1. Trägheetsmoment vum Partikel
Kuckt Iech e rotéierend Partikel un. Dem Partikel mat der Mass m gëtt d'Kraaft F zougeschriwwen, sou datt et ëm d'Achs O rotéiert. D'Partikel ass r vun der Rotatiounsachs ewech. Als éischt ass d'Partikel a Rou (v = 0). Nodeems se sech duerch d'Kraaft vun F beweegt hunn, beweege sech d'Partikelen mat enger bestëmmter Geschwindegkeet, sou datt d'Partikelen eng tangential Beschleunigung hunn. D'Bezéiung tëscht Kraaft (F), Mass (m) an der tangentialer Beschleunigung vun de Partikelen gëtt duerch d'Equatioun 3 ausgedréckt:
F = ma tan (Equatioun 3)
D'Partikelen rotéieren sou datt se eng Winkelbeschleunigung hunn. D'Bezéiung tëscht tangentialer Beschleunigung a Winkelbeschleunigung gëtt duerch d'Equatioun 4 ausgedréckt:
a tan = rα (Equatioun 4)
Ersetzt a an der Equatioun 3 duerch a an der Equatioun 4:
F = mr α
r F = mr² α
τ = (mr² ) α (Equatioun 5)
rF ass de Kraaftmoment an mr2 ass den Trägheetsmoment vum Partikel. Equatioun 5 beschreift d'Bezéiung tëscht dem Kraaftmoment, dem Trägheetsmoment an der Winkelbeschleunigung vu rotéierende Partikelen. Equatioun 5 ass d'Equatioun vum zweete Gesetz vum Newton fir rotéierend Partikelen.
Den Trägheetsmoment vun engem Partikel ass d'Produkt vun der Mass vum Partikel (m) an dem Quadrat vum Ofstand tëscht de Partikelen zur Rotatiounsachs (r² ).
I = mr² ( Equatioun 6)
I = Trägheetsmoment vum Partikel, m = Mass vum Partikel, r = Distanz tëscht dem Partikel an der Rotatiounsachs. Gleichung 6 gëtt benotzt fir den Trägheetsmoment vun engem Partikel ze bestëmmen.
3.2 Beispillproblemer vum Trägheetsmoment vum Partikel
Beispillproblem 1.
E Partikel mat enger Mass vun 2 kg gouf un engem Seel vun 0.5 Meter Längt gebonnen an dann gedréit. Wat ass den Trägheetsmoment vun de Partikelen bei der Rotatioun?
Léisung:
Ech = Här 2
Ech = (2 kg) (0.5 m) ²
Ech = 0.5 kg m²
Beispillproblem 2.
Zwee Partikelen, déi all eng Mass vun 2 kg an 4 kg hunn, sinn duerch en liichte Drot verbonnen, woubei d'Drotlängt 2 Meter ass. Ignoréiert d'Mass vun den Droten. Bestëmmt den Trägheetsmoment vun den zwou Partikelen, wann:
a) D'Rotatiounsachs läit tëscht den zwou Partikelen
Léisung:
Ech = m¹ / r¹² + m² / r²²
Ech = (2)(12) + (4)(12)
Ech = 2 + 4
Ech = 6 kg m²
b) D'Rotatiounsachs ass an engem Ofstand vun 0.5 Meter vum Partikel mat enger Mass vun 2 kg
Ech = m¹ / r¹² + m² / r²²
Ech = (2)(0.5² ) + (4)( 1.5² )
Ech = (2)(0.25) + (4)(2.25)
Ech = 0.5 + 9
Ech = 9.5 kg m²
c) D'Rotatiounsachs ass an engem Ofstand vun 0.5 Meter vum Partikel mat enger Mass vu 4 kg.
Ech = m¹ / r¹² + m² / r²²
Ech = (2)(1.52) + (4)( 0,52 )
Ech = (2)(2.25) + (4)(0.25)
Ech = 4.5 + 1
Ech = 5.5 kg m²
Baséierend op de Resultater vun den uewe genannten Berechnungen, gëtt den Trägheetsmoment staark vun der Lag vun der Rotatiounsachs beaflosst. Och wann d'Form a Gréisst déiselwecht sinn, well d'Lag vun der Rotatiounsachs anescht ass, ass den Trägheetsmoment och anescht.
Partikelen, déi no bei der Rotatiounsachs leien, hunn e méi klengen Trägheetsmoment, während Partikelen, déi wäit vun der Rotatiounsachs ewech sinn, e méi groussen Trägheetsmoment hunn. Wa mir dovun ausginn, datt déi zwee Partikelen uewen steif Objeten sinn, dann ass all Partikel no bei der Rotatiounsachs.
huet e méi klenge Trägheetsmoment wéi den Trägheetsmoment vum Partikel, dat méi wäit vun der Rotatiounsachs ewech ass.
3.3 Trägheetsmoment vun engem homogenen steife Kierper
Steif Objete bestinn aus ville Partikelen. Den Trägheetsmoment vun engem steife Kierper ass déi total Zuel vun den Trägheetsmomenter vun all Partikel, deen den Objet opbaut.
Ech = Σ mr²
Ech = m1 r12 +m2 r22 +m3 r32 + ….. + mn rn2
Fir den Trägheetsmoment vun engem steife Objet ze bestëmmen, musse mir den Objet beim Rotatiounsprozess iwwerpréiwen, well d'Lag vun der Rotatiounsachs den Trägheetsmoment vum Objet beaflosst. Den Trägheetsmoment (I) vun all Partikel hänkt och vun der Mass (m) vum Partikel an dem Quadrat vun der Distanz (r² ) vum Partikel vun der Rotatiounsachs of. D'Mass vun all de Partikelen, déi den Objet opbauen, ass d'Mass vum Objet.
De Problem ass, datt d'Distanz vun all Partikel vun der Rotatiounsachs variéiert.
Iwwerpréift d'Ofsenkung an der Formel vum Trägheetsmoment vun engem dënnen Rank mat de Fanger R an der Mass M.
Wann d'Rotatiounsachs am Zentrum vum Rank läit, sinn all Partikelen vum dënne Rank vun der Rotatiounsachs ewech. Den Trägheetsmoment vun engem dënne Rank ass gläich dem Trägheetsmoment vun alle Partikelen:
Ech = Σ mr2
Ech = m1 r12 +m2 r22 +m3 r32 + ….. + mn rn2
D'Mass vun alle Partikelen = Mass vum dënne Rank (M)
I = M (r1 2 + r2 2 + r3 2 + … .. + rn2 )
All Partikel vum dënne Rank ass r vun der Rotatiounsachs ewech, sou datt r1 = r2 = r3 = rn = R
D'Gleichung vum Trägheetsmoment vum dënne Rank:
Ech = MR2
I = Trägheetsmoment vum dënnen Rank, M = Mass vum dënnen Rank, R = Radius vum dënnen Rank.
Wat geschitt wann d'Rotatiounsachs net am Zentrum vum Rank läit? Wann d'Rotatiounsachs net am Zentrum vum Rank läit, kann d'Formel fir den Trägheetsmoment vum dënne Rank net mat der uewe genannter Method ofgeleet ginn,
well d'Distanz vun all Partikel zur Rotatiounsachs ënnerschiddlech ass. D'Ofleede vun der Formel vum Trägheetsmoment fir e Problem wéi dëst gëtt an dësem Thema net diskutéiert.
D'Formel vum Trägheetsmoment fir verschidde steif Objeten
3.4 Beispillproblem vum Trägheetsmoment vun engem homogenen steife Kierper
Beispillproblem 1:
De Staangenzylinder AB huet eng Mass vun 3 kg wann e sech duerch B dréit,
Den Trägheetsmoment ass 27 kg m² . Wat ass den Trägheetsmoment, wann
duerch C gedréit?
Léisung:
Léisung:
D'Formel vum Trägheetsmoment fir déi homogen massiv Staang (d'Rotatiounsachs ass am Zentrum vun der Staang):
Ech = 1/12 ML²
27 = (1/12) ML2
(27)(12) = ML2
324 = ML2
D'Formel vum Trägheetsmoment vun enger homogener massiver Staang (d'Rotatiounsachs um Rand vun der Staang):
Ech = 1/3 ML²
Ech = 1/3 (324)
Ech = 108 kg m²
