ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីវ៉ិចទ័រ និងប្រតិបត្តិការរបស់វា
វ៉ិចទ័រ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា ដែលត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗ។ វ៉ិចទ័រតំណាងឱ្យបរិមាណដែលមានទាំងទំហំ និងទិសដៅ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃបញ្ហាដែលពាក់ព័ន្ធនឹងវ៉ិចទ័រ និងការពិភាក្សាអំពីប្រតិបត្តិការផ្សេងៗដូចជាការបូក ការដក និងការគុណដោយស្កាឡា។ អត្ថបទនេះនឹងផ្តល់នូវការយល់ដឹងស៊ីជម្រៅអំពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដែលពាក់ព័ន្ធនឹងវ៉ិចទ័រ។
១. ការបូកបញ្ចូលវ៉ិចទ័រ
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1
វ៉ិចទ័រពីរក្នុងទម្រង់សមាសភាគត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
ក = (៣, ៤)
ខ = (១, ២)
គណនាលទ្ធផលនៃការបូកវ៉ិចទ័រ A និង B ។
ការពិភាក្សា
ការបូកវ៉ិចទ័រត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការបូកសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។ ដូច្នេះយើងអាចគណនាបាន
\[
A + B = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការបូកវ៉ិចទ័រ A និង B គឺ (4, 6)។
២. ការដកវ៉ិចទ័រ
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2
វ៉ិចទ័រពីរក្នុងទម្រង់សមាសភាគត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
គ = (៥, ៧)
ឃ = (២, ៣)
គណនាលទ្ធផលនៃការដកវ៉ិចទ័រ C ចេញពីវ៉ិចទ័រ D។
ការពិភាក្សា
ការដកវ៉ិចទ័រត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការដកសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។ ដូច្នេះយើងអាចគណនា
\[
គ – ឃ = (៥ – ២, ៧ – ៣) = (៣, ៤)
\]
ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការដកវ៉ិចទ័រ C និង D គឺ (3, 4)។
៣. គុណវ៉ិចទ័រដោយស្កាឡារ
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 3
វ៉ិចទ័រ E = (4, -2) និង scalar k = 3 ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គណនាលទ្ធផលនៃការគុណវ៉ិចទ័រ E ដោយ scalar k។
ការពិភាក្សា
ការគុណវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋានត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការគុណសមាសធាតុនីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋាន។ ដូច្នេះយើងអាចគណនា
\[
k E = 3 (4, −2) = (3 4, 3 −2) = (12, −6)
\]
ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការគុណវ៉ិចទ័រ E ដោយមាត្រដ្ឋាន k គឺ (12, -6)។
៤. ផលិតផលចំណុច
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 4
វ៉ិចទ័រពីរក្នុងទម្រង់សមាសភាគត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
F = (១, ៣)
G = (៤, ២)
គណនាផលគុណចំណុចនៃវ៉ិចទ័រ F និង G។
ការពិភាក្សា
ផលគុណចំណុចនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺជាផលបូកនៃផលគុណនៃសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នារបស់វា។ ដូច្នេះយើងអាចគណនា
\[
F \cdot G = (1 4) + (3 2) = 4 + 6 = 10
\]
ដូច្នេះផលគុណចំណុចនៃវ៉ិចទ័រ F និង G គឺ 10។
៥. ផលិតផលឆ្លង
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 5
បានផ្តល់វ៉ិចទ័រពីរក្នុង 3D៖
ហ = (២, -៣, ១)
ខ្ញុំ = (១, ៤, -២)
គណនាផលគុណឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ H និង I។
ការពិភាក្សា
ផលគុណឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រពីរត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានសមាសធាតុនៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។ វ៉ិចទ័រលទ្ធផលមានសមាសធាតុដូចខាងក្រោម៖
\[
H \ដង I = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
០ និង -២ និង ០ \\
១ និង ៤ និង -២ \\
\end{vmatrix}
\]
ដោយការគណនាកត្តាកំណត់យើងទទួលបាន៖
\[
H \times I = (\mathbf{i}((-3)(-2) – (1)(4)) – \mathbf{j}(2(-2) – (1)(1)) + \mathbf{k}(2(4) – (-3)(1)))
\]
\[
= (\mathbf{i}(6 – 4) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(8 + 3))
\]
\[
= (\mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(11))
\]
\[
= (២, ៥, ១១)
\]
ដូច្នេះផលគុណឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ H និង I គឺ (2, 5, 11)។
៦. ប្រវែង ឬ ទំហំនៃវ៉ិចទ័រ
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 6
ឲ្យវ៉ិចទ័រ J = (6, 8)។ គណនាប្រវែង (ទំហំ) របស់វ៉ិចទ័រ J។
ការពិភាក្សា
ប្រវែង (ទំហំ) នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖
\[
\| J \| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
ក្នុងករណីនេះ \( x = 6\) និង \( y = 8\) ដូច្នេះ៖
\[
\| ច \\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
ដូច្នេះប្រវែង (ទំហំ) នៃវ៉ិចទ័រ J គឺ 10។
៧. វ៉ិចទ័រឯកតា
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 7
ឲ្យវ៉ិចទ័រ K = (-5, 12)។ ចូររកវ៉ិចទ័រឯកតានៃ K។
ការពិភាក្សា
វ៉ិចទ័រឯកតា គឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែង 1។ ដើម្បីរកវ៉ិចទ័រឯកតានៃវ៉ិចទ័រ យើងត្រូវចែកសមាសភាគនីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រដោយប្រវែង (ទំហំ) នៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ K អាចត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖
\[
\| K \|= \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រឯកតា K គឺ៖
\[
\hat{K} = \left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)
\]
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រឯកតានៃវ៉ិចទ័រ K គឺ \(\left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)\)។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
តាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានឃើញពីរបៀបដែលវ៉ិចទ័រ និងប្រតិបត្តិការរបស់វាដំណើរការក្នុងបរិបទផ្សេងៗ។ ការបូក និងដកវ៉ិចទ័រពាក់ព័ន្ធនឹងការបូក និងដកសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នា។ ការគុណវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងទម្រង់ផលគុណមាត្រដ្ឋាន ឬចំណុច និងក្នុងទម្រង់ផលគុណឆ្លងសម្រាប់វ៉ិចទ័រ 3D។ យើងថែមទាំងអាចកំណត់ប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាទៀតផង។
ការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានទាំងនេះគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់ ពីព្រោះវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងកម្មវិធីជាច្រើននៅទូទាំងវិស័យជាច្រើន រួមទាំងរូបវិទ្យា វិស្វកម្ម និងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ ដោយមានការអនុវត្តគ្រប់គ្រាន់ យើងអាចធ្វើជាម្ចាស់លើប្រតិបត្តិការទាំងនេះ ហើយអនុវត្តវាទៅលើការវិភាគ និងការដោះស្រាយបញ្ហាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ។
