Rêbaza Trapezoidal di Integralan de
Di matematîka sepandî de, em gelek caran rastî pirsgirêka hesabkirina rûbera di bin xêzekê de tên. Ji hêla teorîk ve, ev dikare bi karanîna entegralên diyarkirî were çareser kirin. Lêbelê, di pratîkê de, ne hemî fonksiyon bi hêsanî bi awayekî analîtîk têne entegre kirin. Hin fonksiyon tevlihev in, daneyên tenê di forma tabloyê de hene, an jî modelan dij-derivatîfên hêsan tune ne. Di rewşên weha de, rêbazên hejmarî dibin bingehîn. Yek ji rêbazên hejmarî yên herî baş-naskirî û pir caran tê bikar anîn qaîdeya trapezoidal e, teknîkek nêzîkbûnê ji bo entegralan ku rûbera di bin xêzekê de dabeş dike nav şeklên trapezoidal.
Têgeha bingehîn a entegrala diyarkirî
Ji hêla geometrîkî ve, entegrala diyarkirî \(\int_a^bf(x)\,dx\) dikare wekî rûbera ku bi xêza \(y=f(x)\), eksena \(x\) û xetên vertîkal \(x=a\) û \(x=b\) ve hatiye sînordarkirin were fêmkirin. Ger \(f(x)\ge 0\), entegral rûberek erênî ye. Ger fonksiyon li ser navberek diyarkirî nirxên neyînî hebin, entegral "rûberek îmzekirî" dide.
Pirsgirêka sereke dema ku çêdibe:
1. Fonksiyona \(f(x)\) xwedî dij-derîvatek nîne ku bi fonksiyonên bingehîn were îfade kirin.
2. Nirxa \(f(x)\) tenê di hin xalan de tê zanîn (daneyên ceribandinê).
3. Hesabkirina sembolîk bêbandor e an jî ne mumkin e.
Li vir rêbaza trapezoidal tê bikar anîn da ku bi karanîna nirxên fonksiyonê li hin xalan nirxa entegralê texmîn bike.
Fikra Rêbaza Trapezoidal
Rêbaza trapezoidal bi ramanek hêsan dest pê dike: xêzek bi xêzek rast li her binnavberê nêzîkî hev bikin. Dema ku rêbaza berhevkirina Riemann aliyên perpendîkular û deverek çargoşeyî bikar tîne, rêbaza trapezoidal du xalên dawî li ser binnavberê bikar tîne û wan bi xêzek rast ve girêdide. Devera di bin xeta rast de trapezoidek çêdike, ne çargoşeyekî.
Ferz bikin ku em dixwazin hesab bikin:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
Em navbera \([a,b]\) dabeşî \(n\) bin-navberên bi dirêjahiya wekhev dikin. Dirêjahiya her bin-navberê ev e:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
Xalên dabeşkirinê:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\xal,\;x_n=b
\]
Bi nirxên fonksiyonê:
\[
f(x_0), f(x_1), \xal, f(x_n)
\]
Li ser her binnavberê \([x_{i-1}, x_i]\), rûbera binê xêzê bi rûbera trapezoidê tê texmînkirin:
\[
A_i \texmînî \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Dûv re bi berhevkirina hemî trapezoidan, rûbera giştî (nêzîkîbûna entegralê) tê bidestxistin:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Eger were rêkxistin, formula qaîdeya trapezoidal a tevlihev dibe:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
Li qaliba katsayiyan bala xwe bidin: xalên dawî \(x_0\) û \(x_n\) bi 1ê têne zêdekirin, di heman demê de xalên navîn bi 2ê têne zêdekirin.
Nimûneya Hesabkirina Hêsan
Ferz bike ku em dixwazin nêzîk bibin:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
Bi awayekî analîtîk, entegral \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\) e. Lêbelê, em ê rêbaza trapezoidal bi \(n=4\) bikar bînin.
1. Navbera \([0,2]\), paşê:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Nirxa fonksiyonê:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
Formula trapezoid a tevlihev bikar bînin:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
Encama texmînî ya 2,75 pir nêzîkî nirxa rastîn a 2,6667 e, bi xeletiyek nêzîkî 0,0833.
Çewtî di Rêbaza Trapezoidal de
Rêbaza trapezoidal rêbazeke texmînî ye, ango her tim di navbera nirxa texmînî û nirxa entegralê ya rastîn de ferqek heye. Mezinahiya xeletiyê ji hêla van ve tê bandorkirin:
1. Hejmara binintervalan \(n\): çiqas \(n\) mezintir be, çiqas \(h\) biçûktir be, û bi gelemperî encam rasttir bin.
2. Xwarbûna fonksiyonê: heke fonksiyon pir xwar be (derivata duyemîn a mezin hebe), rêbaza trapezoidal dibe ku ji rêbazên rêza bilindtir kêmtir rast be.
Ji bo fonksiyonên têra xwe nerm (ku derivatîfên duyemîn ên domdar hene), xeletiya rêbaza trapezoidal a tevlihev dikare were texmîn kirin:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
ji bo hin \(\xi\) di navbera \(a\) û \(b\) de. Ji vê formulê tê dîtin ku xeletî bi \(h^2\) re rêjeyî ye. Ango, heke em \(h\) nîvî bikin (ango, hejmara binnavberan du qat bikin), xeletî bi qasî çaryekekê kêm dibe.
Awantajên Rêbaza Trapezoidal
Rêbaza trapezoidal ji ber çend sedeman populer e:
1. Hêsan û bilez
Hesabkirin nisbeten hêsan e, û ji bo dozên piçûk jî dikare bi destan were kirin.
2. Ji bo daneyên tabloyî minasib e
Eger nirxa \(f(x)\) tenê li xalên cihê (mînak encamên pîvandinê) tê zanîn, ev rêbaz dikare rasterast were sepandin.
3. Rastbûnek çêtir ji rêbaza çargoşeyî
Ji ber ku ew du xalên dawî bikar tîne û fonksiyonê bi xêzek rast nêzîk dike, ew bi gelemperî ji nêzîkbûna çarçikî ji bo heman hejmarê beşkirinan rasttir e.
4. Ji bo gelek serlêdanên endezyariyê stabîl e
Gelek pirsgirêkên fîzîk û endezyariyê (mînak hesabkirina kar, enerjî, rûbera xaçerêyî, rijandinê, û hwd.) dikarin bi vê rêbazê werin çareserkirin.
Sînorkirinên Rêbaza Trapezoidal
Her çend kêrhatî be jî, vê rêbazê kêmasiyên wê hene:
1. Ji bo fonksiyonên pir xwar kêmtir rast e
Ji ber ku ew tenê li ser her binnavberê nêzîkbûnek xêzikî bikar tîne, fonksiyonên bi guhertinên bilez an xêzên tûj hewceyê \(n\)-yek mezin in.
2. Ne rêbazek rêza bilind e
Çewtiyên ji rêza \(h^2\); rêbazên din ên wekî ya Simpson dikarin di heman hejmara binnavberan de çewtiyên piçûktir bidin (bi şertê ku fonksiyon bi têra xwe nerm be).
3. Hesasiyeta hilbijartina navberê
Eger navber pir fireh be û \(n\) piçûk be, encam dikarin bi girîngî ji hev cuda bibin.
Penutup
Rêbaza trapezoidal a entegrasyonê yek ji teknîkên herî bingehîn di entegrasyona hejmarî de ye. Bi dabeşkirina navberekê bo beşên piçûk û guhertina xêzê bi xêzek rast li her beşê, em dikarin entegralê bêyî ku bi awayekî analîtîk antîderîvatê bibînin, texmîn bikin. Formul hêsan e, bicîhanîna wê hêsan e, û bi taybetî kêrhatî ye dema ku daneyên cuda ne an jî entegrasyona fonksiyonan dijwar be.
Lêbelê, bikarhênerên rêbaza trapezoidal hewce ne ku bala xwe bidin hejmara bin-navberan û tevgera fonksiyona ku tê entegrekirin. Ji bo fonksiyonên pir xwar an jî dema ku rastbûnek bilind hewce be, rêbaza trapezoidal hîn jî dikare bi zêdekirina \(n\) were bikar anîn, an jî rêbazên din ên hejmarî yên wekî rêbazên Simpson an Romberg dikarin werin hesibandin. Bi têgihîştinek baş, rêbaza trapezoidal dibe amûrek bi bandor û pratîkî ji bo çareserkirina pirsgirêkên entegre yên cûrbecûr di zanist, endezyariyê û aboriyê de.
