Векторлор физикадагы маанилүү түшүнүк болуп саналат жана чоңдуктарды багыты жана чоңдугу менен көрсөтүү үчүн колдонулат. Физикада векторлор көбүнчө күч, ылдамдык, ылдамдануу жана башкалар сыяктуу ар кандай кубулуштарды сүрөттөө үчүн колдонулат. Бул макалада физикалык вектордук маселелердин бир нече мисалдары, ошондой эле алардын чечимдери жана түшүндүрмөлөрү талкууланат.
1. Вектордук кошуу жана кемитүү
1-мисал суроо:
\(\mathbf{A}\) жана \(\mathbf{B}\) эки вектору төмөнкүдөй берилген:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
Эсептеңиз:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)
Чечим:
Эки векторду кошуу үчүн, алардын компоненттерин өз-өзүнчө кошобуз.
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) – (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
Ошентип, натыйжасы:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
2. Скалярдык көбөйтүү (чекиттик көбөйтүү)
2-мисал суроо:
\(\mathbf{C}\) жана \(\mathbf{D}\) эки вектору төмөнкүдөй берилген:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\(\mathbf{C}\) жана \(\mathbf{D}\) скалярдык көбөйтүндүсүн (чекиттик көбөйтүндү) эсептегиле.
Чечим:
\(\mathbf{C}\) жана \(\mathbf{D}\) эки векторунун скалярдык көбөйтүндүсү:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
Демек, \(\mathbf{C}\) жана \(\mathbf{D}\) скалярдык көбөйтүндүсүнүн жыйынтыгы 26га барабар.
3. Кайчылаш продукт
3-мисал суроо:
\(\mathbf{E}\) жана \(\mathbf{F}\) эки вектору төмөнкүдөй берилген:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
\(\mathbf{E}\) жана \(\mathbf{F}\) функцияларынын кайчылаш көбөйтүндүсүн эсептегиле.
Чечим:
\(\mathbf{E}\) жана \(\mathbf{F}\) эки векторунун кайчылаш көбөйтүндүсүн матрицалык детерминанттын жардамы менен эсептесе болот:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 жана 2 жана 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}
\]
Матрицанын детерминантын эсептегиле:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2) \cdot
\]
\[
= \mathbf{i} (12 – 15) – \mathbf{j} (6 – 12) + \mathbf{k} (5 – 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
Ошентип, \(\mathbf{E}\) жана \(\mathbf{F}\) кайчылаш көбөйтүндүсүнүн жыйынтыгы төмөнкүдөй:
\[
\mathbf{E} \times \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
4. Вектордук чоңдук
4-мисал суроо:
\(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\ вектору берилген. \(\mathbf{G}\) векторунун чоңдугун (узундугун) эсептегиле.
Чечим:
\(\mathbf{G}\) векторунун чоңдугун төмөнкү формула менен эсептесе болот:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
Демек, \(\mathbf{G}\) векторунун чоңдугу 5ке барабар.
5. Вектордук чечилиш
5-мисал суроо:
\(\mathbf{H}\) векторунун чоңдугу 10 бирдикке барабар жана x огу менен 30° бурч түзөт. \(\mathbf{H}\) векторунун x жана y огу боюнча компоненттерин аныктагыла.
Чечим:
x (\(\mathbf{H}_x\)) жана y (\(\mathbf{H}_y\)) окторундагы \(\mathbf{H}\) векторунун компоненттерин тригонометриянын жардамы менен эсептөөгө болот:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \син(\тета)
\]
\(|\mathbf{H}| = 10\) жана \(\theta = 30°\) менен:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \sin(30°)
\]
\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) жана \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\ маанилери:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
Ошентип, \(\mathbf{H}\) векторунун компоненттери:
\[
\mathbf{H}_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
\mathbf{H}_y = 5
\]
Корутунду
Бул макалада биз физикадагы векторлорго байланыштуу бир нече мисал маселелерди талкууладык, алардын ичинде векторлорду кошуу жана кемитүү, скалярдык жана кайчылаш көбөйтүү, вектордун чоңдугу жана чечилиши сыяктуу. Векторлордун түшүнүгүн жана иштешин түшүнүү физикада абдан маанилүү, анткени көптөгөн жаратылыш кубулуштарын векторлордун жардамы менен түшүндүрүүгө болот. Бул мисал маселелер сизге векторлор түшүнүгүн тереңирээк түшүнүүгө жардам берет деп үмүттөнөбүз.
