Vektorių papildymas

Straipsnis apie vektorių sudėtį

1. Vektoriniai ir skaliariniai dydžiai

Be pagrindinių ir išvestinių dydžių, fizikinius dydžius galima suskirstyti į dvi kitas rūšis: skaliarinius ir vektorinius. Tokie dydžiai kaip masė, atstumas, laikas ir tūris yra skaliariniai dydžiai – dydžiai, kurie turi tik dydį, bet neturi krypties. Tuo tarpu tokie dydžiai kaip poslinkis, greitis, pagreitis ir jėga yra vektoriniai dydžiai – dydžiai, kurie turi ir dydį, ir kryptį.

a. Skirtumas tarp s kaliaro ir vektoriaus kiekio

Jei sakote, kad kamuolio masė yra 400 gramų, šio teiginio pakanka, kad žinotumėte kamuolio masę. Jums nereikia krypties, kad sužinotumėte kamuolio masę. Tas pats pasakytina apie laiką, temperatūrą, tūrį, tankį ir kt. Yra keletas fizikinių dydžių, kurių negalima išreikšti vien tik dydžiu. Jei sakote, kad vaikas nueina net 100 metrų, šio teiginio nepakanka. Galite paklausti, kur jis judėjo? Į šiaurę, pietus, rytus ar vakarus? Taip pat, jei sakote, kad stumiate stalą 200 N jėga.

Kur vairuojate? Tokie dydžiai vadinami vektoriniais dydžiais, kuriems reikia paaiškinti dydį ir kryptį. Vektorinių dydžių pavyzdžiai yra poslinkis, pagreitis, impulsas, judesio kiekis ir kt. Juos aiškiau suprasite studijuodami su tais dydžiais susijusius dalykus.

b. Nubraižykite vektorių

Vektorius žymimas rodykle. Rodyklė visada brėžiama taip, kad būtų nukreipta vektoriaus kryptimi. Rodyklės ilgis apibūdinamas kaip vektoriaus dydis. Pavyzdžiui, paveiksle pavaizduotas jėgos (F) vektorius, kurio dydis yra 2 N, o kryptis yra į šiaurės rytus arba 45 ^{° kampu} apie x ašį.

c. Vektoriaus dydžių rašymo taisyklės

Rašant vektorių ranka, vektoriaus simbolis paprastai rašomas kursyvu didžiosiomis raidėmis, o virš jo reikia pridėti rodyklę. Spausdintose knygose vektoriaus simboliai rašomi didžiosiomis raidėmis ir paryškintu šriftu, pavyzdžiui, F. Rašant ranka, vektoriaus dydis rašomas, pavyzdžiui, |F|. Spausdintose knygose vektoriaus dydis rašomas kursyvu, pavyzdžiui , F.

2. Vektorių sudėtis – grafiniai metodai

Yra keli būdai, kaip grafiškai sudėti vektorius, įskaitant „nuo uodegos iki galo“ metodą ir lygiagretainio metodą.

a. Vektorių sudėties metodas „nuo uodegos iki galo“

Vektoriai A ir B yra žinomi. Vektorius A = 3 cm sutampa su x ašimi (rytų kryptimi). Vektorius B = 2 cm sudaro 30 ^° kampą su x ašimi (šiaurės rytų kryptimi). Sudėkite A ir B grafiškai, naudodami „nuo uodegos iki galiuko“ metodą. a) R = A + B b) R = A – B

Gaunamojo vektoriaus (R) dydis matuojamas liniuote. Gaunamojo vektoriaus kryptis matuojama matlankiu.

Žinomi vektoriai A, B ir C. Vektorius A = 3 cm sutampa su x ašimi (rytų kryptimi). Vektorius B = 2 cm sudaro 30 ^{° kampą su x ašimi (šiaurės rytų kryptimi). Vektorius C = 1 cm sudaro 60 °} kampą su x ašimi (šiaurės rytų kryptimi). Grafiškai sudėkite A, B ir C, naudodami „nuo uodegos iki galiuko“ metodą.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

Gautas vektorius (R) matuojamas liniuote. Gauto vektoriaus kryptis matuojama matlankiu.

b. Lygiagretainio metodas

Žinomi vektoriai A, B ir C. Vektorius A = 3 cm sutampa su x ašimi (rytų kryptimi). Vektorius B = 2 cm sudaro 30 ^{° kampą su x ašimi (šiaurės rytų kryptimi). Vektorius C = 1 cm sudaro 60 °} kampą su x ašimi (šiaurės rytų kryptimi). Grafiškai sudėkite A, B ir C, naudodami lygiagretainį.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Gautas vektorius (R) matuojamas liniuote. Gauto vektoriaus kryptis matuojama matlankiu.

3. Vektorių sudėtis – aanalitinis metodas

Vienas iš būdų yra nustatyti gauto vektoriaus dydį ir kryptį grafiniu metodu. Rezultatų tikslumas priklauso nuo jūsų tikslumo ir taiklumo braižant ir skaitant skalę. Gauto vektoriaus dydis ir kryptis tiksliau nustatomi atliekant matematinius skaičiavimus.

a. Dviejų vektorių sumos apskaičiavimas naudojant kosinuso taisyklę

Gauto vektoriaus dydžio nustatymo formulė:

Gauto vektoriaus krypties nustatymo formulė:

C = rezultuojantis vektorius

A = vektorius 1

B = vektorius 2

cos ∠(A, B) = kampas, kurį sudaro vektoriai A ir B

1 pavyzdžio uždavinys:

F1 ₌ 2N sudaro 30° kampą apie x ašį, F2 _{= 3N sudaro 60} ^° kampą apie x ašį, θ = 30 ^°.

2 pavyzdžio uždavinys:

F ₁ = 2 N sutampa su x ašimi, F _{2 = 3 N sudaro 90} ^° kampą apie x ašį, θ = 90 ^°.

b. Vektorių sudėjimas pagal komponentus

Peržiūrėkite vektorių F, kuris sudaro tam tikrą kampą aplink x ašį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Fx _ir Fy _yra vektoriaus F dedamosios vektoriai.

Komponento vektoriaus dydis nustatomas pagal formulę:

F _x = F cos θ

Fy ₌ Fsinθ

Peržiūrėkite du vektorius F₁ ir F₂ kuris sudaro tam tikrą kampą aplink x ašį, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. F_1x ir F_1y yra vektoriaus F komponentai₁, todėl F_2x ir F_2y yra vektoriaus F komponentai₂.

Komponentinis vektorius nustatomas pagal formulę:

F_1x =F₁ cosθ

F1y = _{F1 sin} θ

F²⁻x = _{F²⁻cosθ​}​

F1y = _{F1 sin} θ

Sudedamųjų vektorių pridėjimas:

Fx = _F1x + _F2x​

Fy = _F1y + _F2y​

Gautas vektorius nustatomas pagal formulę:

Gauto vektoriaus kryptis nustatoma pagal formulę:

1 pavyzdžio uždavinys:

^{Nustatykite vektoriaus F, kurio dydis lygus 20 N, komponentes, kurios sudaro 30 o} kampą apie x ašį.

F _x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

2 pavyzdžio uždavinys:

F1 = 20 N sudaro 30 ^° kampą aplink x ašį, o F2 _{= 15} N – 180° kampą aplink x ašį. Nustatykite gauto vektoriaus dydį ir kryptį.

F1x = ( ₂₀ N)(cos 30 ^° ) = 17 N

F²x = F¹ ₌ –15 _N

F _1y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

F2y = ₀

Sudedamųjų vektorių pridėjimas:

Fx ₌ F1x _– F2x = _17N – 15N = 2N

Fy = ₁₀ N

Gautas vektorius:

F² = F² ₊ ^F² y² ₌ 2² ⁺ 10² ^{= 4} + 100 = _10⁻⁻²

F = 10.2 N

Gaunamo vektoriaus kryptis:

θ = tan −15 = 78.7 ^° apie x ašį

3 pavyzdinė problema:

F₁, F_2, ir F₃ yra 20° šiaurės platumos, 30° šiaurės platumos ir 40° šiaurės platumos. F₁ sudaro 60 kampą^o apie x ašį, F₂ sudaro 150 kampą^o apie x ašį ir F₃ sudaro 315 kampą^o apie x ašį. Nustatykite gauto vektoriaus dydį ir kryptį.

F _1x = (20 N)(cos 60 ⁾ = 10 N

F _1y = (20 N) (sin 60 ^o ) = 17 N

F²x = ( ₃₀ N)(cos 30 ^° ) = -26 N

F _2y = (30 N) (sin 30 ^o ) = 15 N

F3x = ( ₄₀ N)(cos 45 ^° ) = 28 N

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

Pridedant komponentų vektorių:

Fx ₌ F1x _– F2x + F3x ₌ 10 N – 26 N + 28 N = 12 _N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Gaunamasis vektorius:

F² = F² ₊ Fy² ⁼ 12² ⁺ 4² ₌ ¹⁴⁴ + 16 ^{= 160}

F = 13 N

Gaunamo vektoriaus kryptis:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^° apie x ašį