Sîstema Hejmarên Rastîn
Sîstema hejmarên rastîn yek ji têgehên herî bingehîn ên matematîkê ye, ku ji bo îfadekirina hema hema hemî mîqdarên ku em di jiyana rojane de pê re rû bi rû dimînin tê bikar anîn, ji dirêjahî û giraniyê bigire heya germahî, leza û demê. Hejmarên rastîn bingeha şaxên cûrbecûr ên matematîkê ne wekî cebir, geometrî, hesab û îstatîstîk, û her weha zimanê sereke yê zanist û endezyariyê ne. Fêmkirina sîstema hejmarên rastîn tê wateya fêmkirina ka hejmar çawa têne dabeş kirin, ew çawa bi hev ve girêdayî ne, û taybetmendiyên wan çawa dihêle ku em hesab û modelan bi domdarî pêk bînin.
Têgihîştina Hejmarên Rastîn
Hejmarên rastîn koma hemû hejmaran in ku dikarin li ser xeta hejmaran werin danîn. Ev hem hejmarên rasyonel û hem jî yên nerasterast dihewîne. Bi awayekî întuîtîv, hejmarên rastîn hemû hejmarên ku dikarin wekî "nirxa" mîqdarek domdar werin îfade kirin dihewîne, bo nimûne, dirêjahiya maseyek dikare 1 metre, 1,5 metre, an jî 1,414213 metre be.
Koma hejmarên rastîn bi gelemperî bi sembola ℝ tê destnîşankirin. Her hejmareke rastîn li ser xeta hejmaran xwedî cihekî bêhempa ye, çi neyînî be, sifir be, an erênî be.
Dabeşkirina Hejmaran di Sîstema Hejmarên Rastîn de
Sîstema hejmarên rastîn bi tena serê xwe tune ye. Ew berfirehkirina sîstemeke hejmaran a hêsantir e. Ji bo fêmkirina wê, divê em li dabeşkirina hejmarên ku wê pêk tînin binêrin.
1. Hejmarên Xwezayî
Hejmarên xwezayî bi gelemperî bi ℕ têne destnîşankirin. Ev hejmar ji bo jimartina tiştan têne bikar anîn û bi gelemperî ev in:
1, 2, 3, 4, 5,…
Di hin pênaseyan de, 0 jî di nav hejmarên xwezayî de cih digire, lê di pratîka perwerdehiyê de, pir caran cudahî di navbera hejmarên tevahî û hejmarên xwezayî de tê kirin.
2. Hejmarên Tevahî
Hejmarên tevahî hejmarên xwezayî û sifirê vedihewînin:
0, 1, 2, 3, 4,…
Hejmarên tevahî kêrhatî ne dema ku em hewce ne ku di çarçoveya jimartinê de "tiştek" (sifir) îfade bikin.
3. Hejmarên tam
Hejmarên tam bi ℤ têne destnîşankirin û hejmarên tam û neyîniyên wan dihewînin:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Hejmarên tevahî ji bo îfadekirina rewşên ku rêwerz an nirxên "di bin sifirê de" vedihewînin girîng in, wekî germahiyên di bin sifirê de, deyn, an bilindahiyên di bin asta deryayê de.
4. Hejmarên Rasyonel
Hejmarên rasyonel bi ℚ têne nîşankirin. Ev hejmar hejmarek e ku dikare bi şiklê perçeyî were nivîsandin:
\[
\frac{p}{q}
\]
bi hejmarên tam ên \(p\) û \(q\), û \(q \neq 0\).
Nimûneyên hejmarên rasyonel:
– \(\frac{1}{2} = 0,5\)
– \(\frac{3}{4} = 0,75\)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– 2 dikare wekî \(\frac{2}{1}\) were nivîsandin
Taybetmendiyeke girîng a hejmarên rasyonel ew e ku forma wan a desimal bi dawî dibe an jî dubare dibe. Bo nimûne:
– 0,25 rawestgeh
– 0,333… dubarekirin
5. Hejmarên Nerasyonel
Hejmarên neaqil hejmarên rastîn in ku nikarin bi şiklê \(\frac{p}{q}\) werin îfade kirin ku \(p\) û \(q\) hejmarên tam in. Şiklê desimal ranaweste û dubare nabe.
Mînakên hejmarên ne irasyonel:
– \(\sqrt{2} = 1,41421356…\)
– \(\pi = 3,14159265…\)
– \(e = 2,7182818…\)
Hejmarên neaqil gelek caran di geometrî (mînak, koka çargoşe ya diyagonalê) û analîza matematîkî de xuya dibin.
6. Hejmarên Rastîn
Hejmarên rastîn tevlîheviyek ji hejmarên rasyonel û irasyonel in:
\[
\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\text{îrrasyonel})
\]
Bi gotineke din, hemû hejmarên ku dikarin li ser xêza hejmaran werin temsîlkirin hejmarên rastîn in.
Xêza Hejmaran û Têgeha Tîrbûnê
Yek ji baştirîn rêbazên têgihîştina hejmarên rastîn, rêya xeta hejmaran e. Li ser vê xetê, her xal hejmareke rastîn temsîl dike. Bi balkêşî, di navbera her du hejmarên rastîn de, her gav hejmareke din a rastîn heye. Mînakî, di navbera 1 û 2 de 1,5 e; di navbera 1,5 û 2 de 1,75 e; û bi vî awayî bêdawî berdewam dike.
Ev taybetmendî wekî tîrbûn tê zanîn. Hem hejmarên rasyonel û hem jî yên irasyonel li ser xeta hejmaran bi heman rengî tîr in: di navbera her du hejmarên rastîn de, bêdawî hejmarên rasyonel û bêdawî hejmarên irasyonel hene.
Operasyonên bingehîn li ser hejmarên rastîn
Hejmarên rastîn piştgirî didin operasyonên bingehîn ên matematîkî yên jêrîn:
1. Komkirin: \(a + b\)
2. Jêbirin: \(a – b\)
3. Pirkirin: \(a \car b\)
4. Dabeşkirin: \(a \div b\), bi şerta \(b \neq 0\)
Van operasyonan de taybetmendiyên girîng hene wekî:
– Komutatîf: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– Hevgirêdayî : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– Belavkirî: \(a(b + c) = ab + ac\)
- Xwedî nirxek e: 0 ji bo komkirinê, 1 ji bo pirkirinê
– Berevajîyek heye: \(-a\) ji bo komkirinê, \(\frac{1}{a}\) ji bo pirkirinê (ji bo \(a \neq 0\))
Ev taybetmendî hejmarên rastîn wekî sîstemek ji bo hesabkirinê pir stabîl dikin.
Rêz û Nirxa Mutleq
Hejmarên rastîn jî têkiliyek rêzê hene. Em dikarin du hejmarên rastîn bi nîşana jêrîn bidin ber hev:
– \(<\) biçûktir e - \(>\) mezintir e
– \(\le\) kêmtir an jî wekhev e
– \(\ge\) mezintir an jî wekhev e
Wekî din, têgeha nirxa mutleq heye ku dûrahiya hejmarekê ji sifirê nîşan dide:
\[
|a| =
\destpêkirin{rewş}
a, & \text{eger } a \ge 0 \\
-a, & \text{eger } a < 0 \end{cases} \] Bo nimûne, \(|-5| = 5\) û \(|3| = 3\).
