Dynamica fluidorum – problemata et solutiones

Dynamica fluidorum – problemata et solutiones

Theorema Torricellii

1. Vas aqua plenum et foramen est , ut in figura infra demonstratur. Si acceleratio gravitatis est 10 ms⁻² ^, quae est celeritas aquae per illud foramen?

Notum:

Altitudo (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Quaesitum: Celeritas aquae (v)

solution:

Theorema Torricellii affirmat aquam foramen eadem celeritate exire ac obiectum libere cadens ex eadem altitudine. Altitudo (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra.

Velocitas aquae computatur utens aequatione motus casus liberi :

v _{t² =} ² gh

v _{t² =} ² gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 ₌ 3 m/s

2. Vas aqua plenum et foramen est, ut in figura infra demonstratur. Si acceleratio gravitatis est 10 ms⁻² ^, quae est celeritas aquae per illud foramen?

Notum:

Altitudo (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Quaesitum: Celeritas aquae (v)

solution:

v _{t² =} ² gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 ₌ 5 m/s

3. Vas aqua plenum et foramen est, ut in figura infra demonstratur. Si acceleratio gravitatis est 10 ms⁻² ^, quae est celeritas aquae per illud foramen?

Notum:

Altitudo (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Quaesitum: Celeritas aquae (v)

solution:

v _{t² =} ² gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 ₌ 4 m/s

4. Vas aqua plenum et foramen est, ut in figura infra demonstratur. Si acceleratio gravitatis est 10 ms⁻² ^, quae est celeritas aquae per illud foramen?

Notum:

Altitudo (h) = 20 cm = 0.2 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 m/ ^s²

Quaesitum: Celeritas aquae (v)

solution:

5. Vas aqua plenum est et duo foramina sunt , ut in figura infra demonstratur. Quae est proportio inter _x₁ et _x₂?

Solutio

Intervallum temporis casus aquae liberi ex foramine 1:

h = 1/2 apud ²

0.8 = 1/2 (10) ^t²

0.8 = 5 ^t²

t² = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 secunda

Intervallum temporis casus aquae liberi ex foramine 2:

h = 1/2 apud ²

0.5 = 1/2 (10) ^t²

0.5 = 5 ^t²

t² = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 secundum

Spatium horizontale (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 metra

x² = _v² t² = (√10 ₎ (√0.1) = (10)(0.1) = 1 _metrum

Ratio _x₁ ad _x₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Aequatio continuitatis

6. Aqua per tubum variabilis diametri fluit, ab A ad B deinde ad C. Ratio A ad C est 8:3. Si celeritas aquae in tubo A est v, quae est celeritas aquae in tubo C?

Notum:

Area A (A_A) II =

Area C (A _C ) = 3

Celeritas aquae in tubo A (v _A ) = v

Quaesitum: Celeritas aquae in tubo C (v _C )

solution:

Aequatio continuitatis:

A _A v _A = A _C v _C

8 v = 3 v _C

vC ₌ 8/3 v

7. Si celeritas aquae in tubo cum diametro 12 cm est 10 cm/s, quae est celeritas aquae in tubo cum diametro 8 cm?

Notum:

Diameter² (d² ₎ = 12 cm, radius² ( _r² ) = 6 cm.

Diameter² (d² ₎ = 8 cm, radius² ( _r² ) = 4 cm.

Celeritas aquae 1 (v1 ₎ = 10 cm/s

Quaesitum: Celeritas aquae 2 (v ₂ )

solution:

Area 1 ( A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Area 2 ( A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Aequatio continuitatis:

A ₁ contra ₁ = A ₂ contra ₂

(36π)(10) = (16π) _v²

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v² = _360/16

v² = 22.5 cm/ _s

8. Aqua per tubum variabilis diametri fluit, ut in figura infra demonstratur. Si area 1 (A₁ ₎ = 8 cm₂ ^, A₂ ₌ 2 cm₂ ^et celeritas aquae in tubo 2 = v₂ ₌ 2 m/s, quae est celeritas aquae in tubo 1 = _v₁?

Notum:

Area 1 (A₁) = 8 cm²

Area 2 (A² ₎ = 2 ^cm²

Celeritas aquae in tubo 2 (v² ₎ = 2 m/s

Quaesita: celeritas aquae in tubo 1 ( _v1 )

solution:

Aequatio continuitatis:

A ₁ contra ₁ = A ₂ contra ₂

8 contra ₁ = (2)(2)

Octo contra _unum = quattuor

v1 = 4 / ₈ = 0.5 m/s

9. Si diameter tubi maioris bis diameter tubi minoris est, quae est celeritas fluidi in tubo minore?

Notum:

Diameter tubi maioris (d₁) II =

Radius tubi maioris (r₁ ₎ = ½ d₁ ₌ ½ (2) = 1

Area fistulae majoris ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Diameter tubi minoris (d² ₎ = 1

Radius tubi minoris (r² ₎ = ½ d² ₌ ½ (1) = ½

Area fistulae minoris ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = π.

Celeritas fluidi in tubo maiore ( _v1 ) = 4 m/s

Quaesita: Celeritas fluidi in tubo minore ₍ v² )

solution:

Aequatio continuitatis:

A ₁ contra ₁ = A ₂ contra ₂

π⁴ = ¼ π( _v² )

4 = ¼ ( _v² )

v² ₌ 8 m/s

Principium et aequationes Bernoullii

10. Aqua compressorio 120 kP per tubum inferiorem (1) intrante pumpatur et sursum fluit celeritate 1 m/ s. Acceleratio gravitatis est 10 m/ s et densitas aquae est 1000 kg/m⁻³ ^. Quaenam est pressio aquae in tubo superiore (II )?

Notum:

Radius tubi inferioris (r₁) = 12 cm

Radius tubi inferioris (r² ₎ = 6 cm

Pressio aquae in tubo inferiore (p1 ₎ = 120 kPa = 120 000 Pascal

Celeritas aquae in tubo inferiore (v⁻¹ ₎ = 1 ^ms⁻¹

Altitudo tubi inferioris (h1 ₎ = 0 m

Altitudo tubi superioris (h² ₎ = 2 m

Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms ^-2

Densitas aquae = 1000 ^kg.m⁻³

Quaesitum: Pressio aquae in tubo 2 ( _p2 )

solution:

Celeritas aquae in tubo 2 cum aequatione continuitatis computatur:

Pressio aquae in tubo 2 per aequationem Bernoullianam computatur:

11. Tubus magnus 5 metra supra terram et tubus parvus 1 metrum supra terram. Velocitas aquae in tubo magno est 36 km/h cum pressione 9.1 × 10⁵ ^Pa , dum pressio in tubo parvo est 2.10⁵ ^Pa . Quae est velocitas aquae in tubo parvo? Densitas aquae = 10³ ^kg / ^m³

Notum:

Pressio aquae in tubo magno (p₁) = 9.1 × 10⁵ Pascal = 910,000 Pascal

Pressio aquae in tubo parvo (p² ₎ = 2 x 10⁵ ^Pascalia = 200 000 Pascalia.

Celeritas aquae in tubo magno (v₁ ₎ = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 m/s

Altitudo tubi magni (h₁ ₎ = -4 metra

Altitudo tubi parvi (h² ₎ = 0 metra

Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms ^-2

Densitas aquae = 1000 kg/ ^m³

Quaesitum: Celeritas aquae in tubo parvo ( _v² )

solution:

Celeritas aquae in tubo parvo (v² ₎ aequatione Bernoulliana computatur:

12. Tubus cum radio 15 cm cum alio tubo cum radio 5 cm coniunctus. Ambo in situ horizontali sunt. Velocitas fluxus aquae in tubo magno est 1 m/s sub pressione 10⁵ ^N / m⁻² . Quaenam est pressio aquae in tubo parvo (1 g ^cm⁻³ )^?

Notum:

Radius tubi magni (r₁ ₎ = 15 cm = 0.15 m

Radius tubi parvi (r² ₎ = 5 cm = 0.05 m

Pressio aquae in tubo magno (p1 ₎ = 10⁵ ^N m⁻² ⁼ 100 000 N ^m⁻²

Celeritas aquae in tubo magno (v⁻¹ ₎ = 1 ^ms⁻¹

Acceleratio gravitatis (g) = 10 ms ^-2

Densitas aquae = 1 gr cm⁻³ ⁼ 1000 kg ^m⁻³

Differentia altitudinis (Δh) = 0.

Quaesitum: Pressio in tubo parvo ( _p2 )

solution:

Celeritas aquae in tubo 2 per aequationem continuitatis computatur:

Pressio aquae in tubo parvo (p² ₎ aequatione Bernoulliana computatur:

1. Quid est dynamica fluidorum?
   • Responsum: Dynamica fluidorum est pars physicae quae motum fluidorum (liquidorum et gasorum) et vires in ea agentium investigat. Principia et aequationes complectitur quae describunt quomodo fluida fluunt, cum limitibus solidis interagunt, et se invicem afficiunt.
2. Quid interest inter fluxum laminarem et fluxum turbulentum?
   • Responsum: Fluxus laminaris stratis fluidi levibus et parallelis, quae vias ordinatas moventur, insignitur. Fluxus turbulentus, contra, chaoticus est, cum vorticibus, vorticibus, et fluctuationibus rapidis. Turbulentia plerumque magnis velocitatibus vel in canalibus irregularibus forma occurrit.
3. Quomodo est magni momenti notio viscositatis in dynamica fluidorum?
   • Responsum: Viscositas resistentiam fluidi ad scissuram vel fluxum metitur. Fluida altae viscositatis (ut mel) fluxui magis resistunt quam fluida humilis viscositatis (ut aqua). In dynamica fluidorum, viscositas munus cruciale agit in determinanda natura fluxus fluidi, dissipatione energiae, et viribus attractivae.
4. Quid est principium Bernoullii?
   • Responsum: Principium Bernoullii statuit in fluxu stabili summam energiae pressionis, energiae cineticae, et energiae potentialis per unitatem voluminis constantem manere; praesertim, ubi velocitas fluidi alta est, pressio humilis est, et vice versa.
5. Quomodo principium sustentationis in aerodynamica ad dynamicam fluidorum pertinet?
   • Responsum: Sustentatio alae aeroplani explicari potest principio Bernoulliano et lege tertia Newtoni. Dum aer super alam fluit, celerius super superficiem curvam superiorem quam inferiorem movetur, differentiam pressionis creans. Haec differentia pressionis, cum deflexione deorsum aeris ab ala coniuncta, vim sursum sive sustentationem efficit.
6. Quaenam est aequatio continuitatis in dynamica fluidorum?
   • Responsum: Aequatio continuitatis statuit productum areae sectionis transversalis (A) fluxus et velocitatis eius (v) constantem manere secundum lineam lineae in fluxu stabili. Mathematice, A₁​v_1​=A₂​v₂​, ubi A_1​ et A₂​ sunt areae sectionum transversalium et v₁​ et v_2​ sunt velocitates in duobus punctis secundum lineam lineae.
7. Quale munus agit numerus Reynoldsianus in dynamica fluidorum?
   • Responsum: Numerus Reynoldsianus est quantitas sine dimensione quae adiuvat ad praedicendum regimen fluxus (laminare, transitionale, vel turbulentum) in dynamica fluidorum. Definitur ut proportio virium inertialium ad vires viscosas et pendet a factoribus ut velocitas fluidi, longitudo characteristica, et proprietates fluidi.
8. Quomodo vis trahens agit in res in fluido motas?
   • Responsum: Vis resistentiae motum obiecti per fluidum obstat. Oritur propter resistentiam viscosam fluidi et differentias pressionis circa obiectum. Magnitudo et natura resistentiae pendent a factoribus ut forma obiecti, asperitas, celeritas, et proprietates fluidi.
9. Quid est effectus Venturi?
   • Responsum: Effectus Venturi ad diminutionem pressionis fluidi refertur, quae fit cum fluidum per sectionem angustam tubi fluit. Cum velocitas fluidi in sectione angusta crescit (ob conservationem massae), pressio eius decrescit secundum principium Bernoullianum.
10. Cur fluidum celerius augetur cum per angustam tubi vel canalis partem fluit?

• Responsum: Hoc genus actionis principio conservationis massae explicari potest. In fluxu constanti, volumen fluidi in partem tubi intrantis volumini exeunti aequare debet. Si tubus angustus est, fluidum celeritatem augere debet ut idem volumen intra tempus datum transeat.