ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីការបង្កើនអនុគមន៍ បន្ថយអនុគមន៍ និងអនុគមន៍អចិន្ត្រៃយ៍
អនុគមន៍គណិតវិទ្យាគឺជាប្រធានបទដ៏ស៊ីជម្រៅមួយ ហើយពោរពេញទៅដោយលក្ខណៈផ្សេងៗគ្នា ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះគឺជារបៀបដែលពួកវាអាចត្រូវបានវិភាគទាក់ទងនឹងស្ថានភាពកើនឡើង ថយចុះ ឬឋិតិវន្ត។ ការដឹងថាតើអនុគមន៍មួយកំពុងកើនឡើង ថយចុះ ឬថេរលើចន្លោះពេលជាក់លាក់ណាមួយគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការអនុវត្តគណិតវិទ្យាផ្សេងៗ រួមទាំងសេដ្ឋកិច្ច រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ អត្ថបទនេះនឹងគ្របដណ្តប់លើឧទាហរណ៍ និងការពិភាក្សារបស់ពួកគេទាក់ទងនឹងអនុគមន៍កើនឡើង ថយចុះ និងឋិតិវន្ត។
តើអ្វីទៅជាអនុគមន៍កើនឡើង អនុគមន៍ថយចុះ និងអនុគមន៍អចិន្ត្រៃយ៍?
១. ការបង្កើនអនុគមន៍៖ អនុគមន៍ \(f(x)\) ត្រូវបានគេនិយាយថាកំពុងកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេល \(I\) ប្រសិនបើសម្រាប់រាល់ \(x_1\) និង \(x_2\) នៅក្នុង \(I\) ជាមួយ \(x_1 < x_2\) យើងមាន \(f(x_1) \leq f(x_2)\)។ ២. អនុគមន៍បន្ថយ៖ ផ្ទុយទៅវិញ អនុគមន៍ \(f(x)\) ត្រូវបានគេនិយាយថាកំពុងថយចុះនៅលើចន្លោះពេល \(I\) ប្រសិនបើសម្រាប់រាល់ \(x_1\) និង \(x_2\) នៅក្នុង \(I\) ជាមួយ \(x_1 < x_2\) យើងមាន \(f(x_1) \geq f(x_2)\)។ ៣. អនុគមន៍ស្ថានី៖ អនុគមន៍ \(f(x)\) ត្រូវបានគេនិយាយថាស្ថិតស្ថេរលើចន្លោះពេល \(I\) ប្រសិនបើសម្រាប់រាល់ \(x\) ក្នុង \(I\) អនុគមន៍មានតម្លៃដូចគ្នា ពោលគឺ \(f(x) = c\) សម្រាប់រាល់ \(x\) ក្នុង \(I\) ដែល c ជាចំនួនថេរ។ ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1៖ ការកំណត់ចន្លោះពេលនៃអនុគមន៍កើនឡើង ដោយផ្តល់ឱ្យអនុគមន៍ \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5\)។ កំណត់ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍កំពុងកើនឡើង! ការពិភាក្សា៖ ដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍កំពុងកើនឡើង យើងត្រូវរកដេរីវេទីមួយនៃអនុគមន៍ ហើយបន្ទាប់មកវិភាគសញ្ញានៃដេរីវេ។ ១. ជំហានទី ១៖ រកដេរីវេទីមួយ៖ \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] ២. ជំហានទី ២៖ កំណត់ចំណុចសំខាន់ៗ៖ ចំណុចសំខាន់ៗគឺជាចំណុចដែលដេរីវេទីមួយស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនបានកំណត់។ \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] ចែកសមីការទាំងមូលដោយ 6៖ \[ x^2 - x - 2 = 0 \] យើងដាក់កត្តាសមីការការ៉េនេះ៖ \[ (x-2)(x+1) = 0 \] ដូច្នេះចំណុចសំខាន់ៗគឺ \( x = 2 \) និង \( x = -1 \)។ ៣. ជំហានទី ៣៖ កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទីមួយលើចន្លោះពេលដែលបានបង្កើតឡើងដោយចំណុចសំខាន់ៗ៖ យើងនឹងបង្កើតតារាងសញ្ញាសម្រាប់ \(f'(x)\) លើចន្លោះពេល \( (-\infty, -1)\), \( (-1, 2)\), និង \( (2, \infty)\)។ - សម្រាប់ \( x \in (-\infty, -1)\): យក \( x = -2\) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] ដោយសារ \( f'(-2) > 0\), នោះ \( f(x)\) កំពុងកើនឡើងលើចន្លោះពេល \( (-\infty, -1)\)។
– សម្រាប់ \( x \in (-1, 2) \): យក \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
ដោយសារ \( f'(0) < 0 \) នោះ \( f(x) \) កំពុងថយចុះនៅលើចន្លោះពេល \( (-1, 2) \)។ - សម្រាប់ \( x \in (2, \infty) \): យក \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] ដោយសារ \( f'(3) > 0 \) នោះ \( f(x) \) កំពុងកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេល \( (2, \infty) \)។
ដូច្នេះអនុគមន៍ f(x)\) កំពុងកើនឡើងលើចន្លោះពេល (-\infty, -1)\cup(2,\infty)\)។
ឧទាហរណ៍បញ្ហាទី 2: ការកំណត់ចន្លោះពេលអនុគមន៍ថយចុះ
ដោយផ្តល់ឱ្យអនុគមន៍ \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \)។ ចូរកំណត់ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍ថយចុះ!
ប៉េបាហាសាន៖
១. ជំហានទី ១៖ ស្វែងរកដេរីវេទីមួយ៖
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
g'(x) = 16x^3 – 24x^2
២. ជំហានទី ២៖ កំណត់ចំណុចសំខាន់៖
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
ដូច្នេះចំណុចសំខាន់ៗគឺ \( x = 0 \) និង \( x = \frac{3}{2} \)។
៣. ជំហានទី ៣៖ កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទីមួយលើចន្លោះពេល៖
– សម្រាប់ \( x \in (-\infty, 0)\): យក \( x = -1\)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
ដោយសារ \( g'(-1) < 0 \) នោះ \( g(x) \) កំពុងថយចុះនៅលើចន្លោះពេល \( (-\infty, 0) \)។ - សម្រាប់ \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): យក \( x = 1 \) \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] ដោយសារ \( g'(1) < 0 \) នោះ \( g(x) \) កំពុងថយចុះនៅលើចន្លោះពេល \( (0, \frac{3}{2}) \)។ - សម្រាប់ \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): យក \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] ដោយសារ \( g'(2) > 0 \) នោះ \( g(x) \) កំពុងកើនឡើងលើចន្លោះពេល \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
ដូច្នេះអនុគមន៍ g(x)\) ថយចុះនៅចន្លោះពេល g(x)\cup(0, \frac{3}{2})\)។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 3: ការកំណត់ចន្លោះពេលនៃអនុគមន៍នៅពេលសម្រាក
ដោយផ្តល់អនុគមន៍ \( h(x) = 7\) ចូរកំណត់ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍នៅនឹងកន្លែង!
ប៉េបាហាសាន៖
អនុគមន៍ថេរដូចជា \( h(x) = 7\) មានដេរីវេដំបូងនៃសូន្យសម្រាប់ \( x\ ទាំងអស់):
\[ h'(x) = 0 \]
ដោយសារដេរីវេទីមួយតែងតែស្មើនឹងសូន្យ អនុគមន៍គឺនៅនឹងកន្លែងលើដែនទាំងមូល ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានថាអនុគមន៍ \(h(x) = 7\) គឺនៅនឹងកន្លែងលើចំនួនពិតទាំងអស់ ដែលនៅក្នុងសញ្ញាណចន្លោះពេលគឺ \((-\infty, \infty)\)។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ការយល់ដឹងអំពីចន្លោះពេលនៃស្ថានភាពកើនឡើង ថយចុះ និងស្ថានីនៃអនុគមន៍មួយ គឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃការវិភាគអនុគមន៍។ តាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានគ្របដណ្តប់លើគោលគំនិត និងជំហានជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវការដើម្បីស្វែងរកចន្លោះពេលទាំងនេះ។ ចំណេះដឹងនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង និងទ្រឹស្តីផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា។
