Тартылуу борбору же масса борбору физика жана инженерияда объектинин тең салмактуулугун жана туруктуулугун аныктоо үчүн колдонулган негизги түшүнүк. Тартылуу борбору - бул объектинин массасы топтолгон деп эсептелген жана тартылуу күчү таасир этет деп болжолдонгон чекит. Бул түшүнүктү түшүнүү имараттын конструкциялык дизайнынан баштап объектинин кыймылын талдоого чейинки ар кандай колдонмолордо маанилүү. Бул макалада тартылуу борборунун аныктамасы, ар кандай объект формалары үчүн тартылуу борборун кантип эсептөө жана бул түшүнүктү тактоо үчүн бир нече мисал маселелер талкууланат.
Тартылуу борборунун аныктамасы
Тартылуу борбору (масса борбору) – бул күчтөрдү жана моменттерди эсептөө максатында объекттин бүт массасы топтолгон деп эсептелүүчү объекттеги чекит. Декарттык координаттар системасында, массасы бөлүштүрүлгөн объекттин тартылуу борборун төмөнкү формула менен эсептөөгө болот:
\[
x_{\text{cm}} = \frac{\sum (x_i \cdot m_i)}{\sum m_i}
\]
\[
y_{\text{cm}} = \frac{\sum (y_i \cdot m_i)}{\sum m_i}
\]
\[
z_{\text{cm}} = \frac{\sum (z_i \cdot m_i)}{\sum m_i}
\]
мында \( (x_i, y_i, z_i) \) массалык элементтин \( m_i \) координаттары болуп саналат.
Ар кандай формадагы объектилер үчүн тартылуу борбору
1. Бир тектүү объектилердин тартылуу борбору
Бир тектүү объектилер үчүн (тыгыздыгы бирдей) оордук борборун жөнөкөй жол менен аныктоого болот. Мисалы:
– Ичке таякча: Узундугу \( L \) болгон ичке, бир тектүү таякчанын оордук борбору таякчанын ортосунда, тактап айтканда, \( x = \frac{L}{2} \) жайгашкан.
– Тик бурчтуу плита: Узундугу \( L \) жана туурасы \( W \) болгон бир тектүү тик бурчтуу плитанын оордук борбору диагоналдардын кесилишинде, тактап айтканда, \( x = \frac{L}{2} \) жана \( y = \frac{W}{2} \) жерлерде жайгашкан.
– Үч бурчтуу пластина: Бир тектүү үч бурчтуу пластинанын оордук борбору үч бурчтуктун ар бир медианасынын үчтөн бир бөлүгүндө жайгашкан. Чоку координаталары \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) жана \( C(x_3, y_3) \) болгон үч бурчтук үчүн:
\[
x_{\text{cm}} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}
\]
\[
y_{\text{cm}} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}
\]
2. Бир тектүү эмес объектилердин тартылуу борбору
Бир тектүү эмес объектилер үчүн (тыгыздыгы бирдей эмес), тартылуу борбору объектини кичинекей массалык элементтерге бөлүү жана алардын тартылуу борборун интегралдык формуланы колдонуу менен эсептөө керек. Мисалы, тыгыздыгы өзгөрүлмө объект үчүн \( \rho(x, y, z) \):
\[
x_{\text{cm}} = \frac{\int x \cdot \rho(x, y, z) \, dV}{\int \rho(x, y, z) \, dV}
\]
\[
y_{\text{cm}} = \frac{\int y \cdot \rho(x, y, z) \, dV}{\int \rho(x, y, z) \, dV}
\]
\[
z_{\text{cm}} = \frac{\int z \cdot \rho(x, y, z) \, dV}{\int \rho(x, y, z) \, dV}
\]
Тартылуу борбору боюнча мисал суроолор
1-мисал суроо: Ичке таякчанын оордук борбору
Суроо:
Узундугу 10 метр болгон ичке, бир тектүү таякчанын оордук борборун эсептегиле.
Чечим:
Стержен бир тектүү болгондуктан, оордук борбору стержендин ортосунда жайгашкан:
\[
x_{\text{cm}} = \frac{L}{2} = \frac{10 \, \text{m}}{2} = 5 \, \text{m}
\]
Демек, ичке таякчанын оордук борбору таякчанын бир учунан 5 метр алыстыкта жайгашкан.
2-мисал суроо: Тик бурчтуу плитанын оордук борбору
Суроо:
Узундугу 8 метр жана туурасы 4 метр болгон бир тектүү тик бурчтуу плитанын оордук борборун эсептегиле.
Чечим:
Бир тектүү тик бурчтуу пластинанын оордук борбору диагоналдардын кесилишинде жайгашкан, атап айтканда:
\[
x_{\text{cm}} = \frac{L}{2} = \frac{8 \, \text{m}}{2} = 4 \, \text{m}
\]
\[
y_{\text{cm}} = \frac{W}{2} = \frac{4 \, \text{m}}{2} = 2 \, \text{m}
\]
Демек, тик бурчтуу плитанын оордук борбору (4 м, 2 м) болот.
3-мисал суроо: Үч бурчтуу плитанын оордук борбору
Суроо:
Чокулары (A(0, 0)), (B(6, 0)) жана (C(3, 6)) координаталарында жайгашкан бир тектүү үч бурчтуу пластинанын оордук борборун эсептегиле.
Чечим:
Бир тектүү үч бурчтуу пластинанын оордук борборун төмөнкү формула менен эсептеп алууга болот:
\[
x_{\text{cm}} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{0 + 6 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3 \, \text{m}
\]
\[
y_{\text{cm}} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = \frac{0 + 0 + 6}{3} = \frac{6}{3} = 2 \, \text{m}
\]
Демек, үч бурчтуу пластинанын оордук борбору (3 м, 2 м) болот.
4-мисал суроо: Бөлүкчөлөр системасынын тартылуу борбору
Суроо:
Система ар биринин массасы бирдей 2 кг болгон үч бөлүкчөдөн турат, алар ((1, 2)), (3, 4)) жана ((5, 6)) координаталарында жайгашкан. Бөлүкчөлөр системасынын оордук борборун эсептегиле.
Чечим:
Бөлүкчөлөрдүн массалары бирдей болгондуктан, тартылуу борборун эсептөө үчүн жөнөкөй формуланы колдонсок болот:
\[
x_{\text{cm}} = \frac{\sum (x_i \cdot m_i)}{\sum m_i} = \frac{(1 + 3 + 5) \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{9}{3} = 3 \, \text{m}
\]
\[
y_{\text{cm}} = \frac{\sum (y_i \cdot m_i)}{\sum m_i} = \frac{(2 + 4 + 6) \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{12}{3} = 4 \, \text{m}
\]
Демек, бөлүкчөлөр системасынын оордук борбору (3 м, 4 м) болот.
Корутунду
Тартылуу борбору физика жана инженериядагы маанилүү фундаменталдык түшүнүк болуп саналат. Ар кандай формадагы объектилер жана бөлүкчөлөр системалары үчүн тартылуу борборун кантип эсептөөнү түшүнүү тең салмактуулукту жана туруктуулукту талдоо үчүн абдан маанилүү. Бул макалада тартылуу борборунун аныктамасы, бир тектүү жана бир тектүү эмес объектилер үчүн тартылуу борборун кантип эсептөө керектиги талкууланып, бул түшүнүктү тактоого жардам берүүчү бир нече мисал маселелер келтирилген.
Күнүмдүк жашоодо тартылуу борборун түшүнүү имараттарды долбоорлоодон баштап технологияны иштеп чыгууга чейин ар кандай колдонмолордо өтө пайдалуу. Тартылуу борборунун түшүнүгүн түшүнүү жана колдонуу менен биз туруктуураак жана коопсузураак конструкцияларды долбоорлоп, объектинин кыймылынын динамикасын жакшыраак түшүнө алабыз.
