Dalelių inercijos momentas – problemos ir sprendimai

1. Du rutuliai, sujungti strypu, kaip parodyta paveikslėlyje apačioje. Nepaisykite strypo masės . Rutulio P masė yra 600 gramų, o rutulio Q masė yra 400 gramų. Koks yra sistemos inercijos momentas ašies AB atžvilgiu?

Žinomas:

Sukimosi ašis yra AB. Dalelių inercijos momentas – problemos ir sprendimai 1

m _p = 600 gramų = 0.6 kg, m _q = 400 gramų = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Ieškoma: sistemos inercijos momento

sprendimas:

I = m/ _pr / _rp² + m/ ^q^/_r / _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. 2 kg masės strypo AB, pasukto apie tašką A, inercijos momentas yra 8 kg m² ^. Jei jis sukamas apie tašką O (AO = OB), koks yra strypo inercijos momentas?

Žinomas: Dalelių inercijos momentas – problemos ir sprendimai 2

Strypo AB masė (m) = 2 kg

Jei sukama apie tašką A taip, kad sukimosi spindulys (r) = atkarpos AB ilgis = r, tai inercijos momentas (I) = 8 kg m ²

Ieškoma: Jei sukimosi spindulys apie tašką O būtų taip, kad AO ilgis būtų lygus AO ilgiui ir OB ilgiui, tai koks būtų strypo inercijos momentas?

sprendimas:

Aš = Ponas ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^m²^/ 2

r² = ⁴^m²

r = 2 metrai

Jei sukama apie tašką O, taigi ½ r = 1 metras, tai inercijos momentas:

I = mr² ⁼ (2 kg )(1 m ) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Du rutuliai, sujungti strypu, kaip parodyta paveikslėlyje apačioje. Nepaisykite strypo masės. Koks yra sistemos inercijos momentas?

Žinomas:

Rutulio A masė (m_A) = 200 gramų = 0.2 kg Dalelių inercijos momentas – problemos ir sprendimai 3

Rutulio B masė (m² _B ) = 400 gramų = 0.4 kg

Atstumas tarp rutulio A ir sukimosi ašies (r _A ) = 0

Atstumas tarp rutulio B ir sukimosi ašies (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Ieškoma: sistemos inercijos momento

sprendimas:

Rutulio A inercijos momentas:

IA ₌ (mA ₎ (rA2 ⁾₌ (0.2)(0) ² = 0

Rutulio B inercijos momentas:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Sistemos inercijos momentas:

I = IA ₊ IB ₌ 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Keturios skirtingos masės dalelės, parodytos paveikslėlyje apačioje. Nustatykite sistemos inercijos momentą horizontalios linijos P atžvilgiu.

Sprendimas

Sukimosi ašis yra horizontali linija P.

Žinomas: Dalelių inercijos momentas – problemos ir sprendimai 4

Dalelės A masė (m _A ) = m

Dalelės B masė (m _B ) = 2m

Dalelės C masė (m _C ) = 3m

Dalelių pralaidumas D (m _D ) = 4 m

Atstumas tarp dalelės A ir sukimosi ašies (r _A ) = b

Atstumas tarp dalelės B ir sukimosi ašies (r _B ) = b

Atstumas tarp dalelės C ir sukimosi ašies (r _C ) = 2b

Atstumas tarp dalelės D ir sukimosi ašies (rD ₎ = 2b

Ieškoma: sistemos inercijos momento horizontalios linijos P atžvilgiu.

sprendimas:

_I = _{mA_r_A_2} + mB_r_B_2 + _{mC_r_C_2} + _{mD_r_D_2}

I = (m) (b) ² + (2 m) (b) ² + (3 m) (2b) ² + (4 m) (2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3 m) (4b ² ) + (4 m) (4b ² )

I = ² mb + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Keturios dalelės, sujungtos lazdele. Nepaisykite lazdelės masės. Apskaičiuokite dalelių m1 _ir m2 _inercijos momentą sukimosi ašies atžvilgiu , kaip parodyta paveikslėlyje žemiau.

Žinomas

Dalelės 1 masė (m₁) = 1/4 kg Dalelių inercijos momentas – problemos ir sprendimai 5

Dalelės 2 masė (m2 ₎ = 1/2 kg

Dalelės 3 masė (m3 ₎ = 1/4 kg

Dalelės 4 masė (m4 ₎ = 1/4 kg

Atstumas tarp dalelės 1 ir sukimosi ašies (r1 ₎ = 0

Atstumas tarp dalelės 2 ir sukimosi ašies (r2 ₎ = 0

Atstumas tarp dalelės 3 ir sukimosi ašies (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Atstumas tarp dalelės 4 ir sukimosi ašies (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Ieškoma: inercijos momento

sprendimas:

I = m1 _/ r1 _/² + m2 _/ r2/ ²₊ m3/ _r3 / ²₊ m4 _/ r4 ^/₂

Aš = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

Aš = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Aš = 1/400 + 1/400

Aš = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

Koks yra dalelės inercijos momentas?
- atsakymasVienai masės dalelei $m$ per atstumą $r$ nuo sukimosi ašies, jos inercijos momentas $I$ yra $I = m \times r^{2}$ .
Kodėl inercijos momentas dažnai vadinamas masės „sukimosi analogu“?
- atsakymasKaip masė yra objekto pasipriešinimo jo slenkamojo judėjimo pokyčiams matas (dėl antrojo Niutono dėsnio), taip ir inercijos momentas yra objekto pasipriešinimo jo sukamojo judėjimo pokyčiams matas.
Kaip dalelės atstumo nuo sukimosi ašies keitimas veikia jos inercijos momentą?
- atsakymasInercijos momentas yra proporcingas atstumo nuo sukimosi ašies kvadratui. Padvigubinus atstumą, inercijos momentas padidės keturis kartus.
Kodėl atstumo kvadratas (r²) naudojamas inercijos momento formulėje, o ne tik atstumo?
- atsakymasAtstumo kvadratas naudojamas dėl to, kaip veikia kinetinė energija sukimosi metu. Sukamojo judesio metu kiekviena objekto dalelė prisideda prie sukimosi kinetinės energijos pagal savo masę ir atstumą nuo sukimosi ašies kvadratu.
Kaip pasikeičia dalelės inercijos momentas, jei jos masė padidėja tris kartus, o atstumas nuo ašies išlieka pastovus?
- atsakymasJei masė patrigubėja, o atstumas išlieka pastovus, inercijos momentas taip pat patrigubėja, nes jis yra tiesiogiai proporcingas masei.
Ar dalelės inercijos momentas gali būti lygus nuliui? Jei taip, kokiomis sąlygomis?
- atsakymasTaip, dalelės inercijos momentas bus lygus nuliui, jei ji yra tiesiai sukimosi ašyje, todėl jos atstumas $r$ nuo ašies, lygios nuliui.
Kodėl skirtingi objektai, turintys tą pačią masę ir dydį, sukasi apie skirtingas ašis ir turi skirtingus inercijos momentus?
- atsakymasMasės pasiskirstymas apie sukimosi ašį lemia inercijos momentą. Net jei du objektai turi tą pačią masę ir dydį, jų masės pasiskirstymas sukimosi ašies atžvilgiu gali skirtis, todėl susidaro skirtingi inercijos momentai.
Ar inercijos momentas yra skaliarinis, ar vektorinis dydis?
- atsakymasInercijos momentas yra skaliarinis dydis. Tačiau sudėtingų formų standžiųjų kūnų, turinčių kelias sukimosi ašis, atveju jį vaizduoja tenzorius.
Jei dvi dalelės, kurių kiekviena turi masę $m$ , yra išdėstyti atstumais $r_{1}$ bei $r_{2}$ Nuo sukimosi ašies, koks yra bendras inercijos momentas?
- atsakymasAtskirų dalelių inercijos momentas yra adityvinis. Taigi, bendras inercijos momentas $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Kaip inercijos momentas yra susijęs su kampinio momento išsaugojimo dėsniu?
- atsakymasKampinis momentas $L$ yra inercijos momento sandauga $I$ ir kampinis greitis $ω$ , pavaizduota lygtimi $L = I \times ω$ Jei sistemai neveikia jokie išoriniai sukimo momentai, kampinis momentas išliks pastovus. Tai reiškia, kad pasikeitus inercijos momentui (kaip dailiojo čiuožėjo traukiamos rankos), kampinis greitis turi pasikeisti, kad sandauga išliktų pastovi.