អនុគមន៍ចាក់, សើស្បថ និង ទ្វេស្បថ

អនុគមន៍ចាក់, សើស្បថ និង ទ្វេស្បថ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជាពិសេសនៅក្នុងទ្រឹស្តីអនុគមន៍ មានអនុគមន៍សំខាន់ៗបីប្រភេទដែលត្រូវបានពិភាក្សាជាញឹកញាប់៖ មុខងារចាក់ (injective) មុខងារសើចចេស (surjective) និងមុខងារទ្វេ (bijective)។ អនុគមន៍នីមួយៗក្នុងចំណោមអនុគមន៍ទាំងបីប្រភេទនេះមានលក្ខណៈប្លែកពីគ្នា ដែលកំណត់ពីរបៀបដែលធាតុពីសំណុំប្រភព (ដូមេន) ត្រូវបានផ្គូផ្គងទៅធាតុនៅក្នុងសំណុំគោលដៅ (range ឬ codomain)។ អត្ថបទនេះនឹងគូសបញ្ជាក់ពីនិយមន័យ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍នីមួយៗទាំងនេះ ក៏ដូចជាការអនុវត្តរបស់វានៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗ។

មុខងារចាក់

អនុគមន៍ចាក់ ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជាអនុគមន៍មួយទល់នឹងមួយ គឺជាអនុគមន៍មួយដែលធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំប្រភពត្រូវបានភ្ជាប់ទៅធាតុតែមួយគត់នៅក្នុងសំណុំគោលដៅ។ ក្នុងទម្រង់ផ្លូវការ អនុគមន៍ \( f : A \to B \) ត្រូវបានគេហៅថាចាក់ លុះត្រាតែសម្រាប់រាល់ \( a_1, a_2 \in A \), \( f(a_1) = f(a_2) \) បញ្ជាក់ថា \( a_1 = a_2 \)។

ជាងនេះទៅទៀត អនុគមន៍ចាក់បញ្ចូលធានាថាគ្មានធាតុពីរផ្សេងគ្នានៅក្នុងសំណុំប្រភពមានរូបភាពដូចគ្នានៅក្នុងសំណុំគោលដៅនោះទេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំគោលដៅមានធាតុប្រភពច្រើនបំផុតមួយដែលភ្ជាប់ទៅវា។

ទំនាក់ទំនង៖
– ពិចារណាអនុគមន៍ \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ដែលកំណត់ជា \(f(x) = 2x + 3 \)។ អនុគមន៍នេះគឺជាការចាក់បញ្ចូល ពីព្រោះប្រសិនបើ \(f(a) = f(b) \) នោះ \(2a + 3 = 2b + 3 \) ដែលមានន័យថា \(a = b \)។

អាលីកាស៊ី៖
អនុគមន៍​ចាក់​បញ្ចូល​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ជា​ញឹក​ញាប់​នៅ​ក្នុង​បរិបទ​ដែល​យើង​ត្រូវ​ធានា​ថា​មិន​មាន​ការ​ចម្លង​ទេ ដូច​ជា​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​លិបិក្រម ឬ​ការ​សរសេរ​កូដ។

អនុគមន៍​សវនកម្ម

អនុគមន៍​សើចវិជ្ជមាត្រ ឬ​អនុគមន៍​អនតូ គឺជាអនុគមន៍មួយដែលធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំគោលដៅ \(B\) មានធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយពីសំណុំប្រភព \(A\) ដែលភ្ជាប់ទៅវា។ នៅក្នុងសញ្ញាណផ្លូវការ អនុគមន៍ \(f:A\toB\) ត្រូវបានគេហៅថាសើចវិជ្ជមាត្រ ប្រសិនបើសម្រាប់រាល់ \(b\in B\) មានយ៉ាងហោចណាស់មួយ \(a\inA\) ដែល \(f(a) = b\)។

ម្យ៉ាង​ទៀត អនុគមន៍ surjective ធានា​ថា​សំណុំ​គោលដៅ​ត្រូវ​បាន​គ្រប​ដណ្ដប់​ទាំង​ស្រុង​ដោយ​រូបភាព​នៃ​សំណុំ​ប្រភព។ គ្មាន​ធាតុ​ណា​មួយ​នៅ​ក្នុង​សំណុំ​គោលដៅ​ត្រូវ​បាន "គ្រប​ដណ្ដប់" ឡើយ។

ទំនាក់ទំនង៖
– ពិចារណាអនុគមន៍ \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ដែលកំណត់ជា \( f(x) = x^3 \)។ អនុគមន៍នេះគឺជាសើស៊ីវិចទ័រ ពីព្រោះសម្រាប់រាល់ \( y \in \mathbb{R} \) យើងអាចរកឃើញ \( x \in \mathbb{R} \) ដែល \( x^3 = y \)។

អាលីកាស៊ី៖
អនុគមន៍​សរីរវិទ្យា​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​នៅ​ក្នុង​បរិបទ​នៃ​ការ​ចែកចាយ ឬ​ការ​បែងចែក​ធនធាន ដែល​យើង​ត្រូវ​ធានា​ថា​អ្នក​ទទួល​ម្នាក់ៗ​ទទួល​បាន​អ្វី​មួយ​ពី​ក្រុម​អ្នក​ឲ្យ។

អនុគមន៍ទ្វេភាគី

អនុគមន៍​ទ្វេភាគី គឺជាអនុគមន៍ដែលមានទាំង​ការ​ចាក់​បញ្ចូល និង​ការ​ស៊ើច​បញ្ចូល។ ម្យ៉ាង​ទៀត អនុគមន៍​ទ្វេភាគី​គឺ​មាន​ទាំង​មួយ​ទៅ​មួយ និង​លើ។ ដូច្នេះ នៅក្នុងអនុគមន៍​ទ្វេភាគី ធាតុ​នីមួយៗ​នៅក្នុង​សំណុំ​ប្រភព​ត្រូវ​បាន​ភ្ជាប់​ទៅ​ធាតុ​មួយ​នៅក្នុង​សំណុំ​គោលដៅ​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា ហើយ​ផ្ទុយទៅវិញ ធាតុ​នីមួយៗ​នៅក្នុង​សំណុំ​គោលដៅ​មាន​ធាតុ​មួយ​យ៉ាង​ពិតប្រាកដ​ដែល​ភ្ជាប់​ទៅ​វា​ពី​សំណុំ​ប្រភព។

ទំនាក់ទំនង៖
– ពិចារណាអនុគមន៍ \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) ដែលកំណត់ជា \(f(x) = x + 1 \)។ អនុគមន៍នេះមានទ្វេភាគីពីព្រោះ៖
– ការចាក់បញ្ចូល៖ ប្រសិនបើ \( f(a) = f(b) \) នោះ \( a + 1 = b + 1 \) មានន័យថា \( a = b \)។
– សឺវីសិច៖ សម្រាប់រាល់ \( y \in \mathbb{R} \) យើងអាចរកឃើញ \( x = y – 1 \) ដែល \( f(x) = y \)។

អាលីកាស៊ី៖
អនុគមន៍​ទ្វេភាគី​មាន​សារៈសំខាន់​ជាពិសេស​នៅក្នុង​បរិបទ​នៃ​ការបំលែង និង​អ៊ីសូម័រហ្វីស ដែលយើងត្រូវរក្សារចនាសម្ព័ន្ធ ឬទំនាក់ទំនងរវាងធាតុនៅពេល​ធ្វើ​ការ​ផ្គូផ្គង​ពីសំណុំមួយទៅសំណុំមួយទៀត។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងការគ្រីបតូក្រាហ្វី កូនសោអ៊ិនគ្រីប និងឌិគ្រីប ជារឿយៗជាអនុគមន៍ទ្វេភាគី ដូច្នេះសារអាចត្រូវបានអ៊ិនគ្រីប និងឌិគ្រីបដោយឡែកពីគ្នា។

ការវិភាគបន្ថែម

ក្រាហ្វិក និងដ្យាក្រាម
ការប្រើប្រាស់ដ្យាក្រាម Venn ឬក្រាហ្វជារឿយៗមានប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ដឹងអំពីអនុគមន៍ទាំងនេះ។ នៅក្នុងដ្យាក្រាម Venn អនុគមន៍ចាក់អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំគោលដៅដែលមានព្រួញចូលច្រើនបំផុតមួយ។ អនុគមន៍ surjective អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំគោលដៅដែលមានព្រួញចូលយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ អនុគមន៍ bijective មានធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំប្រភព និងសំណុំគោលដៅដែលមានព្រួញចូលមួយយ៉ាងពិតប្រាកដ ដែលបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់នឹងមួយ។

អនុគមន៍បញ្ច្រាស
ទិដ្ឋភាពសំខាន់មួយទៀតដែលត្រូវបានសិក្សាជាញឹកញាប់នៅក្នុងបរិបទនៃអនុគមន៍ចាក់ អនុគមន៍សើសិទិ្ធ និងអនុគមន៍ទ្វេគឺអនុគមន៍ច្រាស។
- អនុគមន៍ចាក់តែងតែមានអនុគមន៍ច្រាសខាងឆ្វេង។
- អនុគមន៍សើវិជ្ជមាត្រតែងតែមានអនុគមន៍ច្រាសខាងស្តាំ។
- អនុគមន៍ទ្វេភាគីតែងតែមានអនុគមន៍ច្រាសតែមួយគត់។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយជាទ្វេភាគី នោះច្រាសឆ្វេង និងស្តាំទាំងពីរនឹងមាន ហើយទាំងពីរនឹងស្មើគ្នា ដែលបង្កើតបានជាអនុគមន៍ច្រាសពិត។

Penutup

ការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតនៃអនុគមន៍ចាក់ អនុគមន៍សើចកម្ម និងអនុគមន៍ទ្វេភាគី គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាជាច្រើន និងការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់វា។ អនុគមន៍ចាក់ធានាថាគ្មានការចម្លងទេ។ អនុគមន៍សើចកម្មធានានូវការគ្របដណ្តប់ពេញលេញ។ និងអនុគមន៍ទ្វេភាគីធានានូវការឆ្លើយឆ្លងគ្នាមួយទល់នឹងមួយរវាងធាតុនៅក្នុងសំណុំពីរ។ ចំណេះដឹងអំពីអនុគមន៍ទាំងបីប្រភេទនេះគឺមានសារៈសំខាន់មិនត្រឹមតែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាសុទ្ធប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងវិស័យដូចជាវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ សេដ្ឋកិច្ច និងវិស្វកម្មផងដែរ។ ការយល់ដឹងយ៉ាងហ្មត់ចត់អំពីដំណើរការ និងការអនុវត្តនៃអនុគមន៍ទាំងនេះអាចបើកទ្វារទៅរកការវិភាគ និងការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានប្រសិទ្ធភាព និងប្រសិទ្ធផលជាងមុន។