യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഡോട്ട് ഗുണന വസ്തു
A , B എന്നീ വെക്റ്ററുകളുടെ (അറിയപ്പെടുന്ന വെക്റ്ററുകൾ) x, y, z എന്നീ ഘടകങ്ങൾ അറിയാമെങ്കിൽ നമുക്ക് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം നേരിട്ട് കണക്കാക്കാം .
ഈ രീതിയിൽ ഒരു ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് നടത്താൻ, നമ്മൾ ആദ്യം യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് നടത്തുന്നു, അതിനുശേഷം നമ്മൾ വെക്റ്ററുകൾ A , B എന്നിവ അവയുടെ ഘടകങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ഉൽപ്പന്നത്തെ വിഘടിപ്പിക്കുകയും യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ പ്രോഡക്റ്റ് ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
യൂണിറ്റ് വെക്‌ടറുകൾ i , j , k എന്നിവ പരസ്പരം ലംബമായിരിക്കുന്നതിനാൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എളുപ്പമാകുന്നു. മുകളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സ്കെയിലർ ഗുണന സമവാക്യം ( AB = AB cos theta ) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
ഇനി നമ്മൾ വെക്‌ടറുകൾ A, B എന്നിവയെ അവയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ വിഘടിപ്പിക്കുകയും, യൂണിറ്റ് വെക്‌ടറുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
കരീന i . i = j . j = k . k = 1 ഉം i . j = i . k = j . k = 0, അപ്പോൾ:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
എ . ബി = എ x ബി x (1) + 0 + 0 +
0 + എ വൈ ബി വൈ (1) + 0 +
0 + 0 + എ z ബി z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
ഈ കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അല്ലെങ്കിൽ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം അവയുടെ സമാന ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം.
ഉദാഹരണ ചോദ്യം 1:
വലിയ വെക്റ്റർ A ദാൻ B താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ യഥാക്രമം 5 ഉം 4 ഉം ആണ്. രൂപപ്പെടുന്ന കോൺ 90 ആണ്.o. എണ്ണൂ. ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും.
ചർച്ച
A, B എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്‌ട് കണക്കാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, രണ്ടാമത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ ഘടകങ്ങൾ നമ്മൾ ആദ്യം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
എ z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
ബി z = 0
വെക്റ്റർ A യുടെ x-അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, വെക്റ്റർ B യുടെ വെക്റ്റർ ഘടകങ്ങൾ y-അക്ഷത്തിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. A , B എന്നീ വെക്റ്ററുകൾ xy തലത്തിലായതിനാൽ z ഘടകം പൂജ്യമാണ്.
ഇനി നമുക്ക് ഘടക വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ A യും B യും തമ്മിലുള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം :
എ. ബി = എx Bx + AyBy + AzBz
എ. ബി = (5) (0) + (0) (4) + 0
എ. ബി = 0 + 0 + 0
എ. ബി = 0
ആദ്യത്തെ രീതിയുമായി ഇതിനെ താരതമ്യം ചെയ്യാം.
AB = AB കോസ് തീറ്റ
എബി = (4)(5) കോസ് 90
എബി = (4) (5) (0)
എബി = 0
ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്.
ഉദാഹരണ ചോദ്യം 2:
വലിയ വെക്റ്റർ A ദാൻ B താഴെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ യഥാക്രമം 5 ഉം 4 ഉം ആണ്. കണക്കാക്കുക ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും, രൂപപ്പെടുന്ന കോൺ 30 ആണെങ്കിൽo
ചർച്ച
A, B എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്‌ട് കണക്കാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, രണ്ടാമത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ ഘടകങ്ങൾ നമ്മൾ ആദ്യം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.
A , B എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ xy തലത്തിലായതിനാൽ z ഘടകം പൂജ്യമാണ് .
ഇനി നമുക്ക് ഘടക വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ A യും B യും തമ്മിലുള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം :
ആദ്യ രീതിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക.
