Articulus de Aequatione Continuitatis
Conare aperire fistulam aquariam lente, dum attendis ad celeritatem aquae ex ore fistulae exeuntis. Nunc compara, ubi est celerior celeritas aquae fluendi, cum os fistulae clausum est an non? Cur id fit? Ut hoc intelligas, quaeso stude aequationem continuitatis.
Miserere mei,
In flumine constanti, celeritas cuiusque particulae fluidae in puncto quodam, puta puncto A, semper eadem est. Cum punctum B transeunt, velocitas particularum fluidarum mutari potest. Attamen, cum ad punctum B pervenitur, particulae fluidae quae a tergo sequuntur eadem celeritate fluunt ac particulae fluidae quae praecedunt. Similiter cum ad punctum C pervenitur et cetera. Linea Fluxus est curva quae puncta A, B, et C connectit.
Tubus fluxus
Describere possumus singulas lineas lineares per singulos punctos in fluxu fluido. Si fluxum fluidum constantem percipimus, quaedam lineae lineares quae angulum certum in superficie imaginaria transeunt tubum fluxus formant. Nullae particulae fluidi se intersecant, sed semper parallelae sunt, et tubus fluxus simile erit tubo cuius forma manet eadem. Fluidum ingressus per unum finem tubi, ex tubo exibit per alterum finem.
Debita
Fluxus indicat volumen fluidi per certam sectionem transversam certo intervallo temporis fluentis. Mathematice, sic dici potest:
Emissio = Volumen Fluidi / intervallum temporis
Q = V / t
Ad intellegentiam vestram augendam, exemplo utimur. Exempli gratia, fluidum per tubum fluit. Tubi plerumque cylindrici sunt et aream sectionis transversalis certam habent. Tubus etiam longitudinem habet.
Cum fluidum in tubo usque ad L fluit, volumen fluidi in tubo est V = AL (V = volumen fluidi, A = area sectionis transversalis et L = longitudo tubi). Quia quamdiu in tubo secundum L fluit, fluidum certum intervallum temporis requirit, tum dicere possumus quantitatem fluidi esse:
Quia v = s / t = L / t → L = vt, aequatio supra mutatur ad hanc:
Ergo, cum fluidum per tubum quae aream sectionis transversalis et longitudinem certam habet, per certum tempus fluit, quantitas fluidi emissa (Q) aequalis est areae sectionis transversalis (A) multiplicatae per velocitatem fluxus fluidi (v).
Aequatio continuitatis
Fluxum fluidi in tubo qui diametrum diversum habet, ut in figura infra demonstratur, inspice.
Haec imago fluxum fluidi a sinistra ad dextram ostendit (fluidum a tubo magni diametri ad diametrum parvum fluit). Linea punctata est aerodynamica.
A1 = area sectionis transversalis tubi magni diametri, A2 = area sectionis transversalis parvi diametri, v1 = velocitas fluxus fluidi in tubo magni diametri, v2 = velocitas fluxus fluidi in tubo parvi diametro, L = spatium a fluido percursum.
In flumine constanti, velocitas fluxus particularum fluidi in puncto quodam aequalis est celeritati fluxus aliarum particularum fluidi quae per illud punctum transeunt. Fluxus fluidi etiam non intersecat (lineae parallelae sunt). Ergo massa fluidi quae unum extremum tubi intrat aequalis esse debet massae fluidi quae altero extremo exit. Si fluidum certam massam habet ad tubum cum magno diametro adveniens, tunc fluidum in tubo parvi diametri cum eadem massa exibit.
Nunc figuram tubi supra considera. Tubum magni diametri et tubum parvi diametri considera.
Per certum intervallum temporis, quaedam fluida per sectionem tubi magno diametro (A) fluunt.1) usque ad L1 (L1 v =1 t). Volumen fluidi fluentis est V1 A =1 L1 A =1 v1 t. Eodem tempore, alia quaedam fluida per sectionem tubi parvi diametri (A) fluunt.2) usque ad L2 (L2 v =2 t). Volumen fluidi fluentis est V2 A =2 L2 A =2 v2 t.
Aequatio continuitatis pro fluidis incompressibilibus
In fluidis incompressibilibus, densitas fluidi semper eadem est in quovis puncto quo transit. Massa fluidi fluens in tubo qui aream sectionis transversalis A1 (diametro tubi magno) habet per certum intervallum temporis est:
Similiter, massa fluidi fluentis in tubo qui aream sectionis transversalis A habet2 (diametro tubi parvo) per certum intervallum temporis est:
In flumine constanti, massa fluidi ingredientis eadem est ac massa fluidi exeuntis, ergo:
m1 m =2
ρ A1 v1 t = ρA2 v2 t
A1 v1 A =2 v2
Ergo, aequatio continuitatis in fluida incompressibilia:
A1 v1 A =2 v2 — Aequatio 1
A1 = area sectionis transversalis 1, A2 = area sectionis transversalis 2, v1 = velocitas fluxus fluidi in sectione 1, v2 = velocitas fluxus fluidi in sectione 2, A v = fluxus voluminis (V / t) = emissio.
Aequatio 1 demonstrat fluxum semper eundem esse in quolibet puncto tubi vel tubi fluxus. Cum sectio transversa tubi decrescit, celeritas fluxus fluidi augetur, cum autem sectio transversa tubi maior fit, celeritas fluxus fluidi parva fit.
Cum pars oris fistulae clausa est, fluxus aquae gravior fit quam cum pars oris fistulae non clausa est. Id enim fit quia area sectionis transversalis fistulae minor fit cum pars oris fistulae clausa est, ita ut celeritas fluxus aquae augeatur. Sed interest scire celeritatem fluxus seu emissionem fluidorum semper eandem esse in quolibet puncto fluxus aquae, sive pars oris fistulae nostrae clausa est sive non. Quid ergo mutat celeritatem fluxus fluidi?
Quid deinde de fluxu aquae in flumine? Pars alta fluminis sectionem transversam maiorem habet quam pars vadosa, ergo celeritas fluxus aquae in flumine alto minor est quam celeritas fluxus aquae in parte vadosa fluminis.
Aequatio continuitatis pro fluidis compressibilibus
In fluido compresso, densitas fluidi non semper eadem est. Aliis verbis, densitas fluidi mutatur cum comprimitur. Si fluidum non comprimitur, densitas fluidi ex aequatione tollitur, ergo hoc in casu, densitas fluidi in aequatione includitur. Ad aequationem antea derivatam spectantes, aequationem pro fluido compresso derivemus.
Massa fluidi quod intrat aequalis est massae fluidi quod exit, ergo:
m1 m =2
ρ A1 v1 t = ρA2 v2 t
Intervallum fluxus fluidi idem est ut eliminari possit. Aequationes mutantur ad:
ρ A1 v1 = ρA2 v2 → Aequatio 2
Haec est aequatio fluidi compressi. Differentia in densitate fluidi consistit. Si fluidum compressum est, densitas mutatur. Contra, si fluidum non compressum est, densitas semper eadem est, ita ut ex aequatione removeri possit.
Exemplum problematis primi:
Aqua per tubum diametro decem cm celeritate duorum m/s fluit. Quid est fluxus aquae?
Notum:
Diametros tubi = 10 cm
Radius tubi (r) = 5 cm = 0.05 m
Celeritas aquae (v) = 2 m/s
Quaesitum: Debita
solution:
Q = A v
Q = (πr)2) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m)2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m2)(2 m/s)
Q = 0.0157 m3/s
Exemplum problematis primi:
Tubus diametro 20 cm alteri tubo diametro 10 cm coniunctus est. Si celeritas aquae in tubo diametro 20 cm est 4 m/s, quae est celeritas aquae in tubo diametro 10 cm?
Notum:
Diameter 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4m/s
Diameter 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Quaesitum: v1
Responsum:
Q1 Q =2
A1 v1 A =2 v2
(πr12) (4 m/s) = (π r22) (v.)2)
(M 0.1)2 (4 m/s) = (0.05 m)2 (v2)
(M 0.012)(4 m/s) = (0.0025 m2)(v2)
(M 0.043 /s) = (0.0025 m2)(v2)
v2 = 16m/s
