Kräizmultiplikatiounsmaterial mat Eenheetsvektorkomponenten
Mir kënnen de Kräizprodukt direkt berechnen, wa mir d'Komponente vun de Vektore kennen. D'Prozedur ass déiselwecht wéi fir de Punktprodukt . Als éischt multiplizéiere mir d'Eenheetsvektoren i , j an k . De Vektorprodukt tëscht de selwechten Eenheetsvektoren ass Null.
i x i = j x j = k x k = 0
Mat Bezuch op déi virdru ofgeleet Vektormultiplikatiounsgläichung (A x B = AB ouni θ) an déi antikommutativ Eegeschaft vun der Vektormultiplikatioun (A x B = - B x A), dann kréie mir:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Elo ausdrécke mir d'Vektoren A a B a Bezuch op hir Komponenten, zerleeën hiert Produkt a benotzen d'Produkt vun den Eenheetsvektoren.
A x B = dir (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Well i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, also:
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
Ay B x ( -k ) + Ay B z ( i ) +
AzBx ( j ) + AzBy ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Wann C = A x B , dann sinn d'Komponente vu C wéi follegt:
Cx = Ay Bz – Az By
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
