Exemplum quaestionis disputationis de derivativo functionis algebraicae
Derivatio in calculo est notio fundamentalis adhibita ad describendum quomodo functio mutatur, vel inclinationem functionis in puncto quodam. Derivationes utiles sunt in variis campis, ut physica, oeconomia, et arte ingeniaria, quia informationem de ratione mutationis praebent. In hoc articulo, exempla aliquot derivatorum functionum algebraicarum et quomodo ea solvenda sint, tractabimus.
Exemplum 1: Derivatio Functionis Polynomialis
Quaestio: Data functione f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7). Derivatum functionis determina!
Solutio:
Utente regula fundamentali derivatorum functionum polynomialium, scilicet \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), derivativum cuiusque termini functionis singillatim calculabimus.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3- 5x^2 + 2x-7\\
f'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) & = 3 ∫3x^{3-1} – 5 ∫2x^{2-1} + 2 ∫1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) & = 9x^2 – 10x + 2.
\end{align}
\]
Ergo, derivativum functionis (f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7) est (f'(x) = 9x^2 – 10x + 2)).
Exemplum II: Derivatio Functionis cum Exponentibus Fractionalibus
Quaestio: Derivatum functionis g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} determina.
Solutio:
Eadem regula derivationis utens, id est \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) & = x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) & = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) & = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align}
\]
Ergo, derivativum functionis (g(x) = x^{3/2} + x^{1/2}) est (g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}).
Exemplum III: Derivatae Functionum Exponentialium et Trigonometricarum
Quaestio: Derivatum functionis h(x) = e^x ∫sin(x) determina.
Solutio:
Ad hanc derivationem solvendam, Regula Producti nobis opus est, quae statuit (uv)' = u'v + uv'). Ponamus (u(x) = e^x) et (v(x) = sin(x)), tum:
\[
\begin{align}
u'(x) & = e^x, & \text{quia derivativum } e^x \text{est } e^x \\
v'(x) & = ∫cos(x), & ∫quia derivativum functionis ∫sin(x) ∫est ∫cos(x).
\end{align}
\]
Regula derivata pro productis utendo:
\[
\begin{align}
h'(x) & = (e^x ∫sin(x))'
& = e^x ∫(sin(x))' + sin(x) ∫(e^x)'
& = e^x ∫cos(x) + sin(x) ∫e^x
& = e^x (cos(x) + sin(x)).
\end{align}
\]
Ergo, derivativum functionis h(x) = e^x / sin(x) est h'(x) = e^x (cos(x) + sin(x)).
Exemplum IV: Derivatio Functionis Regula Catenae Adhibens
Quaestio: Derivatum functionis k(x) = (3x² – x + 4)⁵ determina.
Solutio:
Ad hanc derivationem solvendam, regulam concatenationis requirimus, scilicet \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Ponamus \(u(x) = 3x^2 – x + 4 \) et \(f(u) = u^5 \), tum:
\[
\begin{align}
k(x) & = (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) & = 3x^2 – x + 4, & \text{ita} \\
k(x) et = f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) & = 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) & = \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
& = 6x – 1.
\end{align}
\]
Regula catenae utens:
\[
\begin{align}
k'(x) & = 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
& = 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align}
\]
Ergo, derivativum functionis k(x) = (3x² – x + 4)⁵ est k'(x) = 5 (3x² – x + 4)⁴ (6x – 1)).
Exemplum V: Derivatio Functionis cum Identitatibus Trigonometricis
Quaestio: Derivatum functionis \(m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\) determina.
Solutio:
Regula derivativa pro productis utemur. Ponamus ∫u(x) = ∫sin(x) et ∫v(x) = ∫cos(x)), tum:
\[
\begin{align}
u'(x) & = ∫cos(x), \\
v'(x) & = -sin(x).
\end{align}
\]
Regula derivata pro productis utendo:
\[
\begin{align}
m'(x) & = (sin(x) ∫cos(x))'
& = (sin(x))' ∫cos(x) + sin(x) ∫cos(x))'
& = cos(x) ∫cos(x) + sin(x) ∫(-sin(x))
& = cos²(x) – sin²(x).
\end{align}
\]
Utentibus identitate trigonometrica (cos(2x) = cos²(x) – sin²(x)):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Ergo, derivativum functionis (m(x) = sin(x) ∫cos(x)) est (m'(x) = cos(2x)).
conclusio
Derivatio functionis algebraicae est notio fundamentalis in calculo, magni momenti et utilis in variis applicationibus. Variae regulae derivationis, ut regula derivationis fundamentalis, regula producti, regula concatenationis, et regulae derivationum trigonometricarum, omnes adiuvant in calculandis derivationibus functionum magis complexarum. Intellegendo exempla supra et exercitando problemata, intellegentiam et artem nostram in capiendis derivationibus functionum algebraicarum augere possumus.
