Wénkelmomentum

Wénkelmomentum

D'Quantitéit vun der Rotatiounsbewegung, déi identesch mat der Mass (m) an der linearer Bewegung ass, ass den Trägheetsmoment (I). D'Quantitéit vun der Rotatiounsbewegung, déi identesch mat der Geschwindegkeet (v) an der linearer Bewegung ass, ass d'Wénkelgeschwindegkeet (ω). Dofir huet dat rotéierend Objet en Dréimoment, deen mat der Equatioun berechent ka ginn:

L = I ω

L = Dréimoment (kg m² ^/ s), I = Trägheetsmoment (kg m² ⁾ , ω = Dréigeschwindegkeet (rad/s)

Beispillproblemer vum Dréimoment

Beispillproblem 1.

E Partikel mat enger Mass vun 0.5 Gramm beweegt sech an engem Krees mat enger konstanter Winkelgeschwindegkeet vun 2 rad/s. Bestëmmt den Dréimoment vum Partikel, wann de Radius vum Wee vum Partikel 10 cm ass.

Léisung:

Den Trägheetsmoment vum Partikel:

Ech = mr² ⁼ (0.5 x ^{10⁻³ kg} )(1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻¹ kg ^m²

D'Wénkelgeschwindegkeet vum Partikel:

ω = 2 rad/s

Den Dréimoment vum Partikel:

L = (0.5 x ^10⁻⁶ kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁶ kg m² ^/ s

D'Gesetz vun der Erhaalung vum Dréimoment

D'Gesetz vun der Erhaalung vum Dréiimpuls seet, datt wann de resultéierende Kraaftmoment op e steife Kierper beim Rotéieren Null ass, dann ass de Dréiimpuls vum steife Kierper beim Rotéieren ëmmer konstant. D'Gesetz vun der Erhaalung vum Dréiimpuls kann mathematesch ofgeleet ginn andeems d'Equatioun vum zweete Gesetz vum Newton vum Dréiimpuls geännert gëtt. Hei ass d'Equatioun vum zweete Gesetz vum Newton iwwer de Dréiimpuls:

Wann de resultéierende Kraaftmoment Null ass, dann ännert sech d'Equatioun uewen op:

I _t = den definitiven Trägheetsmoment, I _o = den ufängleche Trägheetsmoment, ω _t = déi definitiv Wénkelgeschwindegkeet, ω _o = déi initial Wénkelgeschwindegkeet, L _t = den definitiven Wénkelmoment, L _o = den ufängleche Wénkelmoment.

Beispillproblemer vum Gesetz vun der Erhaalung vum Dréimoment

Beispillproblem 1.

Eng homogen, massiv Zylinderscheif rotéiert ufanks ëm hir Achs mat enger Geschwindegkeet vu 4 Rad/s. D'Mass an de Radius vun der Scheif sinn 1 kg an 0.5 m. Wann iwwer der Plack e Rank placéiert gëtt, deen eng Mass an e Radius vun 0.2 kg an 0.1 m huet, an de Mëttelpunkt vum Rank,

just iwwer dem Zentrum vun der Scheif, dann dréine sech d'Scheif an de Rank zesummen mat der Wénkelgeschwindegkeet vun…..

Léisung:

Trägheetsmoment vun engem massiven Zylinder: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m² ⁼ (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Trägheetsmoment vum Rank: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Ufanksdréimoment (L1 ₎ = Schlussdréimoment ( _L2 )

Ech ₁ ω ₁ = Ech ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Konzeptuell Froen an Äntwerten

1. Wat ass e Wénkelmoment?
   Äntwert: De Wénkelmoment ass e Mooss fir d'Rotatiounsquantitéit vun engem Objet, wann een seng Mass a Form berécksiichtegt. Et ass den rotéierende Analogon vum linearen Impuls.
2. Wéi gëtt d'Dréimoment mathematesch bestëmmt?
   Äntwert: Dréimoment (L) gëtt definéiert als $L=r\times p$, wou $r$ ass de Positiounsvektor vun der Rotatiounsachs bis zum Uwendungspunkt, an $p$ ass den linearen Impuls.
3. Ass den Dréimoment eng Skalar- oder Vektorgréisst?
   Äntwert: D'Wénkelmoment ass eng Vektorgréisst.
4. Wat ass d'Eenheet vum Dréimoment am SI-System?
   Äntwert: D'Eenheet vum Dréimoment am SI-System ass Kilogramm-Quadratmeter pro Sekonn (kg·m²/ s).
5. Wéi gëtt den Dréimomentum erhalen?
   Äntwert: An engem zouene System ouni extern Dréimomenter bleift den gesamte Wénkelmoment konstant.
6. Wat ass de Prinzip vun der Konservatioun vum Wénkelmoment?
   Äntwert: De Prinzip seet, datt den gesamten Dréimoment vun engem zouene System konstant bleift, ausser et gëtt vun engem externen Dréimoment beaflosst.
7. Wéi hänkt d'Rotatioun vun engem Äisleefer mam Dréimoment zesummen?
   Äntwert: Wann en Äisleefer seng Äerm a Been während enger Dréiung no bei säi Kierper zitt, reduzéiert hien säin Trägheetsmoment, wouduerch hien sech méi séier dréit. Dëst weist d'Erhale vum Dréiimpuls.
8. Wat ass d'Bezéiung tëscht Dréimoment a Wénkelmoment?
   Äntwert: Dréimoment ($\tau$) ass d'Ännerungsquote vum Dréimoment. Mathematesch gesinn, τ=dl/sek​.
9. Ass et méiglech, datt en Objet e Wénkelmoment ouni Wénkelgeschwindegkeet huet?
   Äntwert: Nee, wann en Objet e Wénkelmoment huet, huet en och eng Wénkelgeschwindegkeet. D'Gréisst an d'Richtung vum Wénkelmoment hänken souwuel vum Trägheetsmoment wéi och vun der Wénkelgeschwindegkeet of.
10. Wéi beaflosst den Trägheetsmoment de Wénkelmoment?
    Äntwert: Den Dréimoment (L) ass d'Produkt vum Trägheetsmoment (I) an der Dréigeschwindegkeet (ω). $L=I\omega$, eng Erhéijung vum Trägheetsmoment bei enger bestëmmter Winkelgeschwindegkeet wäert den Dréimoment erhéijen.
11. Wat ass den Ënnerscheed tëscht Spin an Orbitaldrehmomentum an der Quantemechanik?
    Äntwert: De Spin-Dréimoment ass eng intrinsesch Eegeschaft vu Partikelen, wéi Elektronen, an entsteet net duerch Bewegung am Raum. De Orbital-Dréimoment, op der anerer Säit, entsteet duerch d'Bewegung vun engem Partikel ëm en zentrale Punkt.
12. Wéi eng Roll spillt den Dréimoment bei der Bildung vu Planéitesystemer?
    Äntwert: Wann eng Molekularwollek zesummebrécht fir Stären a Planéiten ze bilden, bewierkt d'Erhalen vum Dréiimpuls, datt d'Material zu enger Scheif ronderëm den nei gebuerene Stär flaach gëtt, aus där Planéite kënne bilden.
13. Wéi hält e Gyroskop seng Orientéierung am Weltraum?
    Äntwert: E rotéierend Gyroskop huet e Wénkelmoment. Wann en externen Dréimoment probéiert seng Orientéierung z'änneren, ännert de Gyroskop seng Rotatiounsachs an eng Richtung, déi senkrecht zum ugewandten Dréimoment steet, wéinst der Erhaalung vum Wénkelmoment.
14. Wat verursaacht eng Präzessioun an engem Spinntop?
    Äntwert: D'Präzessioun an engem Spinntop gëtt duerch den Dréimoment verursaacht, deen duerch d'Schwéierkraaft op de Massezentrum vum Spinntop wierkt, deen zu sengem Schwenkpunkt verréckelt ass. Dëst Dréimoment féiert zu enger Ännerung vun der Richtung vum Dréimoment vum Spinntop, wouduerch en präzesséiert.
15. Firwat flaache Stären un hire Polen of?
    Äntwert: Wann d'Stäre sech rotéieren, erliewen se eng Zentrifugalkraaft, déi d'Matière no baussen dréckt. Dësen Effekt ass um Equator méi staark wéi un de Polen, wat zu enger ofgeplatter oder ofgeplatter Form féiert.
16. Wéi hänkt den Dréimoment mam zweete Gesetz vum Kepler zesummen?
    Äntwert: Dem Kepler säin zweet Gesetz seet, datt e Linnesegment, deen e Planéit an d'Sonn verbënnt, gläich Flächen a gläichen Zäitintervaller ofdeckt. Dëst ass eng Konsequenz vun der Erhaalung vum Dréiimpuls.
17. Firwat lant eng Kaz ëmmer op d'Féiss wann se fällt?
    Äntwert: Kazen benotzen d'Erhale vum Dréiimpuls. Indem se hire Kierper verdréien an hir Trägheetsmomenter an der Loft änneren, kënne se sech nei ausriichten, fir op de Féiss ze landen, ouni d'Erhalegesetzer ze verletzen.
18. Wéi hänkt de magnéitesche Moment mam Dréimoment an Elektronen zesummen?
    Äntwert: De magnéitesche Moment vun engem Elektron entsteet aus sengem Spin an dem Orbitaldreiemoment. De magnéitesche Moment ass proportional zum Dreiemoment vum Elektron.
19. Wat ass de Wénkelmomentum a Bezuch op Polarkoordinaten?
    Äntwert: A polare Koordinaten, Dréimoment $L$ fir eng Punktmass kann ausgedréckt ginn als $L=mrv$, wou $m$ ass d'Mass, $r$ ass d'radial Distanz, an $v$ ass d'tangential Vitesse.
20. Wat geschitt mam Dréimoment vun engem zouene System, wann zwee Objeten zesummestoussen?
    Äntwert: An engem zouene System, wou zwee Objeten kollidéieren, ass den gesamten Dréimoment virun der Kollisioun gläich wéi den gesamten Dréimoment no der Kollisioun, virausgesat datt keng extern Dréimomenter op de System wierken.

Probleemer a Léisungen

1. Problem: Eng Punktmass m = 2 kg beweegt sech mat enger Geschwindegkeet v = 3 m/s an engem Krees mat engem Radius r = 4 m. Berechent hiren Dréimoment ëm de Mëttelpunkt vum Krees.

Léisung: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m² ^/ s

2. Problem: Eng fest Kugel mat enger Mass vun 3 kg an engem Radius vun 0.5 m rotéiert ëm hiren Duerchmiesser mat enger Wénkelgeschwindegkeet ω = 2 rad/s. Wat ass hiren Dréimoment?

Léisung: Fir eng fest Kugel ass I = 2/5 m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m2 ^/ s

3. Problem: Eng Punktmass vun 3 kg beweegt sech mat enger Geschwindegkeet vu 4 m/s an enger gerader Linn. Wat ass hiren Dréimoment ëm e Punkt, deen 5 m vun hirer Bewegungslinn ewech ass?

Léisung:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problem: Eng Scheif mat enger Mass vu 5 kg an engem Radius vun 3 m rotéiert mat enger Winkelgeschwindegkeet vun 2 rad/s. Berechent hiren Dréimoment.

Léisung: Fir eng Scheif ass I = 1/2 m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problem: Eng Staang mat enger Längt vu 4 m an enger Mass vu 2 kg rotéiert ëm een ​​Enn mat enger Winkelvitesse vun 3 rad/s. Fannt säin Dréimoment.

Léisung: Fir eng Staang ëm een ​​Enn ^, I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problem: Wéi eng Ännerung vum Dréimoment bedeit, wann e rotéierende Kierper seng Dréigeschwindegkeet verduebelt?

Léisung: D'Relatioun tëscht dem Dréiimpuls (L) an der Dréigeschwindegkeet (ω) ass $L=I\times \omega$ . Wann ω verduebelt gëtt, verduebelt sech och den Dréiimpuls.

7. Problem: Wann de Radius vun enger kreesfërmeger Bunn vun engem bewegende Partikel sech duebel sou grouss mécht, während d'Geschwindegkeet konstant bleift, ëm wéi e Faktor ännert sech dann den Dréimoment?

Léisung: Dréimoment, $L=m\times r\times v$ . Wann r sech verduebelt, verduebelt sech L och.

8. Problem: E Kand mat enger Mass vun 30 kg steet um Rand vun enger Karussel, déi a Rou ass. De Radius vun der Karussel ass 2 m. Wann d'Kand mat enger Geschwindegkeet vun 2 m/s am Verhältnes zum Buedem laanscht de Rand ufänkt ze lafen, da fannt Dir den Dréimoment vum Kand am Verhältnes zum Zentrum.

Léisung: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m² ^/ s

9. Problem: E Zylinder mat enger Mass vu 6 kg an engem Radius vun 2 m rotéiert ëm seng zentral Achs mat enger Wénkelgeschwindegkeet vu 5 rad/s. Berechent säin Dréimoment.

Léisung: Fir en Zylinder ^ass I = 1/2 m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5=120 kg.m² ^/ s

10. Problem: Wéi héich ass den neie Wénkelmoment vun engem Kierper, wann säin Trägheetsmoment halbéiert an seng Wénkelgeschwindegkeet verdreifacht gëtt?

Léisung: Wann $L=I\times \omega$ uginn ass , wann $I$ halbéiert an $\omega$ verdreifacht gëtt, ass den neien $L$ 1/2 × 3 = 1.5 × den Original.

11. Problem: E Krees mat enger Mass vun 2 kg an engem Radius vun 1 m rotéiert mat enger Winkelgeschwindegkeet vu 4 rad/s. Berechent säin Dréimoment.

Léisung: Fir e Reifen, I = m ^/ r²

$L=I\times \omega$

L=2×12 ^× 4=8 kg.m² ^/ s

12. Problem: E Ventilator huet Blieder mat enger Längt vun 0.5 m an enger Gesamtmass vun 1 kg. Wann e mat enger Wénkelgeschwindegkeet vun 10 rad/s rotéiert, bestëmmt säin Dréimoment.

Léisung: Wann een dovun ausgëtt, datt d'Ventilatorbladen wéi Staangen sinn, déi sech ëm een ​​Enn rotéieren, dann ass ^I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10=0.833 kg.m² ^/ s

13. Problem: Berechent den Dréimoment vun der Äerd ëm hir eegen Achs wéinst hirer Rotatioun. Uginn: Äerdmass ⁼ 5.972 × 10²⁴ ^kg , Radius $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁴rad\text{/s}$.

Léisung: Ënner der Viraussetzung datt d'Äerd eng fest Kugel ass, I = 2/5 m ^/ r²

$L=I\times \omega$ = 2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² × 7.27 × 10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problem: E Kand beweegt sech Richtung Zentrum vun enger rotéierender Plattform. Zouhëlt, hëlt oder bleift den Dréimoment d'selwecht?

Léisung: Den Dréimoment bleift erhalen. Wann d'Kand sech Richtung Zentrum beweegt, hëlt den Trägheetsmoment of. Fir den Dréimoment ze erhalen, klëmmt d'Dréigeschwindegkeet. Dofir bleift den Dréimoment dee selwechten.

15. Problem: Wann d'kinetesch Energie vun engem rotéierende Kierper verduebelt gëtt, ëm wéi e Faktor ännert sech dann säin Dréimoment?

Léisung: Kinetesch Energie K = 1/2 I ω ² an Dréimoment $L=I\omega$ . Wann d'kinetesch Energie verduebelt gëtt an $I$ konstant bleift, gëtt ω ² verduebelt. Dëst bedeit, datt $\omega$ ëm de Faktor √ 2 erhéicht gëtt .$Dofir\; klëmmt\; L$ och ëm de Faktor √ 2 .

16. Problem: E Vëlosrad mat engem Radius vun 0.3 m huet eng Felg mat enger Mass vun 1.5 kg. Wann et mat enger Winkelgeschwindegkeet vu 5 rad/s rotéiert, fannt Dir säin Dréimoment.

Léisung: Wann een de Rand als Réng uhëlt, ass ^I = m / r²

$L=I\times \omega$ =1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m2 ^/ s​

17. Problem: Eng Äisleeferin zitt hir Äerm no bannen beim Dréien. Wat geschitt mat hirem Dréimoment?

Léisung: Den Dréimoment vum Skater bleift erhalen. Wann si hir Äerm no bannen zitt, reduzéiert si hiren Trägheetsmoment, an doduerch dréint si sech méi séier (erhéicht Dréigeschwindegkeet) fir hiren Dréimoment ze erhalen.

18. Problem: E Schwéngrad huet en Trägheetsmoment vun 0.2 kg.m² ^{kg.m² a} rotéiert mat enger Winkelgeschwindegkeet vun 10 rad/s. Fannt säin Dréimoment$\text{.}$

Léisung:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problem: E System huet en externt Nettodréimoment vun Null, dat drop wierkt. Wat kënnt Dir iwwer säin Dréimoment soen?

Léisung: Wann den Netto-externen Dréimoment Null ass, dann bleift, laut der Erhaalung vum Dréimoment, den gesamten Dréimoment vum System konstant.

20. Problem: Eng Punktmass m = 5 kg beweegt sech mat enger Geschwindegkeet v = 3 m/s senkrecht zu der Linn, déi se mat engem Punkt P verbënnt. Wann d'Distanz vum Punkt P 4 m ass, bestëmmt hiren Dréimoment ëm de Punkt P.

Léisung:

$L=m\times r\times v$ = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s