ニュートンの回転運動に関する第二法則

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4.1 力のモーメント、慣性モーメント、角加速度の関係

質量 (m) の物体に合力 (ΣF) が作用する場合、物体はある一定の加速度 (a) で直線運動をする。合力、質量、加速度の関係は次の式で表される。

Σ F = ma

これはニュートンの第二法則の式です。

直線運動における合力（ΣF）に相当する回転運動の量は、合力モーメント（Στ）である。直線運動における質量（m）に相当する回転運動の量は、慣性モーメント（I）である。直線運動における加速度（a）に相当する回転運動の量は、角加速度（α）である。

ある慣性モーメント（I）を持つ物体に合力モーメント（Στ）が作用すると、その物体はある角加速度（α）で回転する。合力モーメント、慣性モーメント、角加速度の関係は、次の式で表される。

Στ = I α

この方程式は、ニュートンの第二法則の回転運動における類推である。

4.2 ニュートンの回転運動に関する第二法則の例題

サンプル問題１。

質量1kg、半径10cmの頑丈な滑車があり、その端にロープが巻き付けられ、ロープの一端に1kgの荷重が吊り下げられている。ロープの質量は無視できるものとする。荷重が自由落下する際の加速度の大きさを求めよ。（g = 10 m/s²）²)

解決策：

既知：

F = w = mg = (1 kg)(10 m/s ² ) = 10 N

r = 0.1メートル

求む：負荷の加速

解決策：

まず、慣性モーメントと力のモーメントを計算します。

固体滑車の慣性モーメント：

I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.1 m) ²

I = (0.5 kg)(0.01 m ² ) = 0.005 kg m ²

力の瞬間：

τ = F l = (10 N)(0.1 m) = 1 N m

角加速度:

負荷の加速：

a = r α = (0.1)(200) = 20 m/s ²

サンプル問題１。

質量 2M、半径 R の固体滑車の端にロープが巻き付けられ、ロープの一端には質量 m の荷物が吊り下げられている。荷物を取り除くと、滑車は角加速度で回転する。滑車に質量 M の物体を取り付けて、滑車が同じ角加速度で回転するようにした場合、荷物の質量を求めよ。(I pulley = 1⁄2 MR ² )。

解決策：

既知：

固体滑車の質量：2M

ソリッドプーリーの半径：R

荷物の質量：m

求む：積荷の質量

解決策：

質量Mの物体を取り付ける前と後で、固体滑車の慣性モーメントを計算してください。

慣性モーメント 1 : I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M)(R) ² = MR ²

慣性モーメント 2 : I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M + M)(R) ² = 1⁄2 (3M)(R) ² = 1.5 MR ²

荷重が滑車に及ぼす力のモーメント：

τ = F l = (m)(g)(R)

質量Mの物体を取り付ける前と後で、滑車の角加速度は同じである。

積荷の質量＝元の積荷の質量の1.5倍。