് 5 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ വേഗതയിൽ കറങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: റിം ഒരു വളയമാണെന്ന് കരുതുക, I=mr²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

L=1.5×0.32×5=6.75കിലോഗ്രാം.മീ²/s

17. പ്രശ്നം: ഒരു ഐസ് സ്കേറ്റർ കറങ്ങുമ്പോൾ അവളുടെ കൈകൾ അകത്തേക്ക് വലിക്കുന്നു. അവളുടെ കോണീയ ആക്കം എന്ത് സംഭവിക്കുന്നു?

പരിഹാരം: സ്കേറ്ററുടെ കോണീയ ആക്കം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. കൈകൾ ഉള്ളിലേക്ക് വലിക്കുന്നതിലൂടെ, അവൾ തന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം കുറയ്ക്കുന്നു, അങ്ങനെ അവൾ തന്റെ കോണീയ ആക്കം സംരക്ഷിക്കുന്നതിനായി വേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്നു (കോണീയ പ്രവേഗം വർദ്ധിക്കുന്നു).

18. പ്രശ്നം: ഒരു ഫ്ലൈ വീലിന് 0.2 ജഡത്വ നിമിഷം ഉണ്ട്. കിലോഗ്രാം.മീ²കിലോഗ്രാം.മീ² 10 റാഡ്/സെക്കൻഡ് കോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്നു. അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

L=0.2×10=2 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

19. പ്രശ്നം: ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ പൂജ്യം എന്ന മൊത്തം ബാഹ്യ ടോർക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അതിന്റെ കോണീയ ആവേഗത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും?

പരിഹാരം: മൊത്തം ബാഹ്യ ടോർക്ക് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ സംരക്ഷണം അനുസരിച്ച്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആകെ കോണീയ ആവേഗം സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു.

20. പ്രശ്നം: ഒരു ബിന്ദു പിണ്ഡം m = 5 kg, അതിനെ P എന്ന ബിന്ദുവിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി v = 3 m/s വേഗതയിൽ നീങ്ങുന്നു. P എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം 4 m ആണെങ്കിൽ, P എന്ന ബിന്ദുവിനോട് ചേർന്നുള്ള അതിന്റെ കോണീയ ആക്കം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 കിലോഗ്രാം.മീ²/s

L=5×4×3=60കിലോഗ്രാം.മീ²/s