Ohatra amin'ny fanontaniana miresaka momba ny fampiharana ny fetran'ny asa
Ny fetran'ny asa dia foto-kevitra fototra amin'ny kajy, izay matetika ampiasaina hamaritana ny fihetsiky ny asa rehefa manakaiky teboka iray manokana. Amin'ny matematika, indrindra ny kajy, ny fahatakarana ny fetran'ny asa dia tena ilaina amin'ny fametrahana ny fototra ho an'ny foto-kevitra fanampiny toy ny derivatives sy integrals. Ity lahatsoratra ity dia handrakotra ohatra amin'ny olana ary hiresaka momba ny fampiharana ny fetran'ny asa mba hanomezana fahatakarana lalindalina kokoa momba ity lohahevitra ity.
Fampidirana ny Fetra amin'ny Asa
Ny fetran'ny asa iray dia mamaritra ny sanda anakaiky ny asa rehefa manakaiky sanda iray ny fiovaovana. Misy karazana fetra roa izay matetika resahina: ny fetra amin'ny lafiny iray (fetra havia sy fetra amin'ny lafiny havanana) ary ny fetra amin'ny lafiny roa. Ny fanamarihana ankapobeny ho an'ny fetran'ny asa iray \( f(x) \) rehefa manakaiky ny \( x \) \( a \) dia:
\[
lim_{x \to a} f(x)
\]
Ohatra Fanontaniana 1: Fetra fototra
Fanontaniana:
Fantaro ny sandan'ny \(\lim_{x \to 2} (3x + 1)\).
Dinika:
Ity dia ohatra iray amin'ny fetra fototra izay ny asa \( f(x) = 3x + 1 \) dia asa linear izay mitohy manerana ny sehatra misy azy. Avy eo dia afaka manolo mivantana ny sandan'ny \( x = 2 \) ao amin'ilay asa isika.
\[
√ x hatramin'ny 2 (3x + 1) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7
\]
Koa, \(\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7\).
Ohatra Fanontaniana 2: Fetra amin'ny Fizarana amin'ny Aotra
Fanontaniana:
Fantaro ny sandan'ny \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3}\).
Dinika:
Raha solointsika mivantana ao amin'ilay asa ny \( x = 3 \) dia hahazo endrika tsy voafaritra isika \(\frac{0}{0}\). Noho izany, tsy maintsy tsotsorina aloha ilay asa.
Mariho fa ny mpanisa \( x^2 – 9 \) dia endrika efamira izay azo isaina ho isan'ny singa:
\[
x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
\]
Noho izany, ny asa voalohany dia azo soratana indray toy izao:
\[
x^2 – 9}{x – 3} = (x – 3)(x + 3)}{x – 3}
\]
Avy eto, azontsika tsotsorina amin'ny fanafoanana ny \( x – 3 \) ao amin'ny mpanisa sy ny mpizara, raha toa ka \( x \neq 3 \):
\[
\frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3
\]
Afaka manao kajy mivantana ny fetra isika izao amin'ny fanoloana ny \( x = 3 \):
\[
√ x hatramin'ny 3 (x + 3) = 3 + 3 = 6
\]
Koa, \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6\).
Ohatra 3: Fetra misy asa ampahany
Fanontaniana:
Tadiavo ny sandan'ny \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1}\).
Dinika:
Raha solointsika mivantana ao amin'ny asa ny \( x = 1 \) dia hahazo endrika tsy voafaritra isika \(\frac{0}{0}\). Mba hamahana izany dia mila manatsotra ny asa isika. Ny fomba iray dia ny fanamorana ny mpanisa.
Ampitombointsika amin'ny konjugat-n'ny mpanisa ny mpanisa sy ny mpizara:
\[
\frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2}
\]
Dia mahazo isika:
\[
(x + 3 – 2)(x + 3 + 2)}{(x – 1)(x + 3 + 2)} = (x + 3) – 4}{(x – 1)(x + 3 + 2)}
\]
Hatsarao ny kajy:
\[
x + 3 – 4 = x – 1
\]
Amin'izay mba:
\[
\frac{x – 1}{(x – 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}
\]
Afaka manao kajy ny fetra isika izao amin'ny alalan'ny fanoloana \( x = 1 \):
\[
lim_{x 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{1 + 3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
\]
Koa, \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x – 1} = \frac{1}{4}\).
Ohatra Fanontaniana 4: Fetra amin'ny Trigonometria
Fanontaniana:
Fantaro ny sandan'ny \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\).
Dinika:
Fantatsika fa ho an'ny fetra fototra amin'ny trigonometria, dia misy ireto fetra fantatra tsara ireto:
\[
lim_{x hatramin'ny 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
\]
Ho an'ity olana ity, mila ampifandraisintsika amin'io endrika fototra io izany. Mariho fa ny \( 3x \) no tohan-kevitry ny sine. Afaka maneho ny fetra isika amin'ny alàlan'ny fanovana azy toy izao manaraka izao:
\[
lim_{x hatramin'ny 0} \frac{\sin(3x)}{x} = lim_{x hatramin'ny 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3
\]
Satria \( \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 \) miaraka amin'ny \( u = 3x \), dia:
\[
lim_{x hatra'ny 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1
\]
Koa:
\[
lim_{x hatramin'ny 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 1 \cdot 3 = 3
\]
Koa, \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\).
Famaranana
Ity lahatsoratra ity dia niresaka momba ny ohatra olana maromaro ary niresaka momba ny fampiharana ny fetran'ny asa amin'ny kajy. Amin'ny ohatra olana tsirairay, ny fifanakalozan-kevitra dia manomboka amin'ny famantarana ny endrika azo rehefa manolo ny soatoavina ary avy eo mikaroka fomba hanatsorana na hanamarinana ny asa. Ny fahatakarana ny fetran'ny asa sy ny fomba hamahana azy ireo dia tena ilaina amin'ny fifehezana foto-kevitra matematika mandroso, toy ny derivatives sy integrals. Amin'ny fampiharana tsy tapaka, ny fahatakaranao ny fetran'ny asa dia hihamafy sy hihalalina kokoa.
