ឧទាហរណ៍សំណួរដែលពិភាក្សាអំពីផ្នែកកោណអ៊ីពែរបូលីក
Pendahuluan
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ផ្នែករាងសាជី ដែលត្រូវបានគេហៅជាញឹកញាប់ថាជាផ្នែករាងសាជី គឺជាខ្សែកោងមួយដែលទទួលបានពីចំនុចប្រសព្វនៃកោណ និងប្លង់មួយ។ មានប្រភេទសំខាន់ៗចំនួនបួននៃផ្នែករាងសាជី៖ រង្វង់ រាងអេលីប ប៉ារ៉ាបូល និងអ៊ីពែរបូល។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តោតលើអ៊ីពែរបូល ដែលជាប្រភេទនៃផ្នែករាងសាជីដែលមានកម្មវិធីជាច្រើននៅក្នុងវិស័យដូចជា តារាសាស្ត្រ រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ អត្ថបទនេះនឹងបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា និងការពិភាក្សារបស់ពួកគេលើប្រធានបទនេះ ដោយមានគោលបំណងជួយអ្នកអានឱ្យយល់អំពីគោលគំនិត និងរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងអ៊ីពែរបូល។
និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអធិប្បាយបូល
មុនពេលយើងចូលទៅក្នុងសំណួរឧទាហរណ៍ ចូរយើងពិភាក្សាអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយចំនួនអំពីអ៊ីពែរបូឡាជាមុនសិន។
អ៊ីពែរបូឡា គឺជាទីតាំងនៃចំណុចនៅលើប្លង់មួយ ដែលភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយនៃចំណុចនីមួយៗពីចំណុចថេរពីរ (ហៅថា ចំណុចផ្ចិត) គឺថេរ។
សមីការទូទៅនៃអ៊ីពែរបូឡាក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារគឺ៖
\[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
ឬ
\[ \frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
ឌីម៉ាណា៖
–\(a\) គឺជាចម្ងាយពីចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែរបូឡាដល់កំពូលរបស់វា (ចំណុចកំពូល)។
–\(b\) គឺជាចម្ងាយដែលទាក់ទងនឹងចម្ងាយពីចំណុចកណ្តាលទៅចំណុចជិតបំផុតនៅលើអាស៊ីមតូតនៃអ៊ីពែរបូឡា។
ចំពោះអ៊ីពែរបូលដែលឆ្លងកាត់ផ្ដេក ទម្រង់ទូទៅដែលប្រើគឺ៖
\[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
ទន្ទឹមនឹងនេះ សម្រាប់អ៊ីពែរបូលដែលឆ្លងកាត់បញ្ឈរ៖
\[ \frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2} = 1 \]
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
សំណួរទី ៥៖
ដោយផ្តល់ឱ្យសមីការអ៊ីពែរបូឡា \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1 \)។ កំណត់៖
១. ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែរបូឡា។
2. ប្រវែងនៃអ័ក្សមេ និងអ័ក្សបន្ទាប់បន្សំ។
៣. ចំណុចផ្តោតអារម្មណ៍។
៤. សមីការអស៊ីមតូត។
៥. គូរអ៊ីពែរបូឡា។
ប៉េបាហាសាន៖
១. ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែរបូឡា៖
ដោយសារទម្រង់នៃសមីការខាងលើជាទម្រង់ស្តង់ដារ ហើយមិនមានពាក្យ \((x – h)\) ឬ \((y – k)\) ទេ ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែរបូឡានេះគឺនៅចំណុច (0,0)។
២. ប្រវែងអ័ក្សមេ និងអ័ក្សបន្ទាប់បន្សំ៖
ពីសមីការ \( \frac{x^2}{16} – \frac{y^2}{9} = 1\) គេដឹងថា៖
\[
a^2 = 16 \ ព្រួញទៅស្តាំ a = 4
\]
\[
b^2 = 9 \ព្រួញទៅស្តាំ b = 3
\]
ប្រវែងអ័ក្សមេគឺ \(2a = 2\x4 = 8\)។
ប្រវែងអ័ក្សរងគឺ \(2b = 2 \គុណ 3 = 6\)។
៣. ចំណុចផ្តោតអារម្មណ៍៖
ដើម្បីស្វែងរកចំណុចកណ្តាល យើងប្រើទំនាក់ទំនង៖
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
\[
c^2 = 16 + 9 = 25 \rightarrow c = \sqrt{25} = 5
\]
ដោយសារអ៊ីពែរបូឡានេះមានរាងផ្ដេក ចំណុចផ្តោតនានាស្ថិតនៅចំណុច \((\pm c, 0)\) គឺ \((5, 0)\) និង \((-5, 0)\)។
៤. សមីការអស៊ីមតូត៖
អាស៊ីមតូត គឺជាបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលខិតជិតអ៊ីពែរបូឡា។ ចំពោះសមីការស្តង់ដារនេះ អាស៊ីមតូតអាចត្រូវបានកំណត់ដោយ៖
\[
y = \pm \frac{b}{a}x \rightarrow y = \pm \frac{3}{4}x
\]
ដូច្នេះ សមីការអស៊ីមតូតគឺ \( y = \frac{3}{4}x \) និង \( y = -\frac{3}{4}x \)។
៥. រូបភាពអ៊ីពែរបូឡា៖
ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីអ៊ីពែរបូឡា យើងត្រូវការ៖
- សម្គាល់ចំណុចកណ្តាលនៅ (០,០)។
– រៀបចំកំពូលនៅចំណុច (៤,០) និង (-៤,០)។
– គូរអស៊ីមតូតដោយបន្ទាត់ y = (3/4)x និង y = -(3/4)x ឆ្លងកាត់ចំណុចកណ្តាល។
– សម្គាល់ចំណុចផ្តោតនៅ (5,0) និង (-5,0)។
សំណួរទី ៥៖
ចូរកំណត់សមីការនៃអ៊ីពែរបូឡាដែលមានអ័ក្សមេមានប្រវែង 10 ឯកតា អ័ក្សបន្ទាប់បន្សំមានប្រវែង 8 ឯកតា និងស្ថិតនៅចំកណ្តាលចំណុចដើម។
ប៉េបាហាសាន៖
ពីសំណួរ គេដឹងថាប្រវែងនៃអ័ក្សមេ (2a) គឺ 10 ឯកតា បន្ទាប់មក៖
\\[ 2a = 10 \\ ព្រួញស្ដាំ a = 5 \\]
ប្រវែងនៃអ័ក្សទីពីរ (2b) គឺ 8 ឯកតា ដូច្នេះ៖
\[ 2b = 8 \ព្រួញទៅស្តាំ b = 4 \]
ដោយមានចំណុចកណ្តាលនៅចំណុចដើម (0,0) យើងអាចសរសេរសមីការស្តង់ដារនៃអ៊ីពែរបូឡាដូចខាងក្រោម៖
\[ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
បន្ទាប់ពីជំនួសតម្លៃនៃ a និង b៖
\[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
ដូច្នេះសមីការអ៊ីពែរបូឡាដែលកំពុងពិចារណាគឺ៖
\[ \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \]
សំណួរទី ៥៖
បានផ្តល់ឲ្យអ៊ីពែរបូឡាបញ្ឈរមួយដែលមានសមីការ \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1 \)។ ចូរកំណត់ចម្ងាយរវាងចំណុចកណ្តាលពីររបស់វា។
ប៉េបាហាសាន៖
ចំពោះសមីការអ៊ីពែរបូឡា \(\frac{y^2}{36} – \frac{x^2}{16} = 1\) យើងកំណត់ថា៖
\[ a^2 = 36 \ព្រួញទៅស្តាំ a = 6 \]
\[ b^2 = 16 \ព្រួញទៅស្តាំ b = 4 \]
ដើម្បីរកចម្ងាយរវាងចំណុចកណ្តាលពីរ យើងប្រើទំនាក់ទំនង៖
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 36 + 16 = 52 \ព្រួញទៅស្តាំ c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
ចម្ងាយរវាងចំណុចកណ្តាលពីរនៃអ៊ីពែរបូឡាត្រូវបានគណនាជា 2 ដងនៃចម្ងាយនៃចំណុចកណ្តាលពីចំណុចកណ្តាល៖
\[ 2c = 2 x 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13} \]
ដូច្នេះចម្ងាយរវាងចំណុចកណ្តាលទាំងពីរគឺ \(4\sqrt{13}\) ឯកតា។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងបានពិភាក្សាអំពីឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាច្រើនទាក់ទងនឹងអ៊ីពែរបូឡា រួមទាំងការកំណត់ចំណុចកណ្តាល ប្រវែងអ័ក្សធំ និងអ័ក្សតូច ចំណុចកណ្តាល សមីការសម្រាប់អ័ក្សអាស៊ីមតូត និងការគូសក្រាហ្វិកនៃអ៊ីពែរបូឡា។ ការយល់ដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះគឺមានសារៈសំខាន់ ជាពិសេសសម្រាប់សិស្សដែលកំពុងសិក្សាធរណីមាត្រវិភាគ ឬគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់។
អ៊ីពែរបូឡាមិនមែនគ្រាន់តែជាទ្រឹស្ដីមួយនោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏មានការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតដូចជា តារារូបវិទ្យា រ៉ាដា និង GPS ផងដែរ។ ដូច្នេះ ការសិក្សាអំពីអ៊ីពែរបូឡាមិនមែនគ្រាន់តែជាការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងការយល់ដឹងពីរបៀបដែលគោលគំនិតគណិតវិទ្យាទាំងនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងជីវិតពិតផងដែរ។
