ឧទាហរណ៍នៃសំណួរពិភាក្សាលើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ

ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ

សេចក្តីផ្តើមអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ

ប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាសាខាមួយនៃគណិតវិទ្យា ដែលសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងព្រឹត្តិការណ៍ច្រើនជាងមួយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរមៀលលេខគូលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ និងអាត់មួយពីសន្លឹកបៀលេង គឺជាឧទាហរណ៍នៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ។ អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាអំពីបញ្ហាឧទាហរណ៍ជាច្រើន និងពិភាក្សាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ

មានព្រឹត្តិការណ៍ផ្សំពីរប្រភេទ៖

១. ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា៖ ព្រឹត្តិការណ៍ពីរដែលមិនអាចកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នាបាន។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលរមៀលគ្រាប់ឡុកឡាក់ ព្រឹត្តិការណ៍នៃការរមៀលលេខ 2 និងលេខ 5 គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ពីព្រោះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការរមៀលលេខទាំងពីរក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

2. ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនកើតឡើងរួមគ្នា៖ ព្រឹត្តិការណ៍ពីរដែលអាចកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងការចាប់ឆ្នោតសន្លឹកបៀរ ព្រឹត្តិការណ៍នៃការទទួលបានសន្លឹកបៀបេះដូង (♥) និងសន្លឹកបៀដែលមានលេខ 10 គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនកើតឡើងរួមគ្នា ពីព្រោះមានសន្លឹកបៀបេះដូងដែលមានលេខ 10។

ខាងក្រោមនេះជារូបមន្តមូលដ្ឋានមួយចំនួនដែលប្រើក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ៖

– P(A ឬ B) (សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)

– P(A ឬ B) (សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនរាប់បញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមក): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

– P(A និង B) (សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ): \(P(A \cap B) = P(A) \គុណ P(B)\)

សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1: គ្រាប់ឡុកឡាក់

សំណួរ៖
តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានចំនួនគូ ឬចំនួនធំជាង ៤ លើគ្រាប់ឡុកឡាក់គឺជាអ្វី?

ប៉េបាហាសាន៖
ដំបូង ចូរយើងកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍៖
– ព្រឹត្តិការណ៍ A៖ ទទួលបានចំនួនគូ (2, 4, 6)
– ព្រឹត្តិការណ៍ B៖ ទទួលបានចំនួនធំជាង 4 (5, 6)

បន្ទាប់មកយើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ៖
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

ដោយសារមានលេខ 6 ដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ទាំងពីរ យើងត្រូវគណនា \(P(A \cap B)\)៖
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (ពីព្រោះមានតែលេខមួយគត់ គឺ 6 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងទាំង A និង B)

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក៖
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]

ចូរធ្វើឱ្យភាគបែងនៃប្រភាគទាំងនេះដូចគ្នា៖
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានចំនួនគូ ឬចំនួនធំជាង 4 គឺ \(\frac{2}{3}\)។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2: សន្លឹកបៀរ

សំណួរ៖
តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានសន្លឹកបៀ Ace ឬ Spade ពីសន្លឹកបៀមួយសន្លឹកមានប៉ុន្មាន?

ប៉េបាហាសាន៖
ដំបូង ចូរយើងកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍៖
– ព្រឹត្តិការណ៍ A៖ ទទួលបានសន្លឹកបៀ Ace មួយសន្លឹក (សរុប ៤សន្លឹក មួយសន្លឹកសម្រាប់សន្លឹកបៀនីមួយៗ)
– ព្រឹត្តិការណ៍ B៖ ទទួលបានសន្លឹកបៀរ Spade (សរុប 13)

បន្ទាប់មកយើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ៖
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)

ដោយសារសន្លឹកអាត់ស្ពាយត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ទាំងពីរ យើងត្រូវគណនា \(P(A \cap B)\)៖
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមក៖
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]

ចូរធ្វើឱ្យភាគបែងនៃប្រភាគទាំងនេះដូចគ្នា៖
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]

ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានសន្លឹកអាត់ ឬស្ប៉ាដ គឺ \(\frac{4}{13}\)។

ឧទាហរណ៍បញ្ហាទី 3: បាល់នៅក្នុងប្រអប់មួយ

សំណួរ៖
នៅក្នុងប្រអប់មួយមានបាល់ពណ៌ក្រហមចំនួន 3 បាល់ពណ៌ខៀវចំនួន 4 និងបាល់ពណ៌បៃតងចំនួន 5។ ប្រសិនបើបាល់មួយត្រូវបានចាប់ដោយចៃដន្យ តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានបាល់ពណ៌ក្រហម ឬបាល់ពណ៌បៃតងគឺជាអ្វី?

ប៉េបាហាសាន៖
ដំបូង ចូរយើងកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍៖
– ព្រឹត្តិការណ៍ A៖ ទទួលបានបាល់ពណ៌ក្រហម (លេខ 3)
– ព្រឹត្តិការណ៍ B៖ ទទួលបានបាល់ពណ៌បៃតង (លេខ 5)

បន្ទាប់មកយើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ៖
– ចំនួនបាល់សរុប = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)

ដោយសារបាល់ណាមួយអាចមានពណ៌ក្រហម និងបៃតងក្នុងពេលតែមួយបាន ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺមិនរាប់បញ្ចូលទៅវិញទៅមកទេ៖
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]

ចូរធ្វើឱ្យភាគបែងនៃប្រភាគទាំងនេះដូចគ្នា៖
\[
P(A \ពែង B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានបាល់ពណ៌ក្រហម ឬបាល់ពណ៌បៃតងគឺ \(\frac{2}{3}\)។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 4: កាក់ពីរ

សំណួរ៖
ប្រសិនបើកាក់ពីរត្រូវបានគប់ក្នុងពេលដំណាលគ្នា តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ក្បាលមួយនឹងលេចចេញមកគឺជាអ្វី?

ប៉េបាហាសាន៖
យើងកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ A៖ ជួបប្រទះរូបភាពយ៉ាងហោចណាស់មួយ។
មានលទ្ធផលបួនដែលអាចកើតមាននៃការបោះកាក់ពីរ៖
១. HH
២. HT
3. ធី
៤. ធីធី

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានរូបភាពយ៉ាងហោចណាស់មួយគឺ៖
– HT
- ធី
– ធីធី

ចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃនីមួយៗ៖
– ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមាន (សរុប): ៤
– ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានរូបភាពយ៉ាងហោចណាស់មួយ៖ ៣

\[
P(A) = \frac{ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានយ៉ាងហោចណាស់មួយក្បាល}{ចំនួនសរុបនៃព្រឹត្តិការណ៍} = \frac{3}{4}
\]

ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលរូបភាពយ៉ាងហោចណាស់មួយនឹងលេចឡើងគឺ \(\frac{3}{4}\)។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការពិភាក្សាអំពីបញ្ហាខាងលើបង្ហាញពីរបៀបដែលយើងអាចគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ មិនថាវាជារឿងដែលមិនរាប់បញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមក ឬមិនរាប់បញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមកនោះទេ។ តាមរយៈការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងការប្រើប្រាស់រូបមន្តត្រឹមត្រូវ យើងអាចកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាជាក់លាក់នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងក្នុងស្ថានភាពប្រចាំថ្ងៃផ្សេងៗ។ បន្តអនុវត្តជំនាញរបស់អ្នកជាមួយនឹងបញ្ហាផ្សេងៗ ដើម្បីក្លាយជាអ្នកជំនាញក្នុងការកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍សមាសធាតុ។