കണങ്ങളുടെ ജഡത്വ നിമിഷം - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

കണങ്ങളുടെ ജഡത്വ നിമിഷം - പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

1. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരു വടി ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് പന്തുകൾ. വടിയുടെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക. പന്ത് P യുടെ പിണ്ഡം 600 ഗ്രാമും പന്ത് Q യുടെ പിണ്ഡം 400 ഗ്രാമുമാണ്. AB യെക്കുറിച്ചുള്ള സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ് ?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

ഭ്രമണ അക്ഷം AB ആണ്.

m _p = 600 ഗ്രാം = 0.6 കി.ഗ്രാം, m _q = 400 ഗ്രാം = 0.4 കി.ഗ്രാം

r _p = 20 സെ.മീ = 0.2 മീ, r _q = 50 സെ.മീ = 0.5 മീ

ആവശ്യമുണ്ട് : സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 കി.ഗ്രാം)(0.2 മീ) ² + (0.4 കി.ഗ്രാം)(0.5 മീ) ²

I = (0.6 കി.ഗ്രാം)(0.04 മീ ² ) + (0.4 കി.ഗ്രാം)(0.25 മീ ² )

I = 0.024 കിലോഗ്രാം മീ ² + 0.1 കിലോഗ്രാം മീ ²

I = 0.124 കിലോഗ്രാം മീ ²

2. 2-kg പിണ്ഡമുള്ള AB യുടെ ദണ്ഡ് A എന്ന ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ, ദണ്ഡിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം 8 kg m ആണ്.². ദണ്ഡ് O (AO = OB) എന്ന ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും കറങ്ങിയാൽ, ദണ്ഡിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എത്രയാണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

വടി AB (m) = 2 കി.ഗ്രാം പിണ്ഡം

ഭ്രമണ ആരം (r) = AB യുടെ നീളം = r ആകുന്ന തരത്തിൽ A ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും കറക്കിയാൽ ജഡത്വ മൊമെന്റ് (I) = 8 കി.ഗ്രാം മീ.²

ആവശ്യമുണ്ട്: ഭ്രമണ ആരം (r) = AO യുടെ നീളം = OB യുടെ നീളം = 1/2 r ആകുന്ന വിധത്തിൽ O ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും കറക്കിയാൽ ദണ്ഡിന്റെ ജഡത്വ മൊമെന്റ് എത്രയാണ്?

പരിഹാരം:

ഞാൻ = മിസ്റ്റർ ²

8 കിലോ മീ ² = (2 കിലോ) r ²

8 മീ ² = (2) ആർ ²

r ² = 8 മീ ² / 2

r ² = 4 മീ ²

r = 2 മീറ്റർ

O എന്ന ബിന്ദുവിനു ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ ½ r = 1 മീറ്റർ ആണെങ്കിൽ, ജഡത്വ നിമിഷം:

I = മിസ്റ്റർ ² = (2 കിലോ)(1 മീ) ² = (2 കിലോ)(1 മീ ² ) = 2 കിലോ മീ ²

3. താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു വടി ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് പന്തുകൾ. വടിയുടെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്?

അറിയപ്പെടുന്നത്:

പന്തിന്റെ പിണ്ഡം A (മീ._A) = 200 ഗ്രാം = 0.2 കി.ഗ്രാം

പന്ത് B യുടെ പിണ്ഡം (m _B ) = 400 ഗ്രാം = 0.4 കി.ഗ്രാം

ബോൾ A യും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള ദൂരം (r_A) = 0

ബോൾ B യും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള ദൂരം (r_B) = 25 സെ.മീ = 0.25 മീ

ആവശ്യമുണ്ട്: സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

പന്ത് A യുടെ ജഡത്വ നിമിഷം:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

B എന്ന പന്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 കി.ഗ്രാം മീ ²

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം:

ഞാൻ = ഞാൻ_A ഞാൻ_B = 0 + 0.025 = 0.025 കി.ഗ്രാം മീ² = 25x10^-3 കിലോഗ്രാം മീ²

4. വ്യത്യസ്ത പിണ്ഡങ്ങളുള്ള നാല് കണികകൾ, താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. തിരശ്ചീന രേഖ P ന് സമീപമുള്ള സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം

ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ട് തിരശ്ചീന രേഖ P ആണ്.

അറിയപ്പെടുന്നത്:

കണിക A യുടെ പിണ്ഡം (m_A) = മീ

കണിക B യുടെ പിണ്ഡം (m_B) = 2 മി

കണിക C യുടെ പിണ്ഡം (മീ._C) = 3 മി

കണിക D യുടെ കടന്നുപോകൽ (m_D) = 4 മി

കണിക A യും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള ദൂരം (r_A) = ബി

കണം B യും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള ദൂരം (r_B) = ബി

കണികാ C യും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള ദൂരം (r_C) = 2ബി

കണികാ D യും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള ദൂരം (r_D) = 2ബി

ആവശ്യമുണ്ട്: തിരശ്ചീന രേഖ P യെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള സിസ്റ്റത്തിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

ഞാൻ = മീ_A r_A² + മീ_B r_B² + മീ_C r_C² + മീ_D r_D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = എംബി² + 2 എംബി² + (3മീ)(4ബി²) + (4മീ)(4ബി²)

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

ഞാൻ = 31 എംബി ²

5. ഒരു വടി കൊണ്ട് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന നാല് കണികകൾ. വടിയുടെ പിണ്ഡം അവഗണിക്കുക. കണിക m ലൂടെയുള്ള ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള ജഡത്വ നിമിഷം നിർണ്ണയിക്കുക.₁ ഒപ്പം എം₂, താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

അറിയാവുന്ന

കണിക 1 ന്റെ പിണ്ഡം (മീ.₁) = 1/4 കിലോ

കണിക 2 ന്റെ പിണ്ഡം (മീ.₂) = 1/2 കിലോ

കണിക 3 ന്റെ പിണ്ഡം (മീ.₃) = 1/4 കിലോ

കണിക 4 ന്റെ പിണ്ഡം (മീ.₄) = 1/4 കിലോ

കണിക 1 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r₁) = 0

കണിക 2 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r₂) = 0

കണിക 3 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r₃) = 10 സെ.മീ = 10/100 മീ = 1/10 മീ

കണിക 4 നും ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ദൂരം (r₄) = 10 സെ.മീ = 10/100 മീ = 1/10 മീ

ആവശ്യമുണ്ട്: ജഡത്വ നിമിഷം

പരിഹാരം:

ഞാൻ = മീ₁ r₁² + മീ₂ r₂² + മീ₃ r₃² + മീ₄ r₄²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

ഞാൻ = 1/400 + 1/400

ഞാൻ = 2/400

I = 1/200 കിലോഗ്രാം. മീ ²

1. ഒരു കണികയുടെ ജഡത്വ നിമിഷം എന്താണ്?
   • ഉത്തരം: പിണ്ഡമുള്ള ഒരു ഒറ്റ കണികയ്ക്ക് $m$ അകലെ $r$ ഒരു ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന്, അതിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷം $I$ നൽകുന്നത് I=m×r².
2. എന്തുകൊണ്ടാണ് ജഡത്വ മൊമെന്റ് പിണ്ഡത്തിന്റെ "ഭ്രമണ അനലോഗ്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നത്?
   • ഉത്തരം: ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം നിയമം അനുസരിച്ച്, ഒരു വസ്തുവിന്റെ വിവർത്തന ചലനത്തിലെ മാറ്റങ്ങളോടുള്ള പ്രതിരോധത്തിന്റെ അളവാണ് പിണ്ഡം എന്നതുപോലെ, അതിന്റെ ഭ്രമണ ചലനത്തിലെ മാറ്റങ്ങളോടുള്ള പ്രതിരോധത്തിന്റെ അളവാണ് ജഡത്വത്തിന്റെ മൊമെന്റ്.
3. ഒരു കണികയുടെ ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം മാറുന്നത് അതിന്റെ ജഡത്വ നിമിഷത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു?
   • ഉത്തരം: ജഡത്വ മുഹൂർത്തം ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് ആനുപാതികമാണ്. ദൂരം ഇരട്ടിയാക്കിയാൽ, ജഡത്വ മുഹൂർത്തം നാലിലൊന്നായി വർദ്ധിക്കും.
4. ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗം (r) ആയിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?²) ഫോർമുലയിൽ ദൂരത്തിന് പകരം ജഡത്വ മൊമെന്റ് എന്താണ് ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്?
   • ഉത്തരം: ഭ്രമണത്തിലെ ഗതികോർജ്ജം പ്രവർത്തിക്കുന്ന രീതി കാരണം ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഭ്രമണ ചലനത്തിൽ, ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഓരോ കണികയും അതിന്റെ പിണ്ഡത്തെയും അച്ചുതണ്ട് വർഗ്ഗത്തിൽ നിന്നുള്ള ദൂരത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി ഭ്രമണ ഗതികോർജ്ജത്തിന് സംഭാവന ചെയ്യുന്നു.
5. ഒരു കണികയുടെ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തുമ്പോൾ അതിന്റെ പിണ്ഡം മൂന്നിരട്ടിയായി വർദ്ധിച്ചാൽ അതിന്റെ ജഡത്വ മുഹൂർത്തം എങ്ങനെ മാറുന്നു?
   • ഉത്തരം: പിണ്ഡം മൂന്നിരട്ടിയാക്കി ദൂരം സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തിയാൽ, ജഡത്വ മൊമെന്റ് പിണ്ഡത്തിന് നേർ അനുപാതത്തിലായതിനാൽ അത് മൂന്നിരട്ടിയാകും.
6. ഒരു കണികയ്ക്ക് പൂജ്യം എന്ന ജഡത്വ നിമിഷം ഉണ്ടാകുമോ? അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ഏത് അവസ്ഥയിലാണ്?
   • ഉത്തരം: അതെ, ഒരു കണിക ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നേരിട്ട് സ്ഥിതിചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ പൂജ്യം ജഡത്വ നിമിഷം ഉണ്ടായിരിക്കും, അങ്ങനെ അത് അതിന്റെ ദൂരം $r$ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ അക്ഷത്തിൽ നിന്ന്.
7. ഒരേ പിണ്ഡവും വലിപ്പവുമുള്ള വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കൾ വ്യത്യസ്ത അക്ഷങ്ങളിൽ കറങ്ങുമ്പോൾ വ്യത്യസ്ത ജഡത്വ നിമിഷങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
   • ഉത്തരം: ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള പിണ്ഡത്തിന്റെ വിതരണം ജഡത്വ മുഹൂർത്തത്തെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. രണ്ട് വസ്തുക്കൾക്ക് ഒരേ പിണ്ഡവും വലിപ്പവും ഉണ്ടെങ്കിൽ പോലും, ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അവയുടെ പിണ്ഡ വിതരണങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കാം, ഇത് വ്യത്യസ്ത ജഡത്വ മുഹൂർത്തങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
8. ജഡത്വ നിമിഷം ഒരു സ്കെയിലർ അളവാണോ അതോ വെക്റ്റർ അളവാണോ?
   • ഉത്തരം: ജഡത്വത്തിന്റെ നിമിഷം ഒരു സ്കെയിലർ അളവാണ്. എന്നിരുന്നാലും, സങ്കീർണ്ണമായ ആകൃതികളും ഒന്നിലധികം ഭ്രമണ അക്ഷങ്ങളുമുള്ള ദൃഢമായ വസ്തുക്കൾക്ക്, ഇത് ഒരു ടെൻസർ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
9. രണ്ട് കണികകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഓരോന്നിന്റെയും പിണ്ഡം $m$, ദൂരത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു r_1​ ഒപ്പം r₂​ ഭ്രമണ അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന്, ജഡത്വത്തിന്റെ സംയോജിത നിമിഷം എന്താണ്?
   • ഉത്തരം: വ്യത്യസ്ത കണികകൾക്ക് ജഡത്വ മൊമെന്റ് സങ്കലനമാണ്. അങ്ങനെ, സംയോജിത ജഡത്വ മൊമെന്റ് I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. ജഡത്വ മൊമെന്റ് കോണീയ ആവേഗത്തിന്റെ സംരക്ഷണവുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?

    • ഉത്തരം: കോണീയ ആക്കം $L$ ജഡത്വ നിമിഷത്തിന്റെ ഫലമാണ് $I$ കോണീയ പ്രവേഗവും $\omega$, സമവാക്യത്താൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു $L=I\times \omega$. ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ ബാഹ്യ ടോർക്കുകൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, കോണീയ ആക്കം സ്ഥിരമായി തുടരും. ഇതിനർത്ഥം ജഡത്വ നിമിഷം മാറുകയാണെങ്കിൽ (ഒരു ഫിഗർ സ്കേറ്റർ തന്റെ കൈകളിൽ വലിക്കുന്നത് പോലെ), ഉൽപ്പന്നം സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തുന്നതിന് കോണീയ പ്രവേഗം ക്രമീകരിക്കണം എന്നാണ്.