Articulus de motu casus liberi
In vita cotidiana saepe videmus res quae motum casus liberi patiuntur, exempli gratia, motum fructus ex arbore cadentis, motum rerum quae cadunt vel demittuntur ex certa altitudine. Cur res motum casus liberi patiuntur? Si primo obtutu observetur, res casum liberum experitur quasi celeritatem fixam habeat, vel aliis verbis res non accelerat. Hoc fit, omne objectum quod libere cadit accelerationem constantem experitur. Haec causa motum casus liberi efficit, incluso exemplo motus linearis non uniformis. Quomodo probare possumus res casus liberi patientes accelerationem constantem experiri an celeritatem earum augere?
Clavos duos in terram fige et lapidem ex diversa altitudine in singulos clavos demitte. Videbis clavos qui lapidibus in altiore gradu subiecti sunt altius quam alios clavos haerere. Quo altior lapis a superficie soli positio est, eo maior celeritas lapidis terram percutit, ita ut clavum altius premat.
Olim, motus rerum ad terram cadentium res perquam iucunda erat in philosophia naturali. Aristoteles, philosophus, olim dixit rem maiorem massam habere celerius cadere quam res leviores. Sententia Aristotelis opiniones hominum qui ante tempus Galilei vixerunt movit, qui putabant res maioris massae celerius cadere quam res leviores et celeritatem rerum cadentium proportionalem esse massae rei. Forsitan antequam hanc rem didiceris, tu quoque ita putas. Exempli gratia, chartam et lapidem eadem altitudine demittimus. Resultata quae observavimus indicaverunt lapidem primum terram vel superficiem pavimenti tetigisse quam chartam. Nunc, duos lapides eadem altitudine demittamus, ubi unus lapis altero maior est. Duo lapides simul superficiem terrae tetigerunt, comparati cum lapide et charta quos antea demisimus. Experiri etiam possumus cum demittendo lapidibus et charta in forma massarum.
Quid motum lapidum vel chartae cadentium afficit? Vis frictionis aeris! Resistentia aeris sive frictio motum casus liberi magnopere afficit. Galileus postulavit omnia obiecta eadem acceleratione casura esse si aer aut alia impedimenta non adsint. Galileus asseruit omnia obiecta, sive gravia sive levia, eadem acceleratione cadere, saltem si aer non adsit. Galileus credebat aerem impedimentum esse obiectis levissimis quae magnam superficiem habent. Sed in multis casibus, haec resistentia aeris negligi potest. In conclavi ubi aer haustus est (vacuum), obiecta levia, ut charta horizontaliter posita, eadem acceleratione cadent ac alia obiecta. Contributio Galilei ad nostram comprehensionem motus obiectorum cadentium sic summari potest:
In loco quodam in terra, resistentia aeris carente, omnia obiecta eadem acceleratione constanti cadunt. Hanc accelerationem "gravitate causatam" appellamus, symbolo "g" notamque adhibemus. Magnitudo valoris "g" est circiter 9.8 m/s² . In unitatibus Systematis Anglici, magnitudo valoris "g" est circiter 32 ft/s² . Directio accelerationis gravitatis est versus centrum terrae.
Definitio motus casus liberi
Res casus liberi experiri dicitur si res perpendiculariter ad centrum terrae movetur et, dum motum suum facit, res accelerationem gravitatis constantem subit. Si casus liberi prope superficiem terrae cadit, res accelerationem gravitatis constantem 9.8 m/s² subit.
et directio accelerationis gravitatis versus centrum terrae (perpendicularis ad superficiem terrae). Ad calculationes simpliciores reddendas, g est 10 m/ s².
Tres sunt condiciones diversae:
1. Obiecta verticaliter deorsum moventur sine celeritate initiali (sine v o ). Exempli gratia, fructus ex arbore cadit postquam a caule solutus est. Directio motus semper deorsum est et obiectum accelerationem subit, ita ut g semper positivum sit. In quibusdam libris physicae motus casus liberi appellatur.
2. Res verticaliter deorsum movetur celeritate initiali (existit v₀ ) . Exempli gratia, lapis verticaliter deorsum iactus. Directio motus semper deorsum est et res accelerationem subit, ita ut g semper positivum sit. In quibusdam libris physicae, motus verticalis deorsum appellatur.
3. Res verticaliter sursum movetur initiali celeritate; postquam maximam altitudinem attigit, res deorsum rursus movetur. Finge te globulos verticales sursum iactare et iterum capere cum globuli deorsum moventur. Sursum moventur, res retardationem patiuntur (g negativum); deorsum moventur, res accelerat (g positivum). In quibusdam libris physicae, motus verticalis sursum appellatur. Notandum est, si res unam ex tribus condicionibus supra experitur, rem motum liberae casus facere dici.
Aequatio motus casus liberi
Motus casus liberi exemplum est motus linearis non uniformis, ergo aequatio motus casus liberi fundamentaliter eadem est ac aequatio motus linearis non uniformis et ad condiciones motus casus liberi accommodata.
h = altitudo (metris), v o = celeritas initialis (metris/secundo), v t = celeritas finalis (metris/secundo), t = tempus (secundo), g = acceleratio gravitatis (metris/secundo) = 9.8 m/s² vel 10 m/ s².
Acceleratio gravitatis constans est ad 10 m/s² ( g positiva, res deorsum movetur) significat celeritatem rei augeri 10 m/s singulis secundis. Post 2 secundis, celeritas rei augetur 20 m/s. Post 3 secundis, celeritas rei augetur 30 m/s. Constans retardatio gravitatis est 10 m/s² ( g negativa, res sursum movetur) significat celeritatem rei decrescere 10 m/s singulis secundis. Post 2 secundis, celeritas rei decrescit 20 m/s. Post 3 secundis, celeritas rei decrescit 30 m/s. Acceleratio constans vel retardatio constans solum prope superficiem terrae occurrit.
Exemplum problematis primi:
Mangifera emissa ad terram cadit. Si positio initialis decem metra a superficie soli distat et massa mangiferae quinque grammata est, determina:
(a) celeritas mangi cum ad terram pervenit
(b) intervallum temporis quo mango terram attingit.
g = 9.8 m/ s²
Solutio:
Nota: h = 10 m, g = 9.8 m/ s²
a) Celeritas mangae cum ad terram pervenit
Massa in aequatione motus casus liberi computatur.
b) Intervallum temporis in aere
Exemplum problematis primi:
Res ex certa altitudine demittitur. Determina:
(a) magnitudo accelerationis obiecti
(b) spatium a re per prima duo secunda percursum
(c) celeritas obiecti post casum quinquaginta metrorum
(d) quantum temporis requiritur ut res celeritatem 20 m/s attingat,
(e) quantum temporis requiritur ut res ad centum metra cadat
Solutio:
Nota: g = 9.8 m/ s²
a) Magnitudo accelerationis obiecti
Acceleratio obiecti = acceleratio gravitatis = g = 9.8 m/ s²
b) Spatium a re per prima duo secunda percursum
Nota: g = 9.8 m/s² , t = 2 s
Quaesitum: h
h = 1⁄2 gt² = 1⁄2 (9.8)(2) ² = (4.9)(4) = 19.6 metra
c) Celeritas obiecti post casum usque ad 50 metra
Nota: h = 50 m, g = 9,8 m/ s²
Quaesitum: v t
d) Quantum temporis requiritur ut res celeritatem 20 m/s attingant
Nota: vt = 20 m/s, g = 9,8 m / s²
Quaesitum: t
e) Intervallum temporis requisitum ut res usque ad centum metra cadant
Quaesitum: h = 100 m, g = 9,8 m/ s²
Solutio: t
Exemplum problematis 3:
Lapis in puteum iacitur celeritate initiali 5 m/s. Si lapis in aquam post 4 secundas cadit, determina:
(a) celeritas lapidis cum in aquam venit
(b) profunditas putei
Solutio:
a) Celeritas lapidis cum in aquam venit
Notum:
v₂ = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m / s²
Quaesitum: v t
vt = v o + g t
vt = 5 m/s + (9.8 m/s² ) (4 s) = 5 m/s + 39.2 m/ s
vt = 44.2 m/ s
b) Profunditas putei
Notum:
v₂ = 5 m/s, t = 4 s, g = 9.8 m / s²
Quaesitum: h
h = v o t + ½ gt²
h = (5)(4) + ½ (9.8)(4) ²
h = 20 + (4.9)(16)
h = 20 + 78.4
h = 98.4 metra
Exemplum problematis primi:
Ab summo aedificio usque ad 50 metra, sarcina verticaliter deorsum celeritate 10 m/s iacitur. Determina:
(a) Tempus in aere
(b) Celeritas sarcinae cum terram attingit
Solutio:
a) Tempus in aere
Notum:
h = 50 m, g = 9.8 m/s² , v₂ = 10 m/s².
Quaesitum: t
h = v o t + ½ gt²
50 = 10 t + ½ (9.8) t²
50 = 10 t + 4.9 t²
4.9 t² + 10 t – 50 = 0
Formula quadratica adhibenda est:
Tempus in aere = 2.3 secunda
b) Celeritas sarcinae cum terram attingit
Notum:
h = 50 m, g = 9.8 m/s² , v₂ = 10 m/s².
Quaesitum: v t
Exemplum problematis primi:
Pila verticaliter sursum iacitur celeritate initiali 20 m/s. Determina altitudinem maximam a pila attingentem.
Solutio:
Quantitates vectoris cuius directio sursum est positivae sunt, quantitates vectoris cuius directio deorsum est negativae. Positio initialis pilae ut punctum referentiae eligitur.
Notum:
v₂o = 20 m/s (directio celeritatis initialis sursum est, pila sursum iacitur, ergo v₂o positiva est )
v t = 0 m/s (celeritas pilae ad maximam altitudinem est 0 m/s)
g = – 9.8 m/s² ( directio accelerationis gravitatis deorsum tendit, ergo g negativa est)
Quaesitum: h
Exemplum problematis primi:
Globus e culmine aedificii centum metra supra terram elevati verticaliter sursum iacitur celeritate initiali viginti m/s. Determina:
(a) Tempus in aere
(b) celeritas marmoris cum terram percutit
Solutio:
Locus ubi marmor iacitur ut punctum referentiae; cacumen aedificii est punctum referentiae. Magnitudo vectoris cuius directio sursum est positiva est, magnitudo vectoris cuius directio deorsum est negativa est.
a) Tempus in aere
Notum:
h = – 100 m (h negativum est quia superficies soli infra positionem initialem vel punctum referentiae est)
v₂o = 20 m/s (directio celeritatis initialis sursum tendit, ergo v₂o positiva est )
g = – 9.8 m/s² ( directio accelerationis gravitatis deorsum tendit, ergo g negativa est)
Quaesitum: t
Formula quadratica adhibenda est:
Tempus ad terram perveniendum necessarium ex quo
Pila iacta est = septem secunda.
b) Celeritas marmoris cum superficiem terrae percutit
Notum:
h = -100 m (negativum quia superficies soli infra punctum referentiae vel positionem initialem est)
v₂o = 20 m/s (directio celeritatis initialis sursum versus est, ergo v₂o positiva est )
g = -9.8 m/s² ( directio accelerationis gravitatis deorsum est, ergo g negativa est).
Quaesitum: v t
Quaestiones et responsa conceptualia de motu casus liberi
- Quid est motus casus liberi?
Motus casus liberi est motus obiecti sub sola gravitatis influxu, nullis aliis viribus in id agentibus, ut resistentia aeris.
- Quae est acceleratio gravitatis debita?
Acceleratio gravitatis est acceleratio quam res experitur cum libere prope superficiem Telluris cadit. Typice 'g' notatur et valorem approximatum 9.8 m/s² habet.
- Quae est formula pro dislocatione in motu casus liberi, datis velocitate initiali et tempore?
Formula est h = ut + ½gt², ubi h est dislocatio (altitudo), u est velocitas initialis, g est acceleratio gravitatis, et t est tempus.
- Quomodo velocitas obiecti mutatur durante motu casus liberi?
In casu libero, velocitas obiecti lineariter augetur per tempus propter accelerationem gravitatis constantem.
- Quae est formula velocitatis finalis in motu casus liberi, datis velocitate initiali et tempore?
Formula est v = u + gt, ubi v est velocitas finalis, u est velocitas initialis, et g est acceleratio gravitatis.
- Quid accidit velocitati obiecti in culmine trajectoriae suae in motu libero cadendi?
In culmine trajectoriae suae, velocitas obiecti momento nulla fit.
- Quid signum negativum in contextu motus casus liberi repraesentat?
Signum negativum plerumque directionem directioni positivae electae contrariam denotat. Pro contextu, casum deorsum (si "sursum" positivum est) vel deiectum deorsum (si "sursum" negativum est) indicare potest.
- Quid fit accelerationi obiecti in libera caduta cum maximam altitudinem attingit?
Acceleratio obiecti ad maximam altitudinem in libera caduta manet aequalis g (circiter -9.8 m/s² prope superficiem Telluris), deorsum spectans.
- Quomodo resistentia aeris motum casus liberi afficit?
Re vera, resistentia aeris descensum obiecti insigniter tardare potest, ita ut motus non iam sit casus liber. Attamen, in multis problematis physicis, resistentia aeris simplicitatis causa neglegitur.
- Quod est tempus volatus in motu casus liberi?
Tempus volatus est tempus totum quod res in aere commoratur. Pro re eadem altitudine emissa et ad terram descendente, tempus volatus formula t = 2u/g inveniri potest.
Problemata et solutiones de motu casus liberi
- problema: Saxum de rupe altitudinis 78.4 metrorum demittitur. Quanto tempore saxum ad terram pervenit? Solutio: Aequatione h = ½gt² utimur. Pro tempore solvendo, t = √(2h/g) = √(2×78.4/9.8) = 4 s.
- problema: Pila sursum iacitur velocitate initiali 19.6 m/s. Quam alte pila ascendit? Solutio: Adhibita aequatione h = v₀t – ½gt² ad maximam altitudinem (ubi velocitas finalis est 0), altitudo h = v₀² / (2g) = (19.6)² / (2×9.8) = 20 m.
- problema: Lapis sursum iacitur velocitate initiali decem m/s. Quae erit velocitas eius post duo secunda? Solutio: Aequatio v = v₀ – gt dat velocitatem v = 10 – 9.8ײ = -9.6 m/s.
- problema: Nummus in puteum demittitur et aquam post tria secunda attingit. Quam altus est puteus? Solutio: Adhibendo h = ½gt², profunditas h = ½x9.8×3² = 44.1 m.
- problema: Liber de mensa cadit et terram post 0.5 secundas attingit. Quam alta erat mensa? Solutio: Adhibendo h = ½gt², altitudo h = ½x9.8x(0.5)² = 1.225 m est.
- problema: Pila sursum iacitur velocitate initiali 20 m/s. Quando altitudinem maximam attinget? Solutio: Ad maximam altitudinem, v = 0. Solvendo t = (v – v₀) / -g, tempus t = (0 – 20) / -9.8 = 2.04 s.
- problema: Res sex secundis cadit. Quae est eius velocitas finalis? Solutio: Utente v = v₀ + gt cum velocitate initiali v₀ = 0, velocitas finalis v = 0 + 9.8×6 = 58.8 m/s est.
- problema: Malum ex arbore cadit et 1.5 secundis terram attingit. Quae erat altitudo arboris? Solutio: Adhibendo h = ½gt², altitudo h = ½x9.8x(1.5)² = 11 m est.
- problema: Pila pediludii verticaliter sursum calcitratur velocitate initiali 25 m/s. Quanto tempore terram attingit? Solutio: Tempus ad altitudinem maximam t = v₀ / g = 25 / 9.8 = 2.55 s. Tempus totum ad terram attingendam duplum est, ergo t = 2 × 2.55 = 5.1 s.
- problema: Lapis de ponte demittitur et post quattuor secundas aquam tangit. Quam altus est pons? Solutio: Utente h = ½gt², altitudo h = ½x9.8×4² = 78.4 m.
- problema: Rocheta recta sursum celeritate quinquaginta metrorum per secundum iacitur. Quam alte ascendit? Solutio: Utente h = v₀² / (2g), altitudo h = (50)² / (2×9.8) = 127.55 m.
- problema: Pila deorsum iacitur celeritate initiali 10 m/s. Quae est velocitas eius post 2 secunda? Solutio: Utente aequatione *v* = *v₀* + *gt*, velocitas *v* = 10⁻⁴ + 9.8 ײ = 29.6 m/s est.
- problema: Pila verticaliter sursum iacta est et ad terram intra sex secundas redit. Quae erat eius velocitas initialis? Solutio: Utente v₀ = gt / 2 (cum tempus totum sit duplum temporis ad altitudinem maximam attingendam), velocitas initialis v₀ = 9.8 × 6 / 2 = 29.4 m/s est.
- problema: Res decem secundis cadit. Quam longe cadit? Solutio: Utente h = ½gt², distantia h = ½x9.8×10² = 490 m.
- problema: Globus e turri demittitur et quinque secundis terram attingit. Quam alta est turris? Solutio: Utente h = ½gt², altitudo h = ½x9.8×5² = 122.5 m.
- problema: Pila basipilae verticaliter sursum iacitur velocitate initiali 15 m/s. Quando altitudinem maximam attinget? Solutio: Ad maximam altitudinem, v = 0. Solvendo t = (v – v₀) / -g, tempus t = (0 – 15) / -9.8 = 1.53 s.
- problema: Res demittitur et septem secundis cadit. Quae est eius velocitas finalis? Solutio: Utente v = v₀ + gt cum velocitate initiali v₀ = 0, velocitas finalis v = 0 + 9.8×7 = 68.6 m/s est.
- problema: Saxum sursum iacitur velocitate initiali 30 m/s. Quae erit eius velocitas post 3 secundas? Solutio: Utente aequatione *v* = *v₀ – gt*, velocitas *v* = 30 – 9.8×3 = 0.6 m/s erit.
- problema: Lapis de rupe demittitur et terram post octo secundas attingit. Quam alta est rupes? Solutio: Utente h = ½gt², altitudo h = ½x9.8×8² = 313.6 m.
-
Problema: Sagitta directe sursum iacitur celeritate 60 m/s. Quantum temporis requiritur antequam terram attingat? Solutio: Tempus ad maximam altitudinem t = v₀ / g = 60 / 9.8 = 6.12 s. Tempus totum ad terram attingendam bis hoc est, ergo t = 2×6.12 = 12.24 s.
