Entropia Materia
In disputatione praecedenti, nonnullas sententias specificas legis secundae thermodynamicae perstudivimus. Notandum est has sententias specificas tantum quosdam processus irreversibiles explicare posse. Sententia Clausii translationem caloris tantum eiusque relationem ad principium operationis refrigeratorum explicat. Sententiae Kelvin et Planck ad principium operationis machinarum caloricarum pertinent . Essentialiter, hae duae sententiae ad translationem caloris pertinent. Multi alii processus irreversibiles sunt qui his duabus sententiis explicari non possunt.
Sententia specifica legis secundae thermodynamicae non omnes processus irreversibiles explicare potest, ergo sententia generaliore indigemus. Haec sententia generalis omnes processus irreversibiles qui in universo fiunt explicare exspectatur. Sententia generalis legis secundae thermodynamicae tantum medio saeculo undevicesimo formulata est, per quantitatem quae entropia (S) appellatur. Entropia tamquam mensura perturbationis considerari potest. Quantitas entropiae primum a Clausio introducta est et a cyclo Carnot (machina calorica perfecta) derivata. Secundum Clausium, magnitudo mutationis entropiae quam systema experitur, cum systema calorem additum (Q) temperatura constanti accipit, aequatione exprimitur:
Entropia est quantitas quae statum microscopicum systematis describit et ideo directe metiri non potest. Solum mutationem entropiae examinamus. Similis est mutationi energiae in prima lege thermodynamicae.
Exemplum quaestionis quartae:
Quantitas gasis in vase expansionem adiabaticam subit. Quaenam est mutatio entropiae gasis?
Disputatio
Per processum adiabaticum, nullus calor systema (gas) intrat aut exit. Quoniam Q = 0, ΔS = 0. Entropia systematis constans manet. Quid de compressione adiabatica? Essentialiter idem est. Per compressionem adiabaticam, nullus calor systema intrat aut exit (Q = 0). Ergo, entropia systematis constans est.
Exemplum quaestionis quartae:
Machina Carnot 2000 J caloris ad 500 K accipit, opus perficit et certam quantitatem caloris ad 350 K reicit. Quantitatem caloris reiectam et mutationem entropiae totalem in machina per unum cyclum determina.
Disputatio
Si systema calorem accipit, Q positivum est; si systema calorem emittit, Q negativum est. Systema huius casus est machina Carnot.
Per unum cyclum, machina Carnot duos processus isothermos reversibiles (expansionem isothermam + compressionem isothermam) et duos processus adiabaticos reversibiles (expansionem adiabaticam et compressionem adiabaticam) subit. Per expansionem et compressionem adiabaticas, nullus calor systema intrat aut exit (Q = 0). Quoniam Q = 0, mutatio entropiae per processum adiabaticum = 0 est.
Per expansionem isothermalem, machina 2000 J caloris (Q) ad temperaturam (T) 500 K absorbet. Quia machina calorem absorbet, Q positivum est. Mutatio entropiae machinae per expansionem isothermalem est:
Per compressionem isothermalem, machina 1400 J caloris (Q) ad temperaturam (T) 350 K reicit. Quia machina calorem reicit, Q signum negativum habet. Mutatio entropiae machinae per compressionem isothermalem est:
Mutatio entropiae totalis = 4 J/K - 4 J/K = 0
Exemplum quaestionis quartae:
Machina calorica 600 Joulia caloris (Q) ad temperaturam 300 ° C accipit, opus perficit et certam quantitatem caloris ad temperaturam 100 ° C reicit. Determina quantitatem caloris reiciti et mutationem entropiae totalis in machina per unum cyclum...
Disputatio
T H = 300 K
Q H = 600 J
T L = 100 K
Q L = ?
Per unum cyclum, machina Carnot duos processus isothermos reversibiles (expansionem isothermam + compressionem isothermam) et duos processus adiabaticos reversibiles (expansionem adiabaticam et compressionem adiabaticam) subit. Per expansionem et compressionem adiabaticas, nullus calor systema intrat aut exit (Q = 0). Quoniam Q = 0, mutatio entropiae per processum adiabaticum = 0 est.
Per expansionem isothermalem, machina 600 J caloris (Q) absorbet temperatura (T) 300 K. Quia machina calorem absorbet, Q positivum est. Mutatio entropiae machinae per expansionem isothermalem est:
Per compressionem isothermalem, machina 200 J caloris (Q) ad temperaturam (T) 100 K reicit. Quia machina calorem reicit, Q signum negativum habet. Mutatio entropiae machinae per compressionem isothermalem est:
Mutatio entropiae totalis = 2 J/K - 2 J/K = 0
Ex exemplis quaestionum numero 2 et exempli quaestionum numero 3, apparet mutationem entropiae totalis pro processu reversibili = 0. Aliis verbis, in processu reversibili, entropia totalis semper constans est.
Exemplum quaestionis quartae:
Glacies cubus 2 kg temperaturam 0 ° C habet. Glacies cubus in vase ponitur et soli exponitur. Ob calorem additum ab aere et sole, glacies liquescit. Determina mutationem entropiae glaciei. (Calor fusionis aquae = 3,34 × 10⁵ J /Kg)
Disputatio
Massa glaciei = 2 kg
Temperatura glaciei = 0 ° C + 273°C = 273°K
Calor fusionis aquae = 3,34 × 10⁵ J/Kg
Calor requisitus ad 2 kg glaciei in aquam liquefaciendas:
Q = mL
Q = (2 kg)(3,34 × 10⁵ J /Kg)
Q = 6,68 × 10⁵ J
Q = 668 × 10⁵ J
Dum glacies liquefiunt (aqua), temperatura constans est. Quia temperatura constans est, mutatio entropiae glaciei computatur.
Exemplum quaestionis quartae:
Poculum aquae ad 26 ° C cum poculo aquae ad 22 ° C miscetur. Si massa aquae in poculo = 2 kg est, determina mutationem entropiae aquae. Assume aquam calidam et aquam frigidam in vase clauso et bene insulato misceri. Translatio caloris est processus irreversibilis.
Disputatio
Calor specificus aquae (c) = 4180 J/Kg C₂O₂
Massa aquae = 2 Kg (eadem massa aquae).
Cum massa aquae eadem sit, temperatura finalis mixturae = 24 ° C (26 ° C + 22 ° C / 2 = 48 ° C / 2 = 24 ° C).
Quantitas caloris ab aqua calida emissa cum temperatura eius a 26 ° C ad 24 ° C decrescit:
Q = mc Δ T = (2 kg) (4180 J/kg C o )(26 o C - 24 o C) = (2 Kg) (4180 J/kg C o )(2 o C) = 16720 J
Quantitas caloris ab aqua frigida absorpta cum temperatura eius a 22°C ad 24°C augetur:
Q = mc Δ T = (2 kg) (4180 J/kg C o )(24 o C - 22 o C) = (2 kg) (4180 J/kg C o )(2 o C) = 16720 J
Mutatio entropiae totalis = Mutatio entropiae aquae calidae + mutatio entropiae aquae frigidae
Temperatura media aquae calidae = (26 ° C + 24 ° C) / 2 = 50 ° C / 2 = 25 ° C ‐‐‐‐ 25 + 273 = 298°K
Temperatura media aquae frigidae = (22 ° C + 24 ° C) / 2 = 46 ° C / 2 = 23 ° C ‐‐‐‐ 23 + 273 = 296°K
Aqua calida calorem emittit, ergo Q negativum est. Contra, aqua frigida calorem absorbet, ergo Q positivum est. Memento conventionis signi Q (primae legis thermodynamicae).
Δ S Summa = Δ S aquae calidae + Δ S aquae frigidae
S Total = 56,107 J/K + 56,486 J/K
ΔS Summa = 0,379 J/K
Entropia totalis augetur 0,379 J/K
Quamquam entropia quarundam partium systematis decrescit (‐56,107 J/K), entropia quarundam partium systematis maiore quantitate augetur (+ 56,486 J/K) ita ut entropia totalis semper augeatur (+ 0,379 J/K).
Incrementum entropiae totalis in processu irreversibili non solum ad translationem caloris inter mixturam aquae calidae et frigidae, quam supra analyzavimus, pertinet, sed etiam ad omnes casus a scientificis investigatos. Entropia totalis semper constans manet si processus reversibilis est. Si processus irreversibilis est, entropia totalis semper augetur.
Essentialiter, omnes processus naturales in vita nostra cotidiana irreversibiles sunt, ergo entropia totalis necessario augetur. Hoc factum in sequenti linea summatim describitur:
In processu irreversibili, entropia totalis systematis et circumstantium semper augetur.
Haec sententia litteris italicis scripta est enuntiatio generalis legis secundae thermodynamicae. Lex secunda thermodynamicae aliquantum differt a ceteris legibus physicae. Solent leges physicae exprimi ut aequationes (e.g., leges Newtoni) vel ut leges conservationis (e.g., lex conservationis energiae).
Entropia est mensura perturbationis
Entropia mensura perturbationis haberi potest. Quod ad generale enuntiatum secundae legis thermodynamicae attinet, perturbatio in processibus irreversibilibus augeri solet. Aliis verbis, omnis processus irreversibilis essentialiter ad statum perturbationis ducit. Significatio perturbationis hic fortasse obscura est, itaque exemplis processuum irreversibilium qui in vita cotidiana fiunt explicabitur.
Notandum est notionem entropiae initio tantum cum processibus irreversibilibus, qui mutationes formae energiae et translationem energiae implicant, coniunctam fuisse. Postquam a caule suo liberata est et libere cecidit donec terram tangit, mangifera numquam sursum labitur. Liber quem impellimus deindeque sistimus numquam ad nos redit. Haec sunt exempla processuum irreversibilium, quae ad mutationes formae energiae et translationem energiae ab uno objecto in aliud pertinent. Hi processus una tantum directione fiunt, numquam autem in directione opposita. Mangifera numquam sua sponte sursum labitur, quia energia eius interna in energiam cineticam convertitur . Liber numquam ad nos labitur, quia calor a frictione generatus in energiam cineticam convertitur.
Processus irreversibiles qui in universo fiunt non solum ad mutationes in formis energiae et translatione energiae pertinent. Post ortum, in infantes, pueros, adolescentes, adultos crescimus, deinde senes et putrescunt, et tandem morimur 😉 Vidistine umquam senem in infantem transformari? Numquam… Telephonum mobile quod utimur tempore hebescit et corrumpitur… Nova currus quae initio levis et potens erat minus levis et debilis fit post aliquot annos usus. Vidistine umquam currum vetustum subito iterum novum fieri? Aut telephonum mobile tuum dilectissimum quotidie levius et melius fit? Numquam… Post usum, telephonum mobile hebescit et corrumpitur. Idem est cum curribus… Haec sunt exempla processuum irreversibilium quae nihil ad mutationes in formis energiae et translatione energiae pertinent… Nunc, postquam intelleximus omnes processus naturales qui in universo fiunt esse irreversibiles, conceptus entropiae latior fit. Disputatio non solum processus thermodynamicos amplectitur, sed etiam multos alios processus irreversibiles in universo includit.
Nunc de quibusdam processibus irreversibilibus qui in vita cotidiana fiunt disseramus. Primum, simplicem processum irreversibilem consideremus. Haec tantum introductio est, ut conceptum entropiae eiusque relationem ad processus irreversibiles intelligas.
Exempli gratia, finge te habere plures globulos rubros caeruleosque. Globuli in vase positi sunt. Globuli caerulei in imo ordine dispositi sunt, dum globuli rubri in summo (imago sinistra). Dispositio globulorum tuorum in vase valde ordinata apparet… Imus totus caeruleus est, summus totus ruber.
Deinde, vas sursum deorsumque agitas vel quatis. Quia vas sursum deorsumque movetur, dispositio marmorum, quae initio valde regularis erat, mutatur ut iterum irregularis fiat (imago dextra). Marmora rubra et caerulea miscentur 😉 Quo magis agitas, eo dispositio marmorum magis irregularis fit… Num fieri potest ut, postquam agitata sunt, dispositio marmorum regularis fiat ut antea? Impossibile est… Quaeso demonstra si non credis. Impossibile est marmora regulares fieri ut antea… Hoc exemplum est processus irreversibilis. Postquam processum irreversibilem expertus est, dispositio marmorum, quae initio valde regularis erat, mutatur ut irregularis fiat. Regularitas in irregularitatem mutata est…
Idem in aliis processibus irreversibilibus accidit. Cum rem calidam et rem frigidam tangimus, calor sponte a re calida ad rem frigidam fluet... Calor fluere desinit postquam duo res in contactu eandem temperaturam attingunt. Hic processus irreversibilis est... Initio autem duas dispositiones molecularum habemus, scilicet moleculas quae magnam energiam cineticam mediam habent (moleculae quae rem calidam constituunt) et moleculas quae parvam energiam cineticam mediam habent (moleculae quae rem frigidam constituunt). Postquam res calida et res frigida eandem temperaturam attingunt (moleculae eandem energiam cineticam mediam habent), duas dispositiones molecularum amplius distinguere non possumus. Dispositio molecularum quae initio regularis erat mutatur in irregularem. Similiter dispositioni globulorum supra... Postquam duo res eandem temperaturam attingunt, dispositio regularis molecularum in irregularitatem mutatur (irregularitas crescit propter translationem irreversibilem caloris).
Praeterea, fluxus caloris a re calida ad rem frigidam considerari potest quasi fluxus caloris a regione altae temperaturae ad regionem humilis temperaturae in machina calorica. Fluxus caloris a regione altae temperaturae ad regionem humilis temperaturae permittit machinae caloricae opus perficere. Machina calorica opus perficere non potest sine fluxu caloris. Itaque, relationem inter magnitudinem perturbationis et facultatem operis perficiendi constituere possumus. Postquam eandem temperaturam attingimus, non amplius fluxus caloris est a re calida ad rem frigidam (perturbatio augetur). Cum absentia fluxus caloris machinam caloricam impediat quominus opus perficiat, dicere possumus systema quod opus perficere non potest perturbationem magnam habere, dum systema quod opus perficere potest perturbationem humilem habere...
Ex his eventibus, conclusiones de relatione inter formas energiae et mensuram perturbationis ducere possumus. Fere, forma energiae quae ad opus faciendum adhiberi potest est energia potentialis. Energia potentialis gravitatis aquae ad turbinam movendam adhiberi potest. Energia potentialis chemica in oleo ad vehiculum movendum adhiberi potest. Energia potentialis chemica in corporibus nostris ad opus faciendum, iter faciendum, studendum adhiberi potest… Energia potentialis gravitatis mangi ad fissuram in tecto domus reparandam adhiberi potest 😉 Quia formae energiae utiles ad opus faciendum adhiberi possunt, dicere possumus formas energiae utiles ordinatiores esse, dum formas energiae inutiles inordinatiores. Formae energiae inutilis sunt energia interna et calor… Postquam terram percussit, mangi numquam iterum sursum labitur quia energia interna in energiam cineticam convertitur…
Postquam librum impellimus, liber movetur. Praesentia frictionis librum moveri sistere facit... Hoc in casu, energia cinetica libri in calorem mutata est (calor propter frictionem oritur). Re vera, liber qui quiescit non retrorsum ad nos labitur quia calor in energiam cineticam mutatus est... Haec duo exempla ostendunt calorem duas inutiles formas energiae esse. Inutiles formae energiae ad opus faciendum adhiberi non possunt. Ergo, dicere possumus calorem et energiam internam magnam irregularitatem habere...
Breviter, processus mutationis formae energiae, ab utili forma energiae ad inutilem formam energiae, semper auget perturbationem... In sermone vulgari, entropia semper crescit durante processu mutationis formae energiae... Quia entropia semper crescit cum tempore procedente, omnes formae utiles energiae in formas inutiles mutabuntur. Energia semper conservabitur in processu mutationis formae energiae, sed forma energiae quae ordinata est et ad opus faciendum adhiberi potest in formam irregularem mutatur et ad opus faciendum adhiberi non potest...
Entropia et statistica
Antehac, disseruimus entropiam esse mensuram perturbationis. Omnis processus irreversibilis essentialiter ad statum magnae perturbationis ducit. Haec notio abstracta et obscura videri potest. Ad melius intellegendum conceptum entropiae, methodo statistica uti possumus. Intellectus conceptus entropiae per methodum statisticam primum a Ludovico Boltzmann (1844–1906) adhibitus est.
Initio huius articuli, explicatum est entropiam esse quantitatem quae statum microscopicum systematis describit. Quantitates quae status macroscopicos describunt directe cognosci possunt, quantitates autem quae status microscopicos describunt non possunt. Ad statum microscopicum intellegendum, relationem inter status macroscopicos et microscopicos examinare possumus.
Habesne nummum centum rupiarum? Nummus centum rupiarum duas habet facies: una pars avem Garuda depingit, altera pars verbum "100 rupiae". Exempli gratia, si quadringentos nummos rupiarum habes... si omnes quadringentos nummos rupiarum in solum iacis, quinque eventus diversi uno iactu erunt:
Primo, omnes imagines avis Garudae apparent (4 imagines);
Secundo, tres imagines avis Garuda apparent, una scriptura centum rupiarum (tres imagines, una scriptura);
Tertio, duae imagines avis Garuda apparent, duo verba centum rupiae (duae imagines, duo verba);
Quarto, una imago avis Garuda apparet, tria verba centum rupiae apparent (una imago, tria verba);
Quinto, verba "centum rupiae" apparent (quattuor verba)...
Has quinque imagines vel scripturas possibiles status macroscopicos (macro = magnum) appellamus. Contra, si quattuor nummos ut imagines vel scripturas repraesentamus, status microscopicos (micro = parvum) declaramus.
In uno iactu, sunt sedecim status microscopici possibiles (quisque nummus duas occasiones habet. Quattuor nummi sedecim occasiones habent = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 × 4 = 16). Maxima probabilitas est ut duae imagines et duae scriptae appareant (sex status microscopici possibiles sunt ex summa sedecim statuum microscopicorum - 6/16 x 100% = 37,5%). Ex altera parte, minima probabilitas est ut quattuor imagines vel quattuor scriptae appareant (quaeque unum statum microscopicum possibilem habet - 1/16 x 100% = 6,25%). Quod hic discutimus est tantum casus vel probabilitas... Si nummos sedecim vicibus iacimus, non certum est duas imagines et duas scripta sexies apparituras esse. Sed si nummos milies iacimus, probabilitas duarum imaginum et duarum scripturarum apparentium ad 37,5% appropinquare potest.
Melius est demonstrare... Quaeso, quadringentos nummos rupiarum centies iacta (mille si potes 😉). Data uno iactu obtenta nota... Postquam nummos centies iactaveris, invenies duas imagines et duas scripta saepissime apparere. Quo maior numerus iactuum, eo probabilitas duas imagines et duas scripturas obtinendi ad 37,5% numeri totius iactuum appropinquat.
Antehac tantum quattuor nummos inspeximus. Si numerum nummorum augemus, numerus statuum microscopicorum augetur. Exempli gratia, habemus 100 nummos… Uno iactu, sunt 2 × 100 = 1,27 × 10⁻³ status microscopici possibiles… Maxima probabilitas est ut 50 imagines et 50 scripta appareant (Sunt 1,01 × 10⁻² status microscopici possibiles ex summa 1,27 × 10⁻³ statuum microscopicorum). Contra, minima probabilitas est ut 100 imagines vel 100 scripta appareant (Unaquaeque tantum unum statum microscopicum possibilem habet ex summa 1,27 × 10⁻³ statuum microscopicorum). Valde parva et paene impossibilis… Si habemus 1000 nummos, probabilitas 1000 imaginum vel 1000 scripturarum apparentium est scilicet etiam minor et magis magisque impossibilis.
Ut hoc ad notionem entropiae referamus, assumere possumus omnes imagines vel totum textum in ordine esse, dum dimidia pars imaginum et dimidia pars textus in ordine irregulari sunt. Quo maior numerus nummorum, eo minor fit probabilitas vel casus ordinationem (omnium imaginum vel totius textus) obtinendi, et paene impossibile fit. Contra, dispositio irregularis (dimidia pars imaginum et dimidia pars textus) multo maiorem probabilitatem vel casum habet. Ex hoc resultato, apparet irregularitatem arcte cum probabilitate coniunctam esse. Status probabilissimus est status irregularis, dum status improbabilis est status ordinatus.
Enuntiatum generale legis secundae thermodynamicae, quod antea tractavimus, dicit entropiam, sive perturbationem, semper crescere in omni processu irreversibili. Haec enuntiatio legis secundae thermodynamicae intelligi potest ut enuntiatio probabilitatis. Hoc significat omnem processum in universo occurrentem eum esse qui maximam probabilitatem vel occasionem habet. Lex secunda thermodynamicae non prohibet decrementum entropiae in omni processu irreversibili, sed probabilitas est minima, immo paene impossibilis. Contra, augmentum entropiae probabilitatem multo maiorem habet. Numerus denariorum quem antea consideravimus tantum 100 erat… re vera, sunt 6,02 x 10²³ moleculae in una mole … hic numerus est magnus. Status microscopici possibiles huius numeri utique magni sunt, ergo probabilitas ordinis est minima, paene impossibilis…
Si vitrum in solum demittimus, fragmenta vitri in solo dispersa iterum congregari et totum vitrum, ut antea, formare possunt. Sed tam parva est haec probabilitas ut fieri non possit... cum vitrum adhuc integrum est, positio molecularum magis ordinata est. Cum vitrum cadit donec frangatur ita ut fragmenta vitri in solo dispergantur, positio molecularum inordinata fit. Tam parva est haec probabilitas ut ad ordinem redire moleculas vitri iterum congregari expectare non possit. Si rem calidam et rem frigidam tangimus, calor sponte a re calida ad rem frigidam fluet... res calidae moleculas habent quae temere et celeriter moventur, contra motus molecularum quae res frigidas constituunt non est valde celer. Probabilitas harum molecularum celeriter moventium inter se impingendi vel ad rem frigidam transiendi multo maior est quam probabilitas molecularum quae lente moventur... quicumque celer est, id accipit 😉 Calor a re frigida ad rem calidam moveri potest, sed multo minor est haec probabilitas.
Globuli caerulei et rubri in illustratione supra ad ordinem pristinum et regularem redire possunt. Sed probabilitas ad ordinem ordinatum revertendi multo minor est. Dispositio inordinata multo maiorem habet probabilitatem. Similiter, cum libera expansione quam gas in vase clauso patitur, vas duas cameras habet, ubi duae camerae impedimento separantur. Initio, gas in camera sinistra est. Cum impedimentum removetur, moleculae gasis confluunt ut in cameram dextram transeant. Camera dextra vacua est, dum camera sinistra moleculas continet quae temere moventur. Cum impedimentum removetur, moleculae magnam habent probabilitatem transeundi in cameram vacuam. Postquam moleculae totum volumen vasis quod duas cameras habet implent, estne possibile ut omnes moleculae cameram sinistram iterum impleant? Fieri potest, sed probabilitas minima est. In una mole sola, sunt 6,02 x 10²³ moleculae ... probabilitas ut omnes moleculae in camera sinistra sint est una in decies centena milia possibilitatum. Una in decies centena milia est probabilitas minima et paene impossibilis...
Lex secunda thermodynamicae nobis dicit omnem processum in universo occurrentem esse processum maxime probabilem. Directio qua processus in natura procedit (versus maiorem entropiam) casu vel probabilitate determinatur... perturbatio multo maiorem probabilitatem eveniendi habet et ideo magis probabile est ut eveniat...
Entropia = sagitta temporis
Entropia etiam sagitta temporis appellatur, quia nobis indicat quo tempore tempus transit. Directio cuiusque processus naturalis est ad inordinationem. Si contrarium observamus, id est, ipsam inordinationem in ordinem mutantem, dicere possumus eventum inversum esse. Si fragmenta vitri dispersa in solo iterum congregari et totum vitrum iterum formare videmus, dicere possumus eventum inversum esse. Hoc numquam in vita nostra quotidiana accidit, et si accideret, secundam legem thermodynamicae violaret. Hoc in casu, tempus numquam retro movetur et inordinatio numquam sponte in ordinem mutatur. Eventus probabilissimus et constans in vita nostra est ut ordo semper ad inordinationem moveatur; tempus semper progreditur, non retro movetur. Si senex in infantem mutatur, hoc abnormale et violationem secundae legis thermodynamicae consideraremus.
