Materia Multiplicationis Crucis Utens Componentibus Vectoris Unitarii
Productum vectoriale directe calculare possumus si componentes vectorum novimus. Eadem ratio est ac pro producto scalari . Primo, vectores unitarios *i* , *j* , et *k* multiplicamus . Productum vectoriale inter eosdem vectores unitarios est nullum.
i x i = j x j = k x k = 0
Referendo ad aequationem multiplicationis vectoris antea derivatam (A x B = AB peccatum θ) et proprietas anticommutativa multiplicationis vectoris (A x B = - B x A), deinde habemus:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
kx i = – ix k = j
Nunc vectores A et B secundum componentes suos exprimimus , eorum productum dissolvimus et productum vectorum unitariorum utimur.
A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Quod i x i = j x j = k x k = 0 et i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, ita:
A x B = AxBx (hora sexta et dimidia post meridiem) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
Az Bx ( j ) + Az By ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i +(AzBx - Ax Bz)j +(AxBy - AyBx )k
Si C = A × B , tum componentes C sunt hae:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
