Articulus de principio Bernoulliano et aequatione Bernoulliana
Cum birota vehimur, vestes quas gerimus retrorsum tument. Interdum, si ventus vehementer flat, ianua se ipsa claudere potest. Quamquam ventus extra domum flat, ianua autem intra domum est.
Hoc principio Bernoulliano explicari potest. Daniel Bernoulli (1700-1782) principium invenit quo phaenomenon supradictum explicare posset.
Bernoullius principium
Principium Bernoullii statuit ubi celeritas fluxus fluidi alta est, pressionem fluidi humilem esse. Contra, si celeritas fluxus fluidi humilis est, pressio fluidi alta est. Cum motocicleta celeriter movetur, celeritas aeris in fronte et latere corporis tui alta est. Ita pressio aeris humilis fit. Dorsum corporis tui a fronte corporis obstruitur, ita velocitas aeris in tergo corporis tui non alta fit. Propterea, pressio aeris in tergo corporis tui maior fit. Quia differentia in pressione aeris est, ubi in tergo corporis pressio aeris altior est quam aer tunicam tuam retrorsum impellit, ita ut vestes tuae retrorsum inflatae videantur.
Quid de ianua domus quae se ipsa claudit cum ventus extra domum flat? Aer extra domum celerius movetur quam aer intra domum. Quam ob rem, pressio aeris extra domum minor est quam pressio aeris intra domum. Quia differentia pressionis est, ubi pressio aeris intra domum maior est, ianua expellitur. Aliis verbis, folium ianuae movetur a loco ubi pressio aeris magna est versus locum ubi pressio aeris parva est.
Aequatio Bernoulliana
Antehac de principio Bernoulliano didicimus. Bernoulli etiam principium quantitative evolvit. Ad aequationem Bernoullianam derivandam, supponimus fluxum fluidi esse stabilem et laminarem, non compressum, viscositatem minimam esse ita ut neglegi possit.
In disputatione de aequatione continuitatis, didicimus fluxum fluidi etiam variari posse secundum aream fluxus tubi. Secundum principium Bernoullianum supra descriptum, pressio fluidi etiam variari potest secundum fluxum fluidi. Pressio fluidi etiam variari potest secundum altitudinem fluidi. Relatio inter pressionem, fluxum, et altitudinem fluxus in aequatione Bernoulliana obtineri potest.
Aequatio Bernoulliana magni momenti est, quia ad volatus aeroplanorum, stationes hydroelectricas, systemata fistularum, et cetera analyzanda adhiberi potest. Ut aequatio Bernoulliana generaliter derivetur, supponimus fluidum per tubum fluxus fluere cuius area sectionis transversalis non eadem est et altitudinem etiam differentem. Ad aequationem Bernoullianam derivandam, theorema operis et energiae ad fluidum in tubo fluxus applicamus.
Color opacus in tubo fluxus in figura infra fluxum fluidi ostendit, dum color albus nullum fluidum ostendit.
Fluidum in area sectionis transversalis 1 (latere sinistro) fluit usque ad L.1 et fluidum in sectione 2 (parte dextra) ad L usque movendum cogit.2Quia area sectionis transversalis 2 a dextra minor est, celeritas fluxus fluidi a dextra parte tubi fluxus maior est (aequationem continuitatis memento). Hoc differentiam pressionis inter sectionem 2 (partem dextram tubi fluxus) et sectionem 1 (partem sinistram tubi fluxus) efficit – Principium Bernoullianum memento. Fluidum quod a sinistra sectionis 1 est pressionem dat (P1) in fluido ad dextram et operatur:
Deinde W.1 aequatio scribi potest:
W1 p =1 A1 L1
In sectione 2 (parte dextra tubi fluxus), opus in fluido factum est:
W2 = − p2 A2 L2
Signum negativum indicat vim applicatam directioni motus contrariam esse. Ergo, fluidum ad dextram sectionis transversalis 2 operatur. Praeterea, vis gravitatis in fluidum operatur. In casu supra, quaedam massae fluidi a sectione 1 usque ad L transferuntur.1 ad sectionem 2 usque ad L2, ubi est volumen fluidi in sectione 1 (A1 L1) = volumen fluidi in sectione 2 (A2 L2Opus a gravitate factum est:
W3 = − mg (h2 - h1)
W3 = − mgh2 + mgh1)
W3 = mgh1 - mgh2
Signum negativum fluido sursum fluente, contra directionem gravitatis, efficitur. Ergo, opus netum in fluido factum est:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Theorema energiae-opus statuit opus netum in systemate factum idem esse ac mutationem energiae cineticae. Ergo, opus (W) mutationibus energiae cineticae (EK) substituere possumus.2 – EK1).
Aequatio supra iterum scribi potest:
W = P1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 P =1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Dimidium mv22 – dimidium mv12 P =1 A1 L1 - P.2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Massa fluida quae usque ad L fluit1 in sectione transversali A1 = massa fluidi quae fluit usque ad L2 (sectio transversalis A)2Massa fluidi, puta m, volumen A habet.1 L1 et A2 L2 ubi A1 L1 A =2 L2 (L2 longior est quam L1).
Nunc m in aequatione supra substituimus cum m = ρ AL:
Haec est aequatio Bernoulliana. Aequatio Bernoulliana derivatur secundum principium energiae laboris, ita ut sit forma conservationis energiae.
P = pressio, ρ = densitas, v = celeritas fluidi, g = acceleratio gravitatis, h = altitudo tubi supra terram.
Segmenta sinistra et dextra aequationis Bernoullianae supra ad duo puncta ubicumque in tubo fluxus referri possunt, ita ut aequationem supra scriptam in hanc formam rescribere possimus:
Nunc aequationem Bernoullianam pro quibusdam casibus recenseamus.
Aequatio Bernoulliana in fluidis staticis
Casus specialis aequationis Bernoullianae est fluido statico, ubi fluido nullam celeritatem est. Ergo, v1 v =2 = 0. In casu fluidi statici, aequationem Bernoullianam sic formulare possumus:
Si h2 – h1 = h, haec aequatio sic scribi potest:
p1 - p.2 = ρg (h2 - h1)
p1 - p.2 = ρgh
Aequatio Bernoulliana in tubo eiusdem altitudinis
Si altitudo tubi eadem est, aequatio Bernoulliana mutatur ad:
