Lex Hookeiana et elasticitas – problemata et solutiones

Lex Hookeiana et elasticitas – problemata et solutiones

Mutatio longitudinis

1. Virga longitudinem L habet, vi F tracta. Elongatio ∆L est. Quantitas elongationis ∆L est. Quae est magnitudo vis si mutatio longitudinis 4∆L est?

Notum:

Vis 1 (F1 ₎ = F

Mutatio longitudinis 1 (∆L₁ ₎ = ∆L

Mutatio longitudinis 2 (∆L² ₎ = 4 ∆L

Quaesitum: Vis 2 (F ₂ )

solution:

Aequatio legis Hookeianae

k = F / ΔL

k = constans elasticitatis, F = vis F, ΔL = mutatio longitudinis

k₁ = _k₂​

F₁ / _∆L₁ = _F₂ / _∆L₂​

F / ΔL = F² _/ 4ΔL

F/1 = F _/2 /4

F = F² _/ 4

F² = _4F

2. Fontes illi serie parallelaque coniuncti sunt, ut in figura infra demonstratur. Fontis 1 constantem 200 N/m, fontis 2 constantem 200 N/m, et fontis 3 constantem 200 N/m habet. Massa obiecti 100 grammata est et... acceleratio propter gravitas est 10 m/s²Quid est mutatio longitudinis quod equivalent vere.

Notum:

Massa obiecti (m) = 100 grammata = 0.1 kg

k₁ = k₂ ₌ k₃ _{= 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Quaesita: Mutatio longitudinis fontis aequivalentis.

solution:

Determina aequivalens constans elastica:

Elasticus 2 (k² ₎ et elasticus 3 (k³ ₎ paralleliter coniuncti sunt. Constans elasticus aequivalens:

kp ₌ k2 + k3 _{= 200 + 200} = 400 Nm ⁻¹

Elasticus 1 (k₁ ₎ et elasticus p (k₁P ₎ in serie coniuncti sunt. Constans elasticus aequivalens:

1/ _ks = 1/ _kp + 1/k1 ₌ 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400.

ks = 400/3 ^Nm ₋₁

Constans elastica aequivalens est 400/3 Nm ^-1

Mutationem longitudinis fontis aequivalentis determina :

Aequatio legis Hookeanae:

∆x = F / k = w / k

Mutatio longitudinis fontis aequivalentis :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 × 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Constans veris

3. Quae est constans veris secundum data in tabula infra?

solution:

Aequatio legis Hookeanae:

k = F / Δx

Constans veris:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Tres fontes serie-parallele coniuncti sunt, ut in figura infra demonstratur. Constantes fontis k₁ ₌ k₂ ₌ 3 Nm⁻¹ ^et k₃ ₌ 6 Nm⁻¹ ^. Quae est constans aequivalentis fontis?

Notum:

Constans fontis 1 (k₁ ₎ = constans fontis 2 (k₂ ₎ = 3 ^Nm⁻¹

Constans elasticitatis 3 (k³ ₎ = 6 ^Nm⁻¹

Quaesita: constans fontis aequivalentis (k)

solution:

Fons 1 (k₁ ₎ et fons 2 (k₂ ₎ paralleliter coniuncti sunt. Constans fontis aequivalentis:

kp ₌ k1 + k2 _{= 3 + 3} = 6 Nm ⁻¹

Elasticus p(kP ₎ et elasticus 3(k3 ₎ in serie coniuncti sunt. Constans elasticus aequivalentis est:

1/ _ks = 1/ _kp + 1/k³ ₌ 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6.

ks = 6/2 = ₃ ^Nm⁻¹

Constans aequivalentis veris = 3 ^Nm⁻¹.

5. Fons longitudine L, pondere w tractus. Secundum data in tabula infra, quae est constans fontis aequivalentis?

solution:

k = F / Δx

Constans veris:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Secundum data in tabula infra, quae est constans fontis aequivalentis?

solution:

k = F / Δx = w / x = mg / x

k = constans elasticitatis, w = pondus, m = massa, g = acceleratio gravitatis, Δx = mutatio longitudinis

Constans vernalis:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Si k₁ ₌ 4k, quae est constans fontis aequivalentis?

solution:

Duo fontes paralleliter coniuncti sunt. Constans fontis aequivalentis:

kp ₌ k + k = 2k

Duo fontes in serie coniuncti sunt. Constans fontis aequivalentis

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

ks ₌ 4k/3

8. Secundum data in tabula infra, quae est constans fontis aequivalentis?

solution:

Aequatio legis Hookeanae:

k = F / ΔL

Constans veris:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 ^Nm⁻¹

9. Minima constans est…

Solutio

Aequatio legis Hookeanae:

k = F / Δx

k = constans elasticitatis, F = vis, Δx = mutatio longitudinis

Constans elasticitatis:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

kB = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/ _m

k _C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

kD = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/ _m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Quae est maxima constans secundum data in tabula infra?

solution:

Aequatio legis Hookeanae:

k = F / Δx

kA = 7 / 0.035 = ₂₀₀ ^Nm⁻¹

kB = 8 / 0.025 = ₃₂₀ ^Nm⁻¹

kC = 6 / 0.020 = ₃₀₀ ^Nm⁻¹

kD = 9 / 0.045 = ₂₀₀ ^Nm⁻¹

kE = 10 / 0.033 = ₃₀₃ ^Nm⁻¹

Maxima constans est 320 ^Nm⁻¹.

11. Graphica infra nexum inter mutationem vis (ΔF) et augmentum longitudinis (Δx) ostendit. Quae est graphia minimam constantem elasticitatis ostendens?

Solutio

Aequatio legis Hookeanae:

k = F / Δx

Δx = mutatio longitudinis, F = vis, k = constans elasticitatis

Constans elasticitatis:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Quod graphum h maximas constantes elasticas habet?

solution:

Constans elasticitatis :

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Energia potentialis veris:

13. Graphica infra relationem inter vim et mutationem longitudinis fontis ostendit. Quid est energia potentialis fontis, secundum graphiam infra?

Notum:

F = 40N

x = 0.08 metra

Quaesitum : Energia potentialis veris

solution:

Constans veris:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Energia potentialis veris:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joules

14. Quadrum 2 kg ad fontem adnectitur. Si incrementum longitudinis fontis 5 cm est et acceleratio gravitatis 10 m/s² est ^, quae est energia potentialis fontis?

Notum:

Incrementum longitudinis (Δx) = 5 cm = 0.05 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Massa lapidis (m) = 2 kg

Pondus quadrati (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtoni

Quaesitum: energia potentialis veris

solution:

Constans elasticitatis:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Energia potentialis veris:

PE = ½ k Δx ² = (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 Joule

15. Mutatio longitudinis fontis est 5 cm cum trahitur vi 20 N. Quae est energia potentialis fontis cum mutatio longitudinis fontis est 10 cm?

Notum:

Mutatio longitudinis (Δx) = 5 cm = 0.05 metra

Vis (F) = 20 Newtoni

Quaesitum : Energia potentialis veris

solution:

Constans veris:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Energia potentialis veris cum Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 Joule

Pondus obiecti

16. Quattuor fontes, quorum constans cuiusque fontis est 800 N/m, serie parallelaque connexi sunt, ut in figura demonstratur. Quadrum elastico adnexum est. Mutatio longitudinis omnium fontium est 5 cm. Quid est pondus quadratorum?

Notum:

k₁ = k₂ ₌ k₃ ₌ k₄ _{= 800} N ^m⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Pondus quadrati desideratum (w)

solution:

Determina constantem fontis aequivalentis

Ver 1 (k)₁), fons 2 (k₂) et fons 3 (k₃) paralleliter coniunguntur. Constans fontis aequivalentis:

kp ₌ k1 ₊ k2 + k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ₋ ¹

Elasticus p(kP ₎ et elasticus 4(k4 ₎ in serie coniuncti sunt. Constans elasticus aequivalentis est:

1/ _ks = 1/ _kp + 1/k4 ₌ 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400.

ks = 2400/4 = ₆₀₀ ^Nm⁻¹

Constans fontis aequivalentis est 600 Nm⁻¹^.

Pondus rei determina:

Aequatio legis Hookeanae:

F = kΔx vel w = kΔx

Pondus rei:

w = (600 Nm⁻¹ ⁾ (0.05 m) = 30 Newtoni

17. Quattuor fontes serie parallelaque coniuncti sunt. Constans cuiusque fontis est 1600 N/m. Quadrum ad finem fontis adnectitur, ut in figura demonstratur. Incrementum longitudinis omnium fontium est 5 cm. Quid est pondus quadratorum?

Notum:

k₁ = k₂ ₌ k₃ ₌ k₄ _{= 1600} N ^m⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Pondus stipitis desideratum

solution:

Determina constantem fontis aequivalentis

Ver 1 (k)₁), fons 2 (k₂) et fons 3 (k₃) paralleliter coniunguntur. Constans fontis aequivalentis:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ₋ ¹

Elasticus p(kP ₎ et elasticus 4(k4 ₎ in serie coniuncti sunt. Constans elasticus aequivalentis est:

1/ _ks = 1/ _kp + 1/k4 ₌ 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800.

ks = 4800/4 = ₁₂₀₀ ^Nm⁻¹

Constans fontis aequivalentis est 1200 Nm⁻¹^.

Pondus rei determina:

Aequatio legis Hookeanae:

F = kΔx vel w = kΔx

Pondus obiecti:

w = (1200 Nm⁻¹ ⁾ (0.05 m) = 60 Newtoni

1. Quid est Lex Hookeiana?
   • Responsum: Lex Hookeiana describit relationem inter vim applicatam obiecto elastico et deformationem resultantem (plerumque elongationem vel compressionem). Speciatim, affirmat vim requisitam ad comprimendum vel extendendum fontem directe proportionalem esse distantiae qua extenditur vel comprimitur, dummodo limes elasticus non excedatur.
2. Quid significat cum dicimus materiam limitem elasticitatis attigisse?
   • Responsum: Cum materia limitem elasticitatis attigerit, significat eam non amplius ad formam vel magnitudinem pristinam redituram esse postquam vis deformans sublata est. Ultra hoc punctum, materia plastica ratione se gerit et perpetuo deformari potest.
3. Quomodo constans elastica (k) ad rigiditatem elasticae refertur?
   • Responsum: Constans elastica (k) est mensura rigiditatis elasticae. Maior valor k indicat elasticam rigidiorem, id est, maior vis requiri ad eam deformandam quantitatem datam, dum minor valor k indicat elasticam flexibiliorem vel molliorem.
4. Quae sunt unitates constantis elasticae in systemate SI?
   • Responsum: In systemate SI, unitates constantis elasticae (k) sunt Newtoni per metrum (N/m).
5. Cur actio a Lege Hookeana descripta linearis habetur?
   • Responsum: Modus agendi linearis habetur quia relatio inter vim applicatam (F) et dislocationem (x) linea recta est, relatione data ut $F=kx$, ubi k est constans pro data materia vel fonte.
6. Lex Hookei solum ad fontes pertinet?
   • Responsum: Non, Lex Hookeana ad quamlibet materiam elasticam applicatur quae cum vi applicata lineariter deformatur, usque ad limitem elasticum. Dum elastica exemplum commune sunt, aliae materiae, ut taeniae elasticae, metalla sub parvis deformationibus, et nonnulla texta biologica, etiam mores a Lege Hookeana descriptos exhibere possunt.
7. Quid fit si materia ultra limitem elasticitatis extenditur sed non satis ut frangatur?
   • Responsum: Si materia ultra limitem elasticitatis extenditur sed non ad punctum frangendi, deformationem plasticam subibit. Hoc significat, cum vis sublata est, materiam non omnino ad formam pristinam redituram esse, et aliquam deformationem permanentem remansuram esse.
8. Quomodo notiones tensionis et deformationis ad Legem Hookeianam pertinent?
   • Responsum: Tensio est vis applicata per unitatem areae, et deformatio est deformatio relativa materiae. Lex Hookeiana, quae pertinet ad tensionem et deformationem, dicit tensionem directe proportionalem esse deformationi, constante proportionalitatis modulo Youngiano materiae existente. Haec est alia via exprimendi relationem linearem inter vim et deformationem, sed pro materiis solidis potius quam solum pro fontibus.
9. Quid est modulus Youngianus et quomodo ad elasticitatem pertinet?
   • Responsum: Modulus Youngianus, littera plerumque repraesentatus $E$, mensura est rigiditatis materiae secundum tensionem vel compressionem. Describit facultatem materiae deformationi sub vi applicata resistendi. Modulus Youngianus altior indicat materiam rigidiorem, et definitur ut proportio tensionis ad deformationem.
10. Num omnes materiae Lege Hookeana describi possunt?

• Responsum: Non, non omnes materiae secundum Legem Hooke se gerunt. Multae materiae, praesertim quae non lineares, viscoelasticae, vel plasticae sunt, non exhibent relationem linearem inter tensionem et deformationem. Lex Hooke est descriptio idealizata et accuratissima est pro parvis deformationibus materiarum elasticarum.