ឧទាហរណ៍សំណួរដែលពិភាក្សាអំពីមុខងារកើនឡើង មុខងារថយចុះ និងមុខងារឋិតិវន្ត

ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីការបង្កើនអនុគមន៍ បន្ថយអនុគមន៍ និងអនុគមន៍អចិន្ត្រៃយ៍

អនុគមន៍គណិតវិទ្យាគឺជាប្រធានបទដ៏ស៊ីជម្រៅមួយ ហើយពោរពេញទៅដោយលក្ខណៈផ្សេងៗគ្នា ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះគឺជារបៀបដែលពួកវាអាចត្រូវបានវិភាគទាក់ទងនឹងស្ថានភាពកើនឡើង ថយចុះ ឬឋិតិវន្ត។ ការដឹងថាតើអនុគមន៍មួយកំពុងកើនឡើង ថយចុះ ឬថេរលើចន្លោះពេលជាក់លាក់ណាមួយគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការអនុវត្តគណិតវិទ្យាផ្សេងៗ រួមទាំងសេដ្ឋកិច្ច រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ អត្ថបទនេះនឹងគ្របដណ្តប់លើឧទាហរណ៍ និងការពិភាក្សារបស់ពួកគេទាក់ទងនឹងអនុគមន៍កើនឡើង ថយចុះ និងឋិតិវន្ត។

តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​អនុគមន៍​កើនឡើង អនុគមន៍​ថយចុះ និង​អនុគមន៍​អចិន្ត្រៃយ៍?

1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).

– សម្រាប់ \( x \in (-1, 2) \): យក \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
ដោយសារ \( f'(0) < 0 \) នោះ \( f(x) \) កំពុងថយចុះនៅលើចន្លោះពេល \( (-1, 2) \)។ - សម្រាប់ \( x \in (2, \infty) \): យក \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] ដោយសារ \( f'(3) > 0 \) នោះ \( f(x) \) កំពុងកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេល \( (2, \infty) \)។

ដូច្នេះអនុគមន៍ f(x)\) កំពុងកើនឡើងលើចន្លោះពេល (-\infty, -1)\cup(2,\infty)\)។

ឧទាហរណ៍បញ្ហាទី 2: ការកំណត់ចន្លោះពេលអនុគមន៍ថយចុះ

ដោយ​ផ្តល់​ឱ្យ​អនុគមន៍ \( g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \)។ ចូរ​កំណត់​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​អនុគមន៍​ថយ​ចុះ!

ប៉េបាហាសាន៖

១. ជំហានទី ១៖ ស្វែងរកដេរីវេទីមួយ៖

\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
g'(x) = 16x^3 – 24x^2

២. ជំហានទី ២៖ កំណត់ចំណុចសំខាន់៖

\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]

ដូច្នេះចំណុចសំខាន់ៗគឺ \( x = 0 \) និង \( x = \frac{3}{2} \)។

៣. ជំហានទី ៣៖ កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទីមួយលើចន្លោះពេល៖

– សម្រាប់ \( x \in (-\infty, 0)\): យក \( x = -1\)
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \). - Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \) \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \). - Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).

ដូច្នេះអនុគមន៍ g(x)\) ថយចុះនៅចន្លោះពេល g(x)\cup(0, \frac{3}{2})\)។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 3: ការកំណត់ចន្លោះពេលនៃអនុគមន៍នៅពេលសម្រាក

ដោយផ្តល់អនុគមន៍ \( h(x) = 7\) ចូរកំណត់ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍នៅនឹងកន្លែង!

ប៉េបាហាសាន៖

អនុគមន៍ថេរដូចជា \( h(x) = 7\) មានដេរីវេដំបូងនៃសូន្យសម្រាប់ \( x\ ទាំងអស់):

\[ h'(x) = 0 \]

ដោយសារដេរីវេទីមួយតែងតែស្មើនឹងសូន្យ អនុគមន៍គឺនៅនឹងកន្លែងលើដែនទាំងមូល ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានថាអនុគមន៍ \(h(x) = 7\) គឺនៅនឹងកន្លែងលើចំនួនពិតទាំងអស់ ដែលនៅក្នុងសញ្ញាណចន្លោះពេលគឺ \((-\infty, \infty)\)។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការយល់ដឹងអំពីចន្លោះពេលនៃស្ថានភាពកើនឡើង ថយចុះ និងស្ថានីនៃអនុគមន៍មួយ គឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃការវិភាគអនុគមន៍។ តាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានគ្របដណ្តប់លើគោលគំនិត និងជំហានជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវការដើម្បីស្វែងរកចន្លោះពេលទាំងនេះ។ ចំណេះដឹងនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង និងទ្រឹស្តីផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា។