Materia Multiplicationis Punctorum Utens Componentibus Vectoribus Unitariis
Productum scalarem directe calculare possumus si componentes x, y et z vectorum A et B (vectores noti) cognoscimus.
Ad productum scalare hoc modo perficiendum, primum productum scalare vectorum unitarium perficimus, postea vectores A et B in componentibus suis exprimimus, productum descomponimus et productum vectorum unitarium utimur.
Vectores unitarios *i* , *j*, et *k* inter se perpendiculares sunt, quod calculos faciliores reddit. Aequatione multiplicationis scalaris supra derivata ( *AB* = *AB* cos* theta ) utentes, obtinemus:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nunc vectores A et B secundum componentes suos exprimimus, eorum productum dissolvimus et productum vectorum unitariorum utimur.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Quod i . i = j . j = k . k = 1 et i . j = i . k = j . k = 0, tum:
A . B = AxBx (hora sexta et dimidia post meridiem) + AxBy (hora sexta et dimidia post meridiem) + Ax Bz (0) +
AyBx (hora sexta et dimidia post meridiem) + AyBy (hora sexta et dimidia post meridiem) + AyBz (0) +
AzBx (hora sexta et dimidia post meridiem) + AzBy (hora sexta et dimidia post meridiem) + AzBz (1)
A . B = A × B × (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Ex huius calculi resultatis, concludi potest productum scalare sive productum scalare duorum vectorum esse summam productorum similium partium.
Exemplum Quaestionis 1:
Vector magnus A et B respective sunt 5 et 4, ut in imagine infra demonstratur. Angulus formatus est 90°.oNumera id. productum scalare ambo vectores.
Disputatio
Antequam productum scalare vectorum A et B computemus, primum componentes secundi vectoris scire debemus.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vector A tantum componentes vectoriales in axe x et vector B tantum componentes vectoriales in axe y habet. Pars z nulla est quia vectores A et B in plano xy sunt.
Nunc productum scalare inter vectores A et B computamus utens aequatione producti scalaris cum vectoribus componentibus:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Comparemus cum prima methodo.
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Idem est eventus.
Exemplum Quaestionis 2:
Vector magnus A et B sunt 5 et 4 respective, ut in imagine infra demonstratur. Calcula productum scalare ambo vectores, si angulus formatus est 30°o
Disputatio
Antequam productum scalare vectorum A et B computemus, primum componentes secundi vectoris scire debemus.
Pars z nulla est quia vectores A et B in plano xy sunt.
Nunc productum scalare inter vectores A et B computamus utens aequatione producti scalaris cum vectoribus componentibus:
Confer cum prima methodo.
