Hejmarên Tam û Taybetmendiyên Wan
Hejmarên tam yek ji têgehên herî bingehîn ên matematîkê ne, lê ew di jiyana rojane de roleke girîng dilîzin. Dema ku em tiştan dihejmêrin, germahiyên di bin sifirê de diyar dikin, hejmara qatan di jêrzemînê de hesab dikin, an jî qezenc û windahiyên di karsaziyekê de tomar dikin, em di rastiyê de bi hejmarên tam re mijûl dibin. Fêmkirina hejmarên tam û taybetmendiyên wan dê fêrbûna hesab, cebir û têgehên matematîkî yên asta bilindtir hêsantir bike.
Pênasîna Hejmarên Tam
Hejmarên tam komek hejmaran in ku ji hejmarên tam ên neyînî, sifir, û hejmarên tam ên erênî pêk tên. Sembola ku pir caran ji bo temsîlkirina koma hejmaran tê bikar anîn Z ye (ji peyva almanî Zahlen, ku tê wateya "hejmar") hatiye wergirtin. Bi gelemperî, hejmarên tam dikarin wekî:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Berevajî hejmarên tevahî ku tenê 0 û hejmarên erênî dihewînin, hejmarên tevahî hejmarên neyînî dihewînin, ji ber vê yekê ew di ravekirina rewşên cûrbecûr de bêkêmasîtir in.
Nimûneyên Hejmarên Tam di Jiyana Rojane de
Hejmarên tam bi çalakiyên mirovan ve girêdayî ne. Hin mînakên karanîna wan ev in:
1. Germahiya hewayê: Germahiya -5°C nîşan dide ku germahî 5 pileyan di bin sifirê de ye.
2. Bilindahî: Bilindahiya -20 metreyan dikare were wateya cihekî ku 20 metre li jêr asta deryayê ye.
3. Darayî: Bîlançoya -50.000 deyn an jî kêmasiya 50.000 nîşan dide.
4. Qatên avahiyê: Qatên -1 an -2 bi gelemperî ji bo jêrzemînan têne bikar anîn.
5. Pûana lîstikê: Di hin lîstikan de, pûan dikare zêde bibe an kêm bibe, bi vî rengî hejmarên erênî û neyînî dihewîne.
Ji van mînakan tê dîtin ku hejmarên tam alîkariya me dikin ku rewşên "ji zêdetir", "kêmtir ji", an "wekhev" bi sifirê wekî xala referansê îfade bikin.
Xêza Hejmarên Tevahî
Ji bo fêmkirina hejmarên tevahî, em gelek caran xêza hejmaran bi kar tînin. Xêza hejmaran xêzeke rast e ku hejmaran di pozîsyonên taybetî de datîne:
- Hejmarên erênî li rastê sifirê ne.
- Hejmarên neyînî li milê çepê sifirê ne.
- Nirx her ku ber bi rastê ve be, ew qas mezintir dibe.
- Her ku ber bi çepê ve diçe, nirx kêmtir dibe.
Bi xêza hejmaran, em dikarin bi hêsanî hejmarên tevahî bidin ber hev. Bo nimûne, -2 ji -5 mezintir e ji ber ku -2 ji -5 ber bi rastê ve ye.
Taybetmendiyên hejmarên tam
Hejmarên tam di operasyonên matematîkî de xwedî çend taybetmendiyên girîng in. Ev taybetmendî dema ku em hesaban dikin, îfadeyên cebrî hêsan dikin, an jî têgehan îspat dikin pir bikêr in.
1. Xwezaya Girtî (Girtin)
Koma hejmarên tam di bin hin operasyonan de girtî ye, ev tê vê wateyê ku heke em wan operasyonan li ser hejmarên tam bikin, encam dê dîsa jî hejmarek tam be.
- Komkirin: Ger a û b hejmarên tam bin, wê demê a + b jî hejmarên tam in.
Mînak: -3 + 7 = 4
– Jêbirin: Ger a û b hejmarên tam bin, wê demê a − b jî hejmarên tam in.
Mînak: 5 − 12 = -7
- Pirkirin: Ger a û b hejmarên tam bin, wê demê a × b jî hejmarên tam in.
Mînak: (-4) × 6 = -24
Lêbelê, hejmarên tam her gav li hember dabeşkirinê girtî nînin, ji ber ku encama dabeşkirinê dikare perçeyek be.
Mînak: 1 ÷ 2 = 1/2 (ne hejmareke tevahî ye).
2. Taybetmendiya Komutatîf (Guhertin)
Taybetiya komutatîf tê vê wateyê ku rêza hejmaran dikare bêyî guhertina encamê were guheztin.
- Komkirin: a + b = b + a
Mînak: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
- Pirbûn: a × b = b × a
Mînak: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
Girîng e ku meriv ji bîr neke ku jêkirin û dabeşkirin ne komutatîf in.
Mînak: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. Taybetmendiyên Hevgirtî (Komkirin)
Taybetmendiya hevkarî tê vê wateyê ku awayê komkirina hejmaran di operasyonekê de encamê naguherîne.
– Komkirin: (a + b) + c = a + (b + c)
Mînak: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
- Lêzêdekirin: (a × b) × c = a × (b × c)
Mînak: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
Her wekî xasiyeta komutatîf, xasiyeta komeleyî jî ji bo jêkirin û dabeşkirinê derbas nabe.
4. Taybetmendiyên Belavkirinê (Belavbûn)
Taybetiya dabeşkirinê operasyonên pirbûnê bi komkirin an jêbirinê ve girêdide:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Mînak: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
Mînak: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
Ev taybetmendî di hêsankirina formên cebrî û çareserkirina hevkêşeyan de pir girîng e.
5. Hêmanên Nasnameyê (Nasnameyên Komkirin û Pirkirinê)
Nasname hejmarek e ku dema ku lê tê xebitandin nirxa hejmareke din naguherîne.
– Nasnameya lêzêdekirinê 0 e: a + 0 = a
Mînak: -9 + 0 = -9
– Nasnameya pirbûnê 1 e: a × 1 = a
Mînak: 8 × 1 = 8
Nasname alîkariya me dikin ku em têgeha bêalî di operasyonên matematîkî de fam bikin.
6. Hêmanên Berevajî (Hejmarên Dijber)
Her hejmareke tam xwedî berevajiyek zêdekirinê ye, ku berevajiya hejmareke ku berhevoka wê 0 e.
– Berevajiya a -a ye, ji ber vê yekê: a + (-a) = 0
Mînak: 6 + (-6) = 0, û -4 + 4 = 0
Lêbelê, ne hemû hejmarên tam di pirbûnê de xwedî înversek in. Bo nimûne, înversa pirbûnê ya 2 1/2 e, ku ne tam e.
7. Nîşanên Erênî û Neyînî di Operasyonê de
Di hejmarên tam de, nîşanên erênî û neyînî qaîdeyên taybetî di pirbûn û dabeşkirinê de didin:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
Mînak:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
Ji bo komkirin û jêbirinê, em gelek caran têgeha xêza hejmaran an jî qaîdeyê bi kar tînin:
- Zêdekirina hejmarên neyînî wekî "jêbirin" e.
- Derxistina hejmareke neyînî wek "komkirin" e.
Mînak:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
Xelasî
Hejmarên tam komek ji hejmaran in ku ji hejmarên neyînî, sifir û hejmarên erênî pêk tên. Ev hejmar pir girîng in ji ber ku ew dikarin şert û mercên cûrbecûr ên jiyanê, wekî germahiyên di bin sifirê de, windahiyên darayî, an cihên di bin asta deryayê de, rave bikin. Hejmarên tam di heman demê de xwedî taybetmendiyên bingehîn in wekî girtîbûn (ji bo komkirin, jêbirin û pirbûnê), komutasyonî, komeleyî, belavkerî, nasnameyî, û berevajîkirina zêdekirinê. Bi têgihîştina taybetmendiyên hejmarên tam, em ê bi hêsanî hesaban bikin, operasyonan hêsan bikin, û mijarên matematîkî yên paşîn ên wekî cebîr, hevkêşe û pergalên din ên hejmaran fêr bibin.
Heke hûn bixwazin, ez dikarim guhertoyek ji vê gotarê ji bo asta dibistana seretayî/navîn (hêsantir) an jî guhertoyek fermîtir wek gotarek temam bi pirsên pratîkê û nîqaşan çêbikim.
