ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សា៖ ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃទិន្នន័យតែមួយ
ស្ថិតិគឺជាសាខាមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលទាក់ទងនឹងការប្រមូល ការវិភាគ ការបកស្រាយ ការបង្ហាញ និងការរៀបចំទិន្នន័យ។ គោលគំនិតសំខាន់ពីរនៅក្នុងស្ថិតិគឺ ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ។ អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាលម្អិតអំពីរបៀបគណនាភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃសំណុំទិន្នន័យតែមួយតាមរយៈបញ្ហាឧទាហរណ៍ជាច្រើន។
ការយល់ដឹងអំពីភាពប្រែប្រួល និងគម្លាតស្តង់ដារ
វ៉ារ្យង់ គឺជារង្វាស់មួយដែលវាស់បរិមាណថាតើលេខនៅក្នុងសំណុំទិន្នន័យមួយត្រូវបានរីករាលដាលពីមធ្យមភាគ ឬមធ្យមភាគ។ វ៉ារ្យង់ត្រូវបានបង្ហាញជាឯកតាការ៉េនៃទិន្នន័យដើម ដែលធ្វើឱ្យវាពិបាកបកស្រាយជាញឹកញាប់។
គម្លាតស្តង់ដារគឺជាឫសការ៉េនៃភាពខុសគ្នា។ វាផ្តល់នូវរង្វាស់ដែលងាយស្រួលយល់ជាងអំពីចម្ងាយដែលទិន្នន័យជាទូទៅងាកចេញពីមធ្យមភាគ ពីព្រោះឯកតារបស់វាគឺដូចគ្នានឹងឯកតាដើមនៃទិន្នន័យ។
រូបមន្តទូទៅ
ចំពោះទិន្នន័យតែមួយ រូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នា \(\sigma^2\) និងគម្លាតស្តង់ដារ \(\sigma\) នៃចំនួនប្រជាជនមានដូចខាងក្រោម៖
១. ភាពខុសគ្នា (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
២. គម្លាតស្តង់ដារ (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
កន្លែងណា៖
–\( N\) គឺជាចំនួនទិន្នន័យនៅក្នុងចំនួនប្រជាជន។
–\( x_i\) គឺជាតម្លៃទិន្នន័យ ith។
–\( \mu \) គឺជាមធ្យមភាគ ឬមធ្យមភាគនៃទិន្នន័យ។
ប្រសិនបើយើងគណនាភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃគំរូ នោះរូបមន្តខាងលើត្រូវបានកែប្រែបន្តិចបន្តួច៖
១. ភាពខុសគ្នានៃគំរូ (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
២. គម្លាតស្តង់ដារគំរូ៖
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – x)^2} \)
កន្លែងណា៖
–\( n\) គឺជាចំនួនទិន្នន័យនៅក្នុងគំរូ។
–\( \bar{x} \) គឺជាមធ្យមភាគ ឬមធ្យមភាគនៃគំរូ។
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1៖
ដោយផ្តល់ទិន្នន័យដូចខាងក្រោម៖
8, 10, 10, 10, 12, 14
គណនាភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃទិន្នន័យ!
ជំហានដោះស្រាយ៖
១. ការគណនាមធ្យមភាគ (មធ្យម) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
២. គណនាភាពខុសគ្នារវាងទិន្នន័យ និងមធ្យមភាគ បន្ទាប់មកការ៉េ៖
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
៣. ការបូកសរុបលទ្ធផលការ៉េទាំងអស់៖
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
៤. ការគណនាវ៉ារ្យង់ (σ²) នៃទិន្នន័យប្រជាជន៖
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
ចំណាំ៖ ដោយសារទិន្នន័យនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ជាទិន្នន័យប្រជាជន យើងចែកនឹង ៦។
៥. ការគណនាគម្លាតស្តង់ដារ (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \ប្រហែល 1.886
\]
ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នានៃទិន្នន័យគឺ 3.559 ហើយគម្លាតស្តង់ដារគឺ 1.886។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2៖
ដោយផ្តល់ទិន្នន័យគំរូដូចខាងក្រោម៖
5, 6, 8, 9, 10, 11
គណនាភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃគំរូ!
ជំហានដោះស្រាយ៖
១. ការគណនាមធ្យមភាគ (មធ្យម) \( \bar{x} \)៖
\[
x = 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = 49}{6} = 8.167
\]
២. គណនាភាពខុសគ្នារវាងទិន្នន័យ និងមធ្យមភាគ បន្ទាប់មកការ៉េ៖
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
\[
(១១ – ៨.១៦៧)^២ = ៧.៩៤៥
\]
៣. ការបូកសរុបលទ្ធផលការ៉េទាំងអស់៖
\[
ផលបូក (x_i – x)^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
៤. ការគណនាភាពខុសគ្នានៃគំរូ (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
ចំណាំ៖ ដោយសារនេះជាទិន្នន័យគំរូ យើងចែកនឹង 5 (n-1)។
៥. ការគណនាគម្លាតស្តង់ដារ៖
\[
s = 5.351 x ប្រហែល 2.313
\]
ដូច្នេះ ភាពខុសគ្នានៃទិន្នន័យគំរូគឺ 5.351 ហើយគម្លាតស្តង់ដារគឺ 2.313។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ការគណនាភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ គឺមានសារៈសំខាន់ណាស់សម្រាប់ការយល់ដឹងពីរបៀបដែលទិន្នន័យរីករាលដាលនៅក្នុងសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ខណៈពេលដែលភាពខុសគ្នាផ្តល់នូវរង្វាស់ទ្រឹស្តីនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយជាការ៉េនៃឯកតាដើម គម្លាតស្តង់ដារបកស្រាយរង្វាស់នៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយទាក់ទងនឹងឯកតាដើមនៃទិន្នន័យ ដែលធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយយល់។ នៅក្នុងការវិភាគទិន្នន័យ រង្វាស់ទាំងពីរនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីវាយតម្លៃភាពប្រែប្រួលទិន្នន័យ និងធ្វើការសម្រេចចិត្តខាងស្ថិតិ។
តាមរយៈការយល់ដឹងអំពីជំហាន និងរូបមន្តចាំបាច់ យើងអាចគណនាភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារបានយ៉ាងងាយស្រួលសម្រាប់ស្ថានភាពផ្សេងៗដែលយើងជួបប្រទះក្នុងការប្រមូល និងវិភាគទិន្នន័យប្រចាំថ្ងៃ។ សង្ឃឹមថាអត្ថបទនេះផ្តល់នូវការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីគោលគំនិតនៃភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៅក្នុងសំណុំទិន្នន័យតែមួយ។
