Punktmultiplikatiounsmaterial mat Hëllef vun Eenheetsvektorkomponenten
Mir kënnen de Skalarprodukt direkt berechnen, wa mir d'x-, y- an z-Komponente vun de Vektoren A a B kennen (déi bekannt Vektoren).
Fir e Punktprodukt op dës Manéier auszeféieren, maache mir als éischt e Punktprodukt vun den Eenheetsvektoren, duerno ausdrécke mir d'Vektoren A a B an hire Komponenten, zerleeën de Produit a benotzen de Produit vun den Eenheetsvektoren.
D'Eenheetsvektoren i , j an k stinn senkrecht zueneen, wat d'Berechnungen méi einfach mécht. Mat der uewe genannter Skalarmultiplikatiounsgläichung ( AB = AB cos theta ) kréie mir:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Elo ausdrécke mir d'Vektoren A a B a Bezuch op hir Komponenten, zerleeën hiert Produkt a benotzen d'Produkt vun den Eenheetsvektoren.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Well i . i = j . j = k . k = 1 an i . j = i . k = j . k = 0, dann:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + Ay By (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Baséierend op de Resultater vun dëser Berechnung kann een dovun ausgoen, datt de Skalarprodukt oder d'Punktprodukt vun zwéi Vektoren d'Zomm vun de Produkter vun hiren ähnlechen Komponenten ass.
Beispill Fro 1:
Grousse Vektor A dan B respektiv 5 an 4 sinn, wéi op der Bild hei ënnendrënner gewisen. De geformte Wénkel ass 90oZielt et Punktprodukt béid Vektoren.
Diskussioun
Ier mir d'Punktprodukt vun de Vektoren A a B berechnen, musse mir als éischt d'Komponente vum zweete Vektor kennen.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
De Vektor A huet nëmme Vektorkomponenten op der x-Achs an de Vektor B huet nëmme Vektorkomponenten op der y-Achs. D'z-Komponent ass null, well d'Vektoren A a B an der xy-Ebene leien.
Elo berechnen mir de Punktprodukt tëscht de Vektoren A a B mat Hëllef vun der Punktproduktgläichung mat Komponentvektoren:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Loosst eis et mat der éischter Method vergläichen
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
D'Resultat ass datselwecht.
Beispill Fro 2:
Grousse Vektor A dan B sinn 5 respektiv 4, wéi op der Bild hei ënnendrënner gewisen. Berechent Punktprodukt béid Vektoren, wann de geformte Wénkel 30 asso
Diskussioun
Ier mir d'Punktprodukt vun de Vektoren A a B berechnen, musse mir als éischt d'Komponente vum zweete Vektor kennen.
D'z-Komponent ass Null, well d'Vektoren A an B an der xy-Plang leien.
Elo berechnen mir de Punktprodukt tëscht de Vektoren A a B mat Hëllef vun der Punktproduktgläichung mat Komponentvektoren:
Vergläicht mat der éischter Method.
